河北省承德實(shí)驗(yàn)中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案2.3.2

承德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)（數(shù)學(xué)）導(dǎo)學(xué)案班級(jí)：；小組：；姓名：；評(píng)價(jià)：；選修21第二章2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課型課時(shí)2主備人：劉宗榮審核人魯文敏時(shí)間1.類比橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，討論它的幾何性質(zhì)．2.能運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題．重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)．難點(diǎn)：雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線的理解．方法：合作探究一新知導(dǎo)學(xué)1.在雙曲線方程中，以－x、－y代替x、y方程不變，因此雙曲線是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的__________圖形；也是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的__________圖形，這個(gè)對(duì)稱中心叫做__________________．2．雙曲線與它的對(duì)稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)叫做雙曲線的____，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)是________，這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的線段叫做雙曲線的________，它的長(zhǎng)等于__________.同時(shí)在另一條對(duì)稱軸上作點(diǎn)B1(0，－b)，B2(0，b)，線段B1B2叫做雙曲線的_________，它的長(zhǎng)等于________，a、b分別是雙曲線的__________和__________．3.設(shè)P（x，y）是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，則x，y.4．雙曲線的半焦距c與實(shí)半軸長(zhǎng)a的比值e叫做雙曲線的_________，其取值范圍是_____．e越大，雙曲線的張口越_________．5．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)位于第一象限部分上一點(diǎn)P(x，y)到直線y＝eq\f(b,a)x的距離d＝________________(用x表示)，d隨x的增大而__________．這表明，隨著x的增大，點(diǎn)P到直線y＝eq\f(b,a)x的距離越來越______，稱直線y＝eq\f(b,a)x為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條_________由對(duì)稱性知，直線____________也是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條__________．6.過雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別作對(duì)稱軸的平行線，它們圍成一個(gè)矩形，其兩條__________所在直線即為雙曲線的漸近線．“漸近”兩字的含義：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線__________接近，接近的程度是無限的7.雙曲線上兩個(gè)重要的三角形(1)實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)及__________構(gòu)成一個(gè)直角三角形，邊長(zhǎng)滿足c2＝a2＋b2，稱為雙曲線的特征三角形．(2)實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)________的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率為________，其兩條漸近線互相__________．.橢圓雙曲線焦點(diǎn)在x軸焦點(diǎn)在y軸焦點(diǎn)在x軸焦點(diǎn)在y軸圖形對(duì)稱性對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：頂點(diǎn)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)虛軸長(zhǎng)離心率e＝，（）e＝，（）________）漸近線有條，其方程為__________橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系牛刀小試1．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±5,0)B．(±5,0)或(0，±3)C．(±4,0)D．(±4,0)或(0，±3)2．雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x±y＝1 D．x±y＝03．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于eq\f(3,2)，則C的方程是()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝14．(2015·石家莊期末測(cè)試)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于()A．eq\f(3\r(14),14)B．eq\f(3\r(2),4)C．eq\f(3,2)D．eq\f(4,3)5．(2015·浙江理)雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1的焦距是______，漸近線方程是_________.（一）已知雙曲線的方程，研究其幾何性質(zhì)【例一】求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程，并作出草圖．跟蹤訓(xùn)練1.以雙曲線y2－eq\f(x2,3)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，離心率為半徑的圓的方程是()(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4（二）利用幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例二】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為eq\f(5,4)；(2)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等，且過點(diǎn)P(4，－eq\r(10))跟蹤訓(xùn)練2.(1)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x，求雙曲線的方程.(2)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，求且過點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程.（三）雙曲線的離心率【例三】已知F1、F2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦．如果∠PF2Q＝90°，求雙曲線的離心率．跟蹤訓(xùn)練3(1)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2(2)(2015·湖南)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(7),3)B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)（四）實(shí)際應(yīng)用問題【例四】如圖所示，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運(yùn)到P處，其中|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，怎樣運(yùn)土才能最省工？跟蹤訓(xùn)練4如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向距離B2km處，河流沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用都是a萬元/km.求：(1)河流沿岸PQ所在的曲線方程；(2)修建這兩條公路的總費(fèi)用的最小值．（五）直線與雙曲線的位置關(guān)系【例五】已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值．【例六】已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，求雙曲線的離心率．課時(shí)小結(jié)答案牛刀小試1ADBC5、2eq\r(3)；y＝±eq\f(\r(2),2)x例一將9y2－4x2＝－36變形為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，即eq\f(x2,32)－eq\f(y2,22)＝1，∴a＝3，b＝2，c＝eq\r(13)，因此頂點(diǎn)為A1(－3,0)，A2(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－eq\r(13)，0)，F(xiàn)2(eq\r(13)，0)，實(shí)軸長(zhǎng)是2a＝6，虛軸長(zhǎng)是2b＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(2,3)x.作草圖如圖：跟蹤訓(xùn)練1.D例二1）標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2)，所以可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(diǎn)P(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.跟蹤訓(xùn)練2.(1)eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1或eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1(2)eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1例三1＋eq\r(2).跟蹤訓(xùn)練3AD例4設(shè)M為分界線上任一點(diǎn)，則|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50m，所以M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上．易得|AB|2＝17500m2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，得分界線所在的曲線方程為eq\f(x2,625)－eq\f(y2,3750)＝1(x≥25)．故運(yùn)土?xí)r，在雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．跟蹤訓(xùn)練4：根據(jù)題意，曲線PQ上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.由此知河流沿岸PQ所在的曲線為雙曲線靠近B點(diǎn)的分支．所以c＝2，a＝1，b＝eq\r(3)，所以河流沿岸PQ所在的曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)．例五(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,y＝kx－1，))消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8(1－k2)>0，))解得－eq\r(2)<k<eq\r(2)且k≠±1.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－eq\r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq\r(2))．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1＋x2＝－eq\f(2k,1－k2)，x1x2＝－eq\f(2,1－k2).又直線l恒過點(diǎn)D(0，－1)，則S△OAB＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\r(2).所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2eq\r(2))2，即(－eq\f(2k,1－k2))2＋eq