空間向量基本定理（四大題型）

1．2空間向量基本定理【題型歸納目錄】題型一：基底的判斷題型二：基底的運用題型三：正交分解題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題【知識點梳理】知識點01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得．其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底．此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式．知識點2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．知識點3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：（1）用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關(guān)鍵．（2）要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．（3）在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典型例題】題型一：基底的判斷例1．（2023·全國·高二隨堂練習）已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A中，由，所以不能作為一組空間基底；對于B中，假設(shè)共面，則存在，使得，即，可得，此時方程組無解，所以不共面，所以向量可以作為空間的一組基底；對于C中，由，所以不能作為空間的一組基底；對于D中，由，所以不能作為空間的一組基底.故選：B.例2．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在平行六面體中，可以作為空間向量的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】因為，，共面，故A錯誤；因為，，共面，故B錯誤；因為，，共面，故D錯誤；因為，，三個向量是不共面的，可以作為一個基底，故C正確；故選：C例3．（2023·高二課時練習）在三棱柱中，可以作為空間向量一組基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于A，因為向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作為基底，所以A錯誤，對于B，因為，，是共面向量，所以不能作為基底，所以B錯誤，對于C，因為，，這三個向量不共面，所以能作為一組基底，所以C正確，對于D，因為，，是共面向量，所以不能作為基底，所以D錯誤，故選：C變式1．（2023·高二單元測試）設(shè)是空間的一組基底，則一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一組基底的向量是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】因為是空間的一組基底，所以向量不共面，而向量，，則，，故，與或共面，則不與共面.故選：C.變式2．（2023·高二課時練習）已知是空間向量的一組基底，，一定可以與向量，構(gòu)成空間向量的另一組基底的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，因為，所以共面，故A錯誤；對于B，因為，所以共面，故B錯誤；對于C，因為不共面，所以不共面．若存在，使成立，則共面，這與已知是空間一組基底矛盾，故不共面，故C正確；對于D，顯然共面，故D錯誤.故選：C.變式3．（2023·全國·高二專題練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故A錯誤；對于B，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故B錯誤；對于C，假設(shè)向量共面，則，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，故C正確；對于D，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故D錯誤；故選：C.【方法技巧與總結(jié)】空間向量基底．不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底．題型二：基底的運用例4．（2023·安徽安慶·高二安徽省桐城中學?？计谀┤鐖D，在平行六面體中，已知，則用向量可表示向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行六面體中，，所以故選：D．例5．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）已知三棱錐，點M，N分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以.故選：D.例6．（2023·全國·高二專題練習）已知正方體，點是的中點，點是的三等分點，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，，.故選：D.變式4．（2023·高二單元測試）如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在平行六面體中，M為，的交點，，，，所以,故選：B變式5．（2023·高二課時練習）在四面體中，，點在上，且,為中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】點在線段上，且，為中點，，，．故選：B．變式6．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，即為的中點，所以，因為，所以，.故選：C變式7．（2023·全國·高二專題練習）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，，，.故選：A.變式8．（2023·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）在四面體中，是的中點，是的中點．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意.故選：D變式9．（2023·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）在正四面體中，，，，為中點，為靠近的三等分點，用向量，，表示（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為中點，所以，因為為靠近的三等分點，所以，所以，∴.故選：A.變式10．（2023·全國·高二階段練習）已知矩形為平面外一點，平面，點滿足，．若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，因為，所以，，，所以.故選：C變式11．（2023·全國·高二專題練習）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下圖所示，所以.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】1、空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的．2、用基底表示空間向量時，一般要結(jié)合圖形，運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示．3、在空間幾何體中選擇基底時，通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底．題型三：正交分解例7．（2023·高二課時練習）若向量在空間的的一組基底下的坐標是，則在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在基底下的坐標是，所以，設(shè)在基底下的坐標為，則，因此，所以，即，即向量在基底下的坐標為．故選：C．例8．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）定義：設(shè)是空間向量的一個基底，若向量，則稱實數(shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底．若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為．【答案】【解析】因為向量在基底下的坐標為，所以，所以向量在基底下的坐標為，故答案為：例9．（2023·全國·高二專題練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為．【答案】【解析】由向量坐標的定義可知，是空間的一個單位正交基底，．故答案為：變式12．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量，若，則用基底表示向量．【答案】【解析】設(shè)，則，故，解得：，故故答案為：變式13．（2023·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量是空間的另一個基底，用基底表示向量.【答案】【解析】設(shè)，即有，因為是空間的一個單位正交基底，所以有，所以.故答案為：變式14．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量，是空間的另一個基底，則用該基底表示向量.【答案】【解析】由題意，不妨設(shè)由空間向量分解的唯一性：故，解得則故答案為：變式15．（2023·高二課時練習）向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底下的坐標為，則在基底的坐標為．【答案】【解析】由題意知：，若在基底的坐標為，∴，∴，可得，∴在基底的坐標為.故答案為：變式16．（2023·福建福州·高二?？茧A段練習）已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標是，則向量在基底下的坐標是.【答案】.【解析】因為向量在基底下的坐標是，可得，所以向量在基底下的坐標是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】正交基底的三個向量共起點題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題例10．（2023·全國·高二專題練習）在平行六面體中，設(shè)，，，，分別是，的中點．若，求實數(shù)，，的值．【解析】因為，所以，，．例11．（2023·高二課時練習）如圖所示，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，求的長．【解析】設(shè)，則，，，，因為，所以．例12．（2023·高二課時練習）如圖所示，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，．求線段的長．【解析】設(shè)，，，則，，，，∵，∴．∴線段的長為．變式17．（2023·高二課時練習）平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為．(1)求線段的長；(2)若，判斷能否構(gòu)成空間的一組基底，若能，用此基底表示向量；若不能，說明理由．【解析】（1），依題意，結(jié)合幾何體可得：兩兩夾角是，故，故，即.（2）是平行六面體同一點引出的三條向量，結(jié)合圖形可知它們不共面，故可作為空間中的一組基底；假設(shè)不是空間的一組基底，于是三個向量共面，故，使得，此時整理可得：，說明共面，這與是空間的基底矛盾，故假設(shè)不成立，于是是空間的一組基底；于是變式18．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在棱長為1的正四面體中，，分別是邊，的中點，點在上，且，設(shè)，，．(1)試用向量，，表示向量；(2)求．【解析】（1）（2）由題意知，，，，則，，所以變式19．（2023·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證.【解析】證明：設(shè)則，，，，，又，同理可證，這個四面體相對的棱兩兩垂直.變式20．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求證：共面；(3)當為何值時，．【解析】（1）．（2）證明：，，，共面．（3）當，，證明：設(shè)，底面為菱形，則當時，，，，，，．變式21．（2023·高二課時練習）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，．(1)用、、表示，；(2)求的長度．【解析】（1）；即，（2）因為，，，，，，所以所以，即變式22．（2023·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且點F為與的交點，點E在線段上，有．（1）求的長；（2）將用基向量來進行表示．設(shè)xyz，求x，y，z的值．【解析】（1），85，∴．（2），∴．變式23．（2023·全國·高二專題練習）如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F(xiàn)在上，且.（1）用表示；（2）求向量與向量所成角的余弦值.【解析】（1）因為E是的中點，F(xiàn)在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因為，所以向量與向量所成角的余弦值為.變式24．（2023·全國·高二專題練習）已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【解析】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.【方法技巧與總結(jié)】應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據(jù)幾何體的特點，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．（1）若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；（2）若證明線線平行，只需證明兩向量共線；（3）若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角（或其補角）．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學?？茧A段練習）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形.若，且，則的長為（

）A． B． C． D．5【答案】C【解析】根據(jù)空間向量的運算法則，易得，又因為，所以.故選：C2．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學?？茧A段練習）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．平行于同一個平面的向量叫做共面向量B．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底C．直線可以由其上一點和它的方向向量確定D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】B【解析】A：平行于平面的向量，均可平移至一個平行于的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，正確；B：空間任意三個向量都共面時，則不能構(gòu)成空間的基底，錯誤；C：直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故直線上一點和方向向量確定直線，正確；D：由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構(gòu)成一個平面，即可為同一平面的向量，正確.故選：B3．（2023·甘肅武威·高二校聯(lián)考期中）在下列結(jié)論中：其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)使得.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行或重合，故①錯誤；對于②，若向量所在的直線為異面直線，則向量一定共面；故②錯誤；對于③，若三個向量兩兩共面，則向量不一定共面；故③錯誤；對于④，當空間三個向量不共面時，則對于空間的任意一個向量，總存在唯一實數(shù)使得，故④錯誤.故選：A4．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，．點在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行六面體中，則，.故選：D.5．（2023·全國·高二專題練習）已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】向量是不共面的三個向量，對于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對于C，假定向量共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C6．（2023·高二課時練習）在三棱柱中，平面ABC，，M是的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，，故，在直三棱柱，易知，，在中，由，則，由，則，則.答案：C.7．（2023·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開學考試）在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點，M是的中點，則（

）A．5 B．7 C．3 D．【答案】D【解析】由題意可知：，，，，可得：，，，因為，可得，所以，即.故選：D.8．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若是與的交點，則（

）．A．9 B．7 C．3 D．【答案】D【解析】在平行六面體中，四邊形是平行四邊形，又是，的交點，所以是的中點，所以，，又，，，所以，即．故選：D．二、多選題9．（2023·遼寧葫蘆島·高二校考開學考試）設(shè)向量可構(gòu)成空間一個基底，下列選項中正確的是（

）A．若，，則B．則兩兩共面，但不可能共面C．對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D．則一定能構(gòu)成空間的一個基底【答案】BCD【解析】由是空間一個基底，知：在A中，若，，則與可以平行，不一定垂直，故A錯誤；在B中，由基底的定義可知，兩兩共面，但不可能共面，故B正確；在C中，是空間一個基底，根據(jù)空間向量基本定理知，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，故C正確；在D中，假設(shè)向量共面，則，，化簡得，因為不共面，所以，無解，所以不共面，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確．故選：BCD10．（2023·全國·高二專題練習）已知是空間的一組基，下列向量中，可以與構(gòu)成空間的一組基的向量是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】已知是空間的一組基底向量，則不共面，對于選項A：因為，所以與共面，不合題意，故A錯誤；對于選項B：因為，所以與共面，不合題意，故B錯誤；對于選項C：設(shè)，顯然上式不成立，即與不共面，符合題意，故C正確；對于選項D：設(shè)，顯然上式不成立，即與不共面，符合題意，故D正確；故選：CD.11．（2023·湖南岳陽·高二?？奸_學考試）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）A． B．向量與的夾角是60°C．AC1⊥DB D．BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AC【解析】對于A選項，由題意可知，則，∴，所以選項A正確；對于B選項，，所以，，則，∴向量與的夾角是，所以選項B不正確；對于C選項，，又因為，所以，∴，所以選項C正確；對于D選項，設(shè)與所成角的平面角為，因為，，所以，，，∴，所以選項D不正確.故選：AC.12．（2023·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，，則（

）A．B．與平面所成角為C．當點在平面內(nèi)時，D．當時，四棱錐的體積為定值【答案】AC【解析】因為在正方體中，，所以，所以點在四邊形內(nèi)及邊界運動（不含）.對于A，因為底面，底面，所以.又，，平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于B，因為平面，設(shè)，所以為與平面所成角，即為與平面所成角，設(shè)正方體棱長為，，，，由余弦定理可得，故B錯誤；對于C，當點在平面內(nèi)時，即點在線段上，所以正確，故C正確；對于D，當時，取的中點，連結(jié)，點在線段上運動，因為四邊形的面積為定值，，所以點到平面的距離不是定值，所以四棱錐的體積不是定值，故D錯誤.故選：AC.三、填空題13．（2023·北京昌平·高二?？茧A段練習）空間四邊形，如圖，其對角線?，?分別為?的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基底向量??表示向量，并設(shè)，則??的和為.【答案】【解析】空間四邊形對角線為?，?分別為?的中點，點在線段上，且，，，.故答案為：.14．（2023·浙江·高二浙江省余姚市第五中學校聯(lián)考期中）在空間四邊形中，為中點，為的中點，若，則使、、三點共線的的值是．【答案】/【解析】由題意可知，，，則，，，，三點共線，，．故答案為：.15