勾股定理常見錯(cuò)例剖

勾股定理常見錯(cuò)例剖勾股定理是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)用很廣泛.由于勾股定理及其逆定理的形式都比較簡單，不少同學(xué)在應(yīng)用時(shí)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤,現(xiàn)將這些錯(cuò)例歸類剖析，供同學(xué)們參考.一、刻板地套用勾股定理例1在RtABC中，ZA=90°,a、b、c分別是NA、NB、NC的對邊，a=4,b=3,求c的長度.錯(cuò)解：由勾股定理，得c2=a2+b2=42+32=25,所以c=5.剖析：錯(cuò)在對勾股定理的認(rèn)識(shí)不正確，受勾股定理c2=a2+b2的影響，想當(dāng)然地套用勾股定理，認(rèn)為c是斜邊而導(dǎo)致錯(cuò)誤.實(shí)際上，本題中NA=90°,a是斜邊，故應(yīng)是a2=b2+c2.正解：因?yàn)镹A=90°,由勾股定理，得a2=b2+c2.故有c2=a2-b2=42-32=7,所以c二.點(diǎn)評：在使用勾股定理時(shí)，要注意直角所對的邊是斜邊，而c不一定是斜邊.既要看是否滿足勾股定理的形式,又要看這個(gè)定理中a、b、c的實(shí)質(zhì).二、忽略勾股定理存在的條件例2在邊長都是整數(shù)的ABC中，AB>AC,如果AC二4,BC=3,求AB的長.錯(cuò)解：因?yàn)锳B>AC,由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=42+32=25,所以AB=5.剖析:此題錯(cuò)在沒有明確是否為直角三角形，受“勾3股4弦5”的思維定勢的影響，誤認(rèn)為ABC是直角三角形，忽略勾股定理存在的條件而盲目使用勾股定理.正解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形任何一邊小于兩邊的和,得AC+BC>AB〉A(chǔ)C,即4點(diǎn)評：勾股定理揭示了直角三角形三邊的關(guān)系，但只有在直角三角形中才成立.因此在非直角三角形或不確定是直角三角形的情況下，不能盲目使用勾股定理.三、思考問題不全面例3在RtABC中，a=8,b=6,求c的長度.錯(cuò)解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100,所以c=10.剖析：本題沒有給出對應(yīng)的圖形，上述解法誤認(rèn)為NC是直角,將c當(dāng)作斜邊，思考問題不全面.由于本題沒有明確哪個(gè)角是直角,所以需要分情況討論：NA是直角或者NC是直角.正解：(1)當(dāng)NC是直角時(shí)，由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100,所以c=10.(2)當(dāng)NA是直角時(shí)，由勾股定理，得a2=b2+c2.故c2=a2-b2=82-62=28,所以c=2.故c的長度為10或者2.點(diǎn)評：當(dāng)題目給出直角三角形兩邊長，并且沒有確定它們都是直角邊時(shí)，需要考慮到所有符合條件的圖形，明確第三邊既可以是直角邊，也可以是斜邊.周密思考，防止漏解.四、勾股定理與逆定理混淆不清例4在ABC中，a=12,b=5,c=13,試判斷ABC的形狀.錯(cuò)解：因?yàn)閏2=132=169,a2+b2=122+52=169,所以a2+b2=c2.根據(jù)勾股定理知ABC是直角三角形.剖析：本題錯(cuò)在混淆了勾股定理與其逆定理，雖然最終判斷的結(jié)果正確的，但判斷的依據(jù)錯(cuò)誤.勾股定理的前提是在直角三角形中,結(jié)論是a2+b2=c2,所以勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的一個(gè)判定方法.正解:因?yàn)閏2=132=169,a2+b2=122+52=169,所以a2+b2=c2.根據(jù)勾股定理的逆定理知ABC是直角三角形.點(diǎn)評：勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，可以用它來判斷直角三角形三邊的等量關(guān)系，而其逆定理是根據(jù)三邊的等量關(guān)系來判斷三角形的形狀.五、推理錯(cuò)誤例5在ABC中，a、6。分另1」是/人、/8、/€；的對邊，a=n2-l,b=2n,c=n2+l(n>l),求NC的度數(shù).錯(cuò)解:因?yàn)?n2T)2+(2n)2=(n2+l)2,即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.所以a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知NC二90°.剖析：本題錯(cuò)在推理過程上，列出(n2-l)2+(2n)2=(n2+l)2這個(gè)等式就認(rèn)為a2+b2=c2成立.正解:因?yàn)閍2+b2=(n2T)2+(2n)2=n4-2n2+l+4n2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,所以a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理可知NC=90°.點(diǎn)評：在判斷所給的線段能否構(gòu)成直角三角形時(shí)，首先要確定最長邊，然后再通過推理，只有計(jì)算出較短兩邊的平方和等于最長邊的平方時(shí)，才能說明此三角形是直角三角形.通過對這些問題的剖析，希望同學(xué)們能仔細(xì)體會(huì)勾股定理及其逆定理的本質(zhì)意義，并加以靈活運(yùn)用.練習(xí)：.在ABC中，a、b、c分別是NA、NB、NC的對邊，且(a+b)(a-b)=c2,則().A.N