自然常數(shù)e的證明

e在微積分里常常出現(xiàn)，但卻不是隨著微積分誕生的。那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢？一個(gè)很可能的解釋是，這個(gè)數(shù)和計(jì)算利息有關(guān)。我們都知道復(fù)利計(jì)息是怎么回事，就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息。假定有一家銀行，年利率為100%，允許以任意周期進(jìn)行復(fù)利計(jì)息。很顯然，我們存入1塊錢，一年后的本利和為2塊錢。有個(gè)聰明人想：我每半年存取一次，一年存取兩次，我的(1+100%)2=225本利和為多少呢？也很容易計(jì)算：(—丿—. ，這樣比一次存一年要多哦；他繼續(xù)想：我每季度存取一次，一年存取四次，我的本利和是多少呢？100%)_24414(1+—亍)4=2.4414，比一年存取兩次又多了一些；人總是貪婪的，他想：我每月存(1斗1°°%)12 26130取一次，一年存取十二次，本利和為(1+ 12 )12= . ，果然又增加了一些。如果計(jì)息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計(jì)息一次，甚至每秒,或者每一瞬間(理論上來說)，會(huì)發(fā)生什么狀況？本利和會(huì)無限制地加大嗎？答案是不會(huì)的，它的值會(huì)趨近于一極限值，e這個(gè)數(shù)就現(xiàn)身在該極限值當(dāng)中(當(dāng)然那時(shí)候還沒給這個(gè)數(shù)取名字叫e)。極值等于2.718281828…。當(dāng)然，實(shí)際生活中，銀行的利息沒有這么高，如果利率只有5%，那么1塊存一年最多可以拿到多少錢呢？lim(1+5%拿到多少錢呢？lim(1+5%——)n在100%利率的情況下，當(dāng)n=1000所得到的數(shù)值非常接近e：(1+100%)10001=(1+0.1)1000(1+100%)10001=(1+0.1)1000沁e為了便于思考，取n=50,：(1+5%50)50=(1+0.1)50。因此，5%利率相當(dāng)于e的20分之一次方：(1+雯)50=[(1+50100%1000丄 丄)1000〕20沁e20FV=erate注意：20FV=erate，式中rate就是利率。這說明只要是持續(xù)不斷的復(fù)合式增長，e可以用于任何增長率的計(jì)算。再考慮時(shí)間因素，如果把錢在銀行里存t年，最多可以得到多少錢呢？FV=(er)t=ert，此式為計(jì)算本利和的萬能公式，可以適用于任何時(shí)間，任何利率。進(jìn)一步思考，如果銀行利率是5%的復(fù)利，請(qǐng)問1元存款翻倍需要多少時(shí)間？求解需要多少時(shí)間等價(jià)于解方程：1?求解需要多少時(shí)間等價(jià)于解方程：1?e5%t=2ln20.69369.372t= = = ，結(jié)果是13.86年。上式最后一個(gè)等號(hào)，表明用72除以利率,5%5%55可以得到翻倍的大致時(shí)間，這就是經(jīng)濟(jì)學(xué)上著名的72法則。e在自然科學(xué)中有著重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物質(zhì)的衰變，生物增殖問題，地質(zhì)科學(xué)中考察地球年齡，用齊奧爾科夫斯基公式計(jì)算火箭速度，物體的冷卻等等講了這么多，e是一個(gè)特殊的重要極限，在高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域中起著奠基般的舉足輕重的作用。但如此重要的極限，在一般的教科書中對(duì)它的存在性的證明卻敘述得較少，甚至不證明，只讓去死記硬背一個(gè)十分難記難懂的結(jié)論。下面我嘗試證明極限e的存在，并且確定它的值。一、極限e存在性的證明1Lim(1+_)x=e為了證明極限s X首先給出關(guān)于極限存在的兩個(gè)基本準(zhǔn)則。I夾逼準(zhǔn)則：如果函數(shù)①(x)-f(x)-9(x)且Lim①(x)=A，Limp(x)=A，那么Limf(x)=A。II單調(diào)有界數(shù)列必有極限。1f(X)=(1+_)xX這個(gè)函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，我們稱之為冪指數(shù)函數(shù)。(1+1)>0只有當(dāng)x 時(shí)這個(gè)函數(shù)才有定義，故只對(duì)x>0與x<-1來證明。1、當(dāng)x>0時(shí)，首先讓x取正整數(shù)，即x=n，n=1,2,3……若x主0而(1+x)>0有伯努利不等式(1+x)n>1+nx,這個(gè)不等式可由二項(xiàng)式定理推出，并且對(duì)-1<x<0時(shí)不等式仍1然成立，可由由數(shù)學(xué)歸納法證明。因此，對(duì)伯努利不等式將x換成(-)，便有n2(1-丄)n>1-1或者(1+bn(1-■!)n>(1-■!)n2nnnn故對(duì)n>1有f(n)>(1-f(n)>(1-丄)(1-n)=匕r=n In-111+—- =f(n-1)n-1說明f(n)是隨n的增加而增加的，即f(n)是單調(diào)增加數(shù)列，另一方面由二項(xiàng)定理知

“、門1、 .n1 n(n—1)1 n(n—1)……3-2-11nn(1-口)nTOC\o"1-5"\h\zn 1!n2!nnn(1-口)n1 1 1 1 2 1 1 2-1+1+(1-一)+ (1-一)(1-一)+ +~(1-一)(1-一)1—12n 11+ 二1—12n 11+ 二3- <31-12 2n-1I「11111111<1+1+++…+—<1+1+++…+ 2! 3! n! 2 2 2n-1說明f(n)是單調(diào)增加有界數(shù)列，根據(jù)準(zhǔn)則II, f(n)的極限存在，以e表示之，即11a)Lim(1+_)n=e…1a)其次，對(duì)任意x>0，必存在兩個(gè)相鄰的整數(shù)m與m+1，使得m<x<m+1，因而11nx>從而mm+1(1+ )m+1> +—)m或者m xm+1f(m)(1+丄)>f(x)>f(m+1)(1+亠)-1TOC\o"1-5"\h\zm m+1當(dāng)xT+8時(shí)，mT+8并且f(m)Te，f(m+1)Te，(1+丄)T1,(1+1—)-1T1m m+1由準(zhǔn)則I知Limf(x)=Lim(1+-1)x=e (1b)xT+8 xT+8x2、當(dāng)x<-1時(shí)，x=-|x||x-1f(x)=(1|x-1f(x)=(1-1+」-x-1(1+亠)=f(|x|-1)(1+x一1x-1)，當(dāng)xT-8時(shí)，x|T+8，(1+)T1，f(|x|-1)Te1 )1 )=e(1c)|x-1所以Lim(1+-)x=Limf(|x|—1)(1+TOC\o"1-5"\h\zxT-8 x xT+8綜合la，lb，1c對(duì)于X>0與x<-1，極限得到了證明。二、極限e的確定與求法由二項(xiàng)定理及極限1可得到e的表達(dá)式e=Lim(1+—)n=Lim(1+ + + + )或者e=1+1+ + +nT8nnT81! 2! n! 2! 3!由此可知e是個(gè)無理數(shù)，整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。數(shù)e的近似值可以通過f(x)-ex的泰勒展開式:

4x x2x3 Xn-1 Xn—,一 ，ex=1+ + + + + +eQx 其中1<eex<ex，當(dāng)x=1時(shí)有1!2! 3! (n-1)! n!e=1e=1+1+—+-+2! 3!1 eQ ++-(n-1)!n!(1<eQ<e<3)如取n=9,可得11111111e=1+1+ + + + + + + +eQ2!3!4!5!6!