廣西柳州市鹿寨縣2022-2023學年九年級上學期開學數(shù)學試卷（A卷）

2022-2023學年廣西柳州市鹿寨縣九年級第一學期開學數(shù)學試卷（A卷）一、選擇題（本題滿分36分，每小題3分。在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的，請在答題卷上把你認為正確的答案的字母代號用2B鉛筆涂黑）1．下列四個數(shù)中，是正整數(shù)的是（）A．﹣1 B．0 C． D．12．下列計算正確的是（）A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)?a3＝a4 D．2a﹣a＝23．2的平方根是（）A． B．﹣ C．± D．±44．下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．對我市中學生每周課外閱讀時間情況的調(diào)查 B．對我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查 C．對我市中學生觀看電影《厲害了，我的國》情況的調(diào)查 D．對我國首艘國產(chǎn)航母002型各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查6．如圖，將木條a、b與c釘在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．10° B．20° C．50° D．70°7．下列各整式中，次數(shù)為3次的單項式是（）A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y38．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情況是（）A．兩個不相等的實數(shù)根 B．兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，E是邊BC的中點，AD＝ED＝3，則BC的長為（）A．3 B．3 C．6 D．610．如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（c是常數(shù)，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，則不等式y(tǒng)1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．已知⊙O的半徑為10，圓心O到弦AB的距離為5，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°12．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，依此下去，第n個正方形的面積為（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分；請把答案填在答題卡對應的位置上，在試卷上作答無效）13．（﹣1）×（﹣2）＝．14．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的兩根為x1、x2，則x1+x2的值為．15．從﹣1、0、、π、5.1、7這6個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，抽到無理數(shù)的概率是．16．如圖，在平面直角坐標系中，A（8，0），B（0，6），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C，則點C的坐標為．17．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD中點，BD和CE相交于點F，如果DF＝2，那么線段BF的長度為．18．如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，點M、N分別在線段AC、AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為．三、解答題：（本大題共8題，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，在試卷上作答無效）19．解不等式組：．20．解方程：＝+121．如圖，△ABC在平面直角坐標系內(nèi)，頂點的坐標分別為A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．（1）平移△ABC，使點C移到點C1（﹣2，﹣4），畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點A1，B1的坐標；（2）將△ABC繞點（0，3）旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；（3）求（2）中的點C旋轉(zhuǎn)到點C2時，點C經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．22．2014年3月，某海域發(fā)生航班失聯(lián)事件，我海事救援部門用高頻海洋探測儀進行海上搜救，分別在A、B兩個探測點探測到C處是信號發(fā)射點，已知A、B兩點相距400m，探測線與海平面的夾角分別是30°和60°，若CD的長是點C到海平面的最短距離．（1）問BD與AB有什么數(shù)量關(guān)系，試說明理由；（2）求信號發(fā)射點的深度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）23．某自行車經(jīng)銷商計劃投入7.1萬元購進100輛A型和30輛B型自行車，其中B型車單價是A型車單價的6倍少60元．（1）求A、B兩種型號的自行車單價分別是多少元？（2）后來由于該經(jīng)銷商資金緊張，投入購車的資金不超過5.86萬元，但購進這批自行車的總數(shù)不變，那么至多能購進B型車多少輛？24．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC＝，求BC的長．25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當AB＝5cm，AC＝12cm時，求線段PC的長．26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OA．（1）試求拋物線的解析式；（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，記m＝，試求m的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點Q是x軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本題滿分36分，每小題3分。在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的，請在答題卷上把你認為正確的答案的字母代號用2B鉛筆涂黑）1．下列四個數(shù)中，是正整數(shù)的是（）A．﹣1 B．0 C． D．1【分析】正整數(shù)是指既是正數(shù)還是整數(shù)，由此即可判定求解．解：A、﹣1是負整數(shù)，故選項錯誤；B、0是非正整數(shù)，故選項錯誤；C、是分數(shù)，不是整數(shù)，錯誤；D、1是正整數(shù)，故選項正確．故選：D．【點評】此題主要考查正整數(shù)概念，解題主要把握既是正數(shù)還是整數(shù)兩個特點，比較簡單．2．下列計算正確的是（）A．＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)?a3＝a4 D．2a﹣a＝2【分析】根據(jù)＝|a|；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變分別進行分析即可．解：A、＝4，故原題計算錯誤；B、（a2）3＝a6，故原題計算錯誤；C、a?a3＝a4，故原題計算正確；D、2a﹣a＝a，故原題計算錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、合并同類項，關(guān)鍵是掌握各知識點，記住計算法則．3．2的平方根是（）A． B．﹣ C．± D．±4【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．解：∵（±）2＝2，∴2的平方根是±．故選：C．【點評】本題考查了平方根的定義，掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有是關(guān)鍵．4．下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形定義進行解答即可．解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．5．下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A．對我市中學生每周課外閱讀時間情況的調(diào)查 B．對我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查 C．對我市中學生觀看電影《厲害了，我的國》情況的調(diào)查 D．對我國首艘國產(chǎn)航母002型各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．解：A、對我市中學生每周課外閱讀時間情況的調(diào)查，人數(shù)眾多，意義不大，應采用抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；B、對我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查，人數(shù)眾多，意義不大，應采用抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；C、對我市中學生觀看電影《厲害了，我的國》情況的調(diào)查，人數(shù)眾多，意義不大，應采用抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；D、對我國首艘國產(chǎn)航母002型各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查，意義重大，應采用普查，故此選項正確；故選：D．【點評】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．6．如圖，將木條a、b與c釘在一起，∠1＝80°，∠2＝60°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．10° B．20° C．50° D．70°【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，求出旋轉(zhuǎn)后∠2的同位角的度數(shù)，然后用∠1減去即可得到木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．解：如圖．∵∠AOC＝∠2＝60°時，OA∥b，∴要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是80°﹣60°＝20°．故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，根據(jù)同位角相等兩直線平行求出旋轉(zhuǎn)后∠2的同位角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．下列各整式中，次數(shù)為3次的單項式是（）A．xy2 B．xy3 C．x+y2 D．x+y3【分析】根據(jù)單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)對各選項分析判斷即可得解．解：A、xy2的次數(shù)是1+2＝3，故本選項正確；B、xy3的次數(shù)是4，故本選項錯誤；C、x+y2是多項式，故本選項錯誤；D、x+y3是多項式，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了單項式，主要是次數(shù)的確定，熟記單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情況是（）A．兩個不相等的實數(shù)根 B．兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．解：Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，所以方程無實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，E是邊BC的中點，AD＝ED＝3，則BC的長為（）A．3 B．3 C．6 D．6【分析】由題意得到三角形ADE為等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的長，再利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BC即可．解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，∴△ADE為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝3，∵Rt△ABC中，E為BC的中點，∴AE＝BC，則BC＝2AE＝6，故選：D．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線，以及等腰直角三角形，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（c是常數(shù)，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，則不等式y(tǒng)1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】一次函數(shù)y1＝kx+b落在與反比例函數(shù)y2＝圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍即為所求．解：∵一次函數(shù)y1＝kx+b（k、b是常數(shù)，且k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（c是常數(shù)，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，∴不等式y(tǒng)1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．已知⊙O的半徑為10，圓心O到弦AB的距離為5，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【分析】由圖可知，OA＝10，OD＝5．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度即可．解：由圖可知，OA＝10，OD＝5，在Rt△OAD中，∵OA＝10，OD＝5，AD＝，∴tan∠1＝，∠1＝60°，同理可得∠2＝60°，∴∠AOB＝∠1+∠2＝60°+60°＝120°，∴圓周角的度數(shù)是60°或120°．故選：D．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，依此下去，第n個正方形的面積為（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n【分析】先求出第一個正方形面積、第二個正方形面積、第三個正方形面積，…探究規(guī)律后，即可解決問題．解：第一個正方形的面積為1＝20，第二個正方形的面積為（）2＝2＝21，第三個正方形的面積為22，…第n個正方形的面積為2n﹣1．故選：B．【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，正方形的性質(zhì)，考查了學生找規(guī)律的能力，本題中找到Sn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分；請把答案填在答題卡對應的位置上，在試卷上作答無效）13．（﹣1）×（﹣2）＝2．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法，即可解答．解：（﹣1）×（﹣2）＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，解決本題的關(guān)鍵是熟記有理數(shù)的乘法．14．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有的兩根為x1、x2，則x1+x2的值為﹣2．【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直接得結(jié)論．解：∵一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩實根x1，x2，這里a＝1，b＝2，c＝﹣m，∴x1+x2＝﹣＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系，x1?x2＝是解決本題的關(guān)鍵．15．從﹣1、0、、π、5.1、7這6個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，抽到無理數(shù)的概率是．【分析】在6個數(shù)中找出無理數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求出抽到無理數(shù)的概率．解：∵在﹣1、0、、π、5.1、7這6個數(shù)中無理數(shù)有、π這2個，∴抽到無理數(shù)的概率是＝，故答案為：．【點評】本題考查了概率公式以及無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義找出無理數(shù)的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在平面直角坐標系中，A（8，0），B（0，6），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C，則點C的坐標為（﹣2，0）．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)解答即可．解：由題意得，OB＝6，OA＝8，∴AB＝＝10，則AC＝10，∴OC＝AC﹣OA＝2，∴點C坐標為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．17．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD中點，BD和CE相交于點F，如果DF＝2，那么線段BF的長度為4．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形對應邊成比例即可求出線段BF的長度．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵點E為AD中點，∴DE＝AD，∴DE＝BC，∴＝，∴BF＝2DF＝4．故答案為4．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段中點的定義，證明出△DEF∽△BCF是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，點M、N分別在線段AC、AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為或．【分析】依據(jù)△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進行討論：當∠CDM＝90°時，△CDM是直角三角形；當∠CMD＝90°時，△CDM是直角三角形，分別依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長．解：分兩種情況：①如圖，當∠CDM＝90°時，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，∴∠C＝30°，AB＝AC＝，由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠AMN＝60°，∴AN＝MN＝；②如圖，當∠CMD＝90°時，△CDM是直角三角形，由題可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝，∴AN＝2，BN＝，過N作NH⊥AM于H，則∠ANH＝30°，∴AH＝AN＝1，HN＝，由折疊可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝，∴MN＝，故答案為：或．【點評】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．三、解答題：（本大題共8題，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，在試卷上作答無效）19．解不等式組：．【分析】分別解兩個不等式得到x＞2和x≥3，然后根據(jù)同大取大確定不等式組的解集．解：，解①得x＞2，解②得x≥3，所以不等式組的解集為x≥3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．20．解方程：＝+1【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．解：化為整式方程得：x2﹣x＝2x+4+x2+x﹣2﹣x＝2x+4+x﹣24x＝﹣2x＝﹣0.5，經(jīng)檢驗x＝﹣0.5是原方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．21．如圖，△ABC在平面直角坐標系內(nèi)，頂點的坐標分別為A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．（1）平移△ABC，使點C移到點C1（﹣2，﹣4），畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點A1，B1的坐標；（2）將△ABC繞點（0，3）旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；（3）求（2）中的點C旋轉(zhuǎn)到點C2時，點C經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)點C移到點C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5個單位，分別作出A、B、C的對應點A1、B1、C1即可解決問題；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，作出A、B、C的對應點A2、B2、C2即可；（3）利用勾股定理計算CC2，可得半徑為2，根據(jù)圓的周長公式計算即可．解：（1）如圖所示，則△A1B1C1為所求作的三角形，∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（2）如圖所示，則△A2B2C2為所求作的三角形，（3）點C經(jīng)過的路徑長：是以（0，3）為圓心，以CC2為直徑的半圓，由勾股定理得：CC2＝＝4，∴點C經(jīng)過的路徑長：×2πr＝2π．【點評】本題考查平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出對應點解決問題，屬于中考?？碱}型．22．2014年3月，某海域發(fā)生航班失聯(lián)事件，我海事救援部門用高頻海洋探測儀進行海上搜救，分別在A、B兩個探測點探測到C處是信號發(fā)射點，已知A、B兩點相距400m，探測線與海平面的夾角分別是30°和60°，若CD的長是點C到海平面的最短距離．（1）問BD與AB有什么數(shù)量關(guān)系，試說明理由；（2）求信號發(fā)射點的深度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）易證三角形ABC的是等腰三角形，再根據(jù)30°所對直角邊是斜邊的一半可求出DB的長，（2）由（1）結(jié)合勾股定理即可求出CD的長．解：（1）由圖形可得∠BCA＝30°，∴CB＝BA＝400米，∴在Rt△CDB中又含30°角，得DB＝CB＝200米，可知，BD＝AB，（2）由勾股定理DC＝＝，＝200≈346米，∴點C的垂直深度CD是346米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力．23．某自行車經(jīng)銷商計劃投入7.1萬元購進100輛A型和30輛B型自行車，其中B型車單價是A型車單價的6倍少60元．（1）求A、B兩種型號的自行車單價分別是多少元？（2）后來由于該經(jīng)銷商資金緊張，投入購車的資金不超過5.86萬元，但購進這批自行車的總數(shù)不變，那么至多能購進B型車多少輛？【分析】（1）設A型自行車的單價為x元/輛，B型自行車的單價為y元/輛，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合B型車單價是A型車單價的6倍少60元，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設購進B型自行車m輛，則購進A型自行車（130﹣m）輛，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合投入購車的資金不超過5.86萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．解：（1）設A型自行車的單價為x元/輛，B型自行車的單價為y元/輛，根據(jù)題意得：，解得：．答：A型自行車的單價為260元/輛，B型自行車的單價為1500元/輛．（2）設購進B型自行車m輛，則購進A型自行車（130﹣m）輛，根據(jù)題意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，解得：m≤20．答：至多能購進B型車20輛．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．24．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC＝，求BC的長．【分析】（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對應邊相等AD＝CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．【解答】（1）證明：∵點O是AC中點，∴OA＝OC，∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD＝CE，∵CE∥AB，∴四邊形AECD是平行四邊形，又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD＝AD，∴四邊形AECD是菱形；（2）由（1）知，四邊形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO＝，設OD＝3x，OA＝4x，則ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x，由題意可得：，解得：x＝1，∴OD＝3，∵O，D分別是AC，AB的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴BC＝2OD＝6．【點評】本題考查了菱形的判定方法、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當AB＝5cm，AC＝12cm時，求線段PC的長．【分析】（1）先判斷出∠BAC＝2∠BAD，進而判斷出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠ADB＝∠P，再判斷出∠DCP＝∠ABD，即可得出結(jié)論；（3）先求出BC，再判斷出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出結(jié)論．解：（1）如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半徑，∴PD是⊙O的切線；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴BD＝CD＝BC＝，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP＝16.9cm．【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出△ABD∽△DCP是解本題的關(guān)鍵．26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OA．（1）試求拋物線的解析式；（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，記m＝，試求m的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點Q是x軸上的一個動點