重慶市川外附屬第二外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

重慶第二外國語學(xué)校高2023級高一下期末考試數(shù)學(xué)試卷(全卷共四大題22小題滿分：150分考試時間：120分鐘)選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和2.在中，若，，，則邊（）A． B． C． D．3．已知圓錐的體積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則它的母線長為（）A．4 B．3 C．2 D．14．某高中在校學(xué)生2000人．為了響應(yīng)“陽光體育運動”號召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動．每人都參加而且只參與了其中一項比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如下表，其中a：b：c=2：3：5，高一級高二級高三級跑步abc登山xyZ全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高二級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽?。ǎ〢．36人 B．60人 C．24人 D．30人5.天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為，用數(shù)字0，1，2，3表示下雨，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由計算機產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（）A． B． C． D．6.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A． B． C． D．7.要測量電視塔的高度，在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘牵贒點測得塔頂?shù)难鼋鞘?，并測得水平面上的，，則電視塔的高度是A． B．C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）A．平面平面 B．在棱上存在點使得平面C．二面角的大小為 D．異面直線與所成的角為多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.9.經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，則下列說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)，方差，則所有的數(shù)據(jù)相同B．若數(shù)據(jù)，的均值為3，則數(shù)據(jù)的均值為6C．若數(shù)據(jù)，的中位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有的數(shù)據(jù)不大于90D．若數(shù)據(jù)，的眾數(shù)為78，則可以說總體中的眾數(shù)一定為7810．如圖，已知長方形中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．對任意，不成立D．的最小值為411．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為12．如圖，在正方體，中，是棱的中點，是線段（不含端點）上的一個動點，那么在點的運動過程中，下列說法中正確的有A．存在某一位置，使得直線和直線相交B．存在某一位置，使得平面C．點與點到平面的距離總相等D．三棱錐的體積不變?nèi)⑻羁疹}：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．14．某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．15.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，若平面，，，，則球的表面積為__________．16．在四面體中，底面，均為直角三角形，若該四面體最大棱長等于則（1）該四面體外接球的表面積為__________________；（2）該四面體體積的最大值為_____________________.四、解答題：本題共6個小題，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17．（10分）已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與不共線．（1）若向量+k與k+2為方向相反的向量，求實數(shù)k的值；（2）若向量與的夾角為60°，求2+與﹣的夾角θ．18．（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．（1）求證：FG//平面PBD；（2）求證：BD⊥FG．19.（12分）袋中裝有個形狀、大小完全相同的球，其中標(biāo)有數(shù)字“”的球有個，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個．規(guī)定取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分．在無法看到球上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．（1）求甲、乙平局的概率；（2）從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性．20．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角所對的邊分別為，且，，_____?21．（12分）習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機制、危機干預(yù)機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài)．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用．某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知調(diào)查評分在的市民為人．（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導(dǎo)．據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由．(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=(問卷調(diào)查評分/100)22．在梯形中，，，點，分別在邊，上，沿直線，，分別將，，折起，點，，重合于一點.（1）證明：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.重慶第二外國語學(xué)校高2023級高一下期末考試數(shù)學(xué)試卷(全卷共四大題22小題滿分：150分考試時間：120分鐘)選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和解：由題意可知，是不共線的兩個向量，可以判斷選項，，都可以做基底，選項，，故選項不能做基底．故選：．2.在中，若，，，則邊（）A． B． C． D．解:因為，，所以，則，即，解得，故選：A.3．已知圓錐的體積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則它的母線長為（）A．4 B．3 C．2 D．1設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，即，又圓錐的體積為，則可解得，故母線長為2.故答案為：2.故選C4．某高中在校學(xué)生2000人．為了響應(yīng)“陽光體育運動”號召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動．每人都參加而且只參與了其中一項比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如下表，其中a：b：c=2：3：5，高一級高二級高三級跑步abc登山xyZ全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高二級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽?。ǎ〢．36人 B．60人 C．24人 D．30人解：全校參與跑步有2000×=1200人，高二級參與跑步的學(xué)生=1200××=36．故選A5.天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為，用數(shù)字0，1，2，3表示下雨，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由計算機產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（）A． B． C． D．解:代表今后三天都不下雨的隨機數(shù)有977，864，458，569，556，488，共6組，記“今后三天中至少有一天下雨”為事件，“今后三天都不下雨”為事件，則與為對立事件.所以，故選：B.6.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A． B． C． D．解：的幾何意義為與兩點間的距離，且在單位圓上，所以||的最大值為3．故選:C7.要測量電視塔的高度，在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘?，在D點測得塔頂?shù)难鼋鞘?，并測得水平面上的，，則電視塔的高度是A． B．C． D．解：由題意，設(shè)，由于平面，、平面，，，由題意可得，，在中，，，同理可得，在中，，，根據(jù)余弦定理，得，即，整理得，解之得或（舍）即所求電視塔的高度為米．故選D．8．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）A．平面平面 B．在棱上存在點使得平面C．二面角的大小為 D．異面直線與所成的角為解：根據(jù)線面垂直，異面直線所成角的大小以及二面角的求解方法分別進行判斷即可．解：對于B，取的中點，連，，側(cè)面為正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等邊三角形，，，平面，平面平面，故B正確，對于D，平面，，即異面直線與所成的角為，故D錯誤，對于，底面為菱形，，平面平面，平面，，，，”則是二面角的平面角，設(shè)，則，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小為，故錯誤，對于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，顯然平面與平面不垂直，故A錯誤；故選：B．多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.9.經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，則下列說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)，方差，則所有的數(shù)據(jù)相同B．若數(shù)據(jù)，的均值為3，則數(shù)據(jù)的均值為6C．若數(shù)據(jù)，的中位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有的數(shù)據(jù)不大于90D．若數(shù)據(jù)，的眾數(shù)為78，則可以說總體中的眾數(shù)一定為78解：A中方差為零，說明，故A正確；選項B中，所以，所以B錯誤；選項C符合百分位數(shù)的定義，正確；選項D中樣本數(shù)據(jù)具有隨機性，樣本的眾數(shù)不一定是總體的眾數(shù)，故選AC．10．如圖，已知長方形中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．對任意，不成立D．的最小值為4解：如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，由，可得，A項，當(dāng)時，，則，，設(shè)，又，所以，得，故，A錯誤；B項，當(dāng)時，，則，，故，B正確；C項，，，若，則，對于方程，，故不存在，使得，C正確；D項，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確.故選：BCD.11．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為解：因為所以可設(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為銳角，所以B錯誤；由上可知：邊最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角為銳角,可得：，所以，所以C正確；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正確.故選:ACD.12．如圖，在正方體，中，是棱的中點，是線段（不含端點）上的一個動點，那么在點的運動過程中，下列說法中正確的有A．存在某一位置，使得直線和直線相交B．存在某一位置，使得平面C．點與點到平面的距離總相等D．三棱錐的體積不變解：對于A，假設(shè)存在，則四點共面，而點不在平面內(nèi)，故A錯誤．對于B，因為，所以平面，所以當(dāng)是直線與平面的交點時就滿足要求，故B正確．對于C，因為的中點在平面內(nèi)，所以點與點到平面的距離總相等，故C正確．對于D，連接，交于O，則O為中點，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，從而三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確．故選BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡復(fù)數(shù)，進而得結(jié)果【詳解】故答案為：14．某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．解：由題意可得：，設(shè)，，則，解得，∴故答案為4．15.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，若平面，，，，則球的表面積為__________．解：設(shè)的外接圓半徑，由正弦定理得，，由題意知球半徑滿足，得，球表面積.16．在四面體中，底面，均為直角三角形，若該四面體最大棱長等于則（1）該四面體外接球的表面積為__________________；（2）該四面體體積的最大值為_____________________.答案：解：（1）利用長方體模型，所以該四面體外接球半徑，所以該四面體外接球的表面積為，（2），得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以該四面體體積的最大值為.故答案為：，.四、解答題：本題共6個小題，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17．（10分）已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與不共線．（1）若向量+k與k+2為方向相反的向量，求實數(shù)k的值；（2）若向量與的夾角為60°，求2+與﹣的夾角θ．解：（1）因為向量+k與k+2為方向相反的向量，故可設(shè)，則，又與不共線，故可得，解得.（2）向量與的夾角為60°，故可得.故，，.故又，則.18．（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．（1）求證：FG//平面PBD；（2）求證：BD⊥FG．證明：（1）連結(jié)PE，因為G.、F為EC和PC的中點，，又平面，平面，所以平面（2）因為菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因為平面，平面，且，平面，平面，BD⊥FG19.（12分）袋中裝有個形狀、大小完全相同的球，其中標(biāo)有數(shù)字“”的球有個，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個．規(guī)定取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個標(biāo)有數(shù)字“”的球記分．在無法看到球上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．（1）求甲、乙平局的概率；（2）從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性．解：（1）記標(biāo)有數(shù)字“”的球為，，，標(biāo)有數(shù)字“”的球為，，標(biāo)有數(shù)字“”的球為，則甲取球的所有情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種，由于個小球總分為分，故甲、乙平局時都得分，此時，甲取出的三個小球中有個標(biāo)有數(shù)字“”的球和個標(biāo)有數(shù)字“”的球，或有個標(biāo)有數(shù)字“”的球和個標(biāo)有數(shù)字“”的球，共有種情況，故平局的概率．（2）由甲先取球時，若甲獲勝，得分只能是分或分，即取出的三個小球中有個標(biāo)有數(shù)字“”的球和個標(biāo)有數(shù)字“”的球，或有個標(biāo)有數(shù)字“”的球和個標(biāo)有數(shù)字“”的球和個標(biāo)有數(shù)字“”的球共種情況，故甲獲勝的概率．由（1）可得平局的概率，所以甲輸，即乙獲勝的概率．所以甲、乙獲勝的概率相同．同理，由乙先取球時，甲、乙獲勝的概率也相同．故先后取球的順序不影響比賽的公平性．20．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角所對的邊分別為，且，，_____?解：選擇①由，得.若，，，與矛盾，，.若這樣的存在，根據(jù)正弦定理，由，得，與矛盾.所以，若選擇條件①，則問題中的三角形不存在.選擇②在中，根據(jù)正弦定理，得.，則，，即，整理為.，，，.根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，，解得：或（舍去）.的面積為.選擇③在中，根據(jù)正弦定理，得，即.，則，.，，，，.根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，，解得：或（舍去）.的面積為.方法：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.21．（12分）習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機制、危機干預(yù)機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài)．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用．某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高