北京市西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)高三上學(xué)期月月考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)12月高三月考試題數(shù)學(xué)(理科）第Ⅰ卷(選擇題共40分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選中符合題目要求的一項(xiàng)1。已知全集,集合，則()．A。B.C。D.【答案】B【解析】∵集合或，∴．故選．2。在平面直角坐標(biāo)系中,已知，，,則的值為（）．A.B。C。D.【答案】B【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，已知,,,則。所以。故選B。3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）．A.B。C。D.【答案】D【解析】．故選．4.為了得到函數(shù)的圖像，只需把的圖像上所有的點(diǎn)（)．A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】由，，因此，為了得到的圖像，只需將的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．故選．5?！啊笔恰昂瘮?shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的（)．A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn),則，解得或.所以“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的充分而不必要條件。故選A.點(diǎn)睛:解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)問題，對(duì)于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開口；二是，對(duì)稱軸,主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是,判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是,區(qū)間端點(diǎn)值.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為()．A.B.C。D.【答案】D【解析】∵，∴，當(dāng)時(shí),，∴，當(dāng)時(shí)，,∴，綜上所述，的解集為．故選．7.已知直線，若存在實(shí)數(shù)，使直線與曲線交于兩點(diǎn)、，且,則稱曲線具有性質(zhì),給定下列三條曲線方程:①；②；③．其中，具有性質(zhì)的曲線的序號(hào)是（）．A.①②B。②C.③D.②③【答案】D【解析】①．與直線至多一個(gè)交點(diǎn)，故①不具性質(zhì)．②．，圓心為，半徑為，直線過定點(diǎn),故存在，使直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且，具有性質(zhì)．③過點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，故存在,使得直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且,具有性質(zhì)．綜上，具有性質(zhì)的曲線的序號(hào)是②③．故選．8.甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分別住在、、、、號(hào)房間，現(xiàn)已知：（)甲與乙不是鄰居；（）乙的房號(hào)比丁小;（）丙住的房是雙數(shù);（）甲的房號(hào)比戊大．根據(jù)上述條件,丁住的房號(hào)是（）．A.號(hào)B。號(hào)C。號(hào)D.號(hào)【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，、、、、號(hào)房間分別住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房號(hào)是．故選．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分9.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則__________．【答案】—1【解析】復(fù)數(shù)，因?yàn)樵搹?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上，所以．故．點(diǎn)晴：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念。首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如，其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為,虛部為，模為，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為。10。設(shè)，，,則、、從大到小的順序?yàn)開_________．【答案】【解析】，,∴，，∴，∴．點(diǎn)晴：本題考查的是對(duì)數(shù)式的大小比較。解決本題的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,當(dāng)指、對(duì)函數(shù)的底數(shù)大于0小于1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增;另外由于指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(0，1），對(duì)數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(1，0），所以還經(jīng)常借助特殊值0,1比較大小11。在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，且，則__________．【答案】1【解析】∵是的中點(diǎn)，∴，又∵,∴,，∴．12。雙曲線的離心率為__________；若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則__________．【答案】(1).(2）.2【解析】∵雙曲線，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，雙曲線的離心率，∵橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同,∴，∴．13.已知點(diǎn)在不等式組,表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為__________．【答案】4【解析】結(jié)合不等式組表示的平面區(qū)域（如圖所示），當(dāng)點(diǎn)落在時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值為。考點(diǎn)：1。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用;2.點(diǎn)到直線的距離.14.設(shè)，定義為不小于實(shí)數(shù)的最小整數(shù)（如，），若，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若，則方程的根為__________．【答案】（1).(2)。-4【解析】∵，∴，故,設(shè)，則，,∴原方程等價(jià)于，即，從而，∴或,相應(yīng)的為，,故所有實(shí)根之和為．三、解答題:本大題共小題,共分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ)最小正周期,,．【解析】試題分析:（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,然后求的值;

(Ⅱ）直接利用正弦函數(shù)的周期的求法，以及三角函數(shù)的單調(diào)性直接求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.試題解析：（Ⅰ）函數(shù),∴．(Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，∴的最小正周期，令,則，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,．16。在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、,設(shè),．（Ⅰ）若,求的值．（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得，利用余弦定理可得，計(jì)算可得出b的值.

（Ⅱ）由三角形內(nèi)角和可得,從而,利用兩角差的正弦公式,特殊角的三角函數(shù)、同角三函數(shù)基本關(guān)系式,計(jì)算可得tanC值。試題解析：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理可得:,由余弦定理可得：,,，∴，∴，解得．(Ⅱ）∵，∴，∴，即：，∴，∴．點(diǎn)睛：本題考查的是解三角形問題。在處理解三角形問題時(shí),要注意抓住題目所給的條件,利用正弦定理把題目中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得解。有時(shí)需將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系；另外在解三角形時(shí),兩角差的正弦公式、三角形內(nèi)角和及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系應(yīng)用也比較廣泛。17.已知定圓,定直線，過的一條動(dòng)直線與直線相交于,與圓相交于,兩點(diǎn),是中點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)與垂直時(shí)，求證:過圓心．（Ⅱ）當(dāng),求直線的方程．（Ⅲ）設(shè)，試問是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）或．（Ⅲ）．【解析】試題分析：（I）由已知,故,所以直線的方程為,即可證明；（II)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),易知符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得，,求得;當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為,代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求解定值。試題解析:（Ⅰ）由已知,故，所以直線的方程為。將圓心代入方程易知過圓心。（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為,由于，所以，由，解得。故直線的方程為或.（Ⅲ）當(dāng)與軸垂直時(shí),易得，，又，則，，故,即.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得,則.，即,。又由得，則。故，綜上，的值為定值，且。另解一：連結(jié)，延長(zhǎng)交于點(diǎn),由（Ⅰ）知，又于，故。于是有。由，，得.故.另解二:連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié),，由（Ⅰ）知，又,所以四點(diǎn)都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；向量的運(yùn)算.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、向量的運(yùn)算,其中解答中涉及到直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中直線方程和圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，屬于中檔試題.18.已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函數(shù),使得對(duì)于，總有,且成立？若存在，求出的表達(dá)式;若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，，易知時(shí),，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí),取得最小值為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以,故可證，代入，得恒成立，∴，∴，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴,即對(duì)一切恒成立，綜上，存在一次函數(shù)，使得對(duì)于，總有，且，．19.已知橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)．(Ⅰ）求橢圓的方程及離心率．（Ⅱ)設(shè)為第三個(gè)象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ)根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值,則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ)四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半,分別求出對(duì)角線,的值求乘積為定值即可．試題解析：（Ⅰ)由題意得，．所以橢圓的方程．又，所以離心率．（Ⅱ）設(shè),則．又，，所以，直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．考點(diǎn):1、橢圓方程;2、直線和橢圓的關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類討論的思想．第一小題根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知,的值,則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線，的值求乘積為定值即可．20。若無窮數(shù)列滿足：只要，必有,則稱具有性質(zhì)．（Ⅰ）若具有性質(zhì)，且，，，,，求．（Ⅱ）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì),并說明理由．（Ⅲ)設(shè)是無窮數(shù)列，已知，求證：“對(duì)任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”．【答案】(Ⅰ）;（Ⅱ）見解析;(Ⅲ）見解析.【解析】試題分析：（1)根據(jù)已知條件，得到，結(jié)合求解．（2）根據(jù)的公差為，的公比為,寫出通項(xiàng)公式,從而可得．通過計(jì)算，，，，即知不具有性質(zhì)．（3)從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．試題解析：（1)因?yàn)?所以，,．于是,又因?yàn)?，解得．?）的公差為，的公比