浙江省Z20聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2023-2024學年高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前（暑假返校聯(lián)考）Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試題卷1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（） B. 3.已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（）A. B. C. D.4.已知等軸雙曲線經(jīng)過點，則的標準方程為（）A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列切“記”為數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差（）6.已知函數(shù)，則（）A. C. D.7.已知，，則（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，平面，于，，為中點，則三棱錐的體積最大值為（）A. B. C. C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知的展開式中含有常數(shù)項，則的可能取值為（）10.已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點 B.直線被圓截得的弦最長時，C.直線被圓截得的弦最短時， D.直線被圓截得的弦最短弦長為11.設數(shù)列，都是等比數(shù)列，則（）A.若，則數(shù)列也是等比數(shù)列B.若，則數(shù)列也是等比數(shù)列C.若的前項和為，則也成等比數(shù)列D.在數(shù)列中，每隔項取出一項，組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列仍是等比數(shù)列12.定義在上的函數(shù)滿足如下條件：①，②當時，；則下列結論中正確的是（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.不等式的解集為非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知成對樣本數(shù)據(jù)中互不相等，且所有樣本點都在直線上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)_________.14.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經(jīng)驗表明，某種綠茶用80℃的開水泡制，再等茶水溫度降至35℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.若茶水原來的溫度是°C，經(jīng)過一定時間，min后的溫度°C，則可由公式求得，其中表示室溫，是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有一杯80°C的綠茶放在室溫為20°C的房間中，已知茶溫降到50°C需要10min.那么在20°C室溫下，用80°C的開水剛泡好的茶水大約需要放置時間_________min，才能達到最佳飲用口感.15.杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進行分配.已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語.目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有_________種.（用數(shù)字作答）.16.已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率_________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù)的周期為，且圖像經(jīng)過點.（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別是，，，若，，，求的值.18.（12分）如圖，在長方體中，點，分別在棱上，且，.（1）證明：；（2）若，，，求平面與平面夾角的余弦值.19.（12分）在數(shù)列中，，的前項為.（1）求證：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.20.（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當時，21.（12分）2023年中央一號文件指出，民族要復興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺準備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設直播帶貨專場.直播前，此平臺用不同的單價試銷，并在購買的顧客中進行體驗調(diào)查問卷.已知有名熱心參與問卷的顧客，此平臺決定在直播中專門為他們設置兩次抽獎活動，每次抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會有禮品贈送，若直播時這名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總人數(shù)為（不重復寸敎）.（1）若甲是這名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為，求；（2）求使取得最大值時的整數(shù).22.（12分）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個點.（1）當時，求四邊形的面積；（2）四邊形的對角線交點是否可能為，若可能，求出此時的值，若不可能，請說明理由；（3）當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值.Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學參考答案選擇題123456789101112BACADBDBACABCABDACD填空題116.部分小題詳解：7.解析：將平方得，所以，則.所以，從而.聯(lián)立，得.所以，.故.故選D.8.解析：因為平面，平而，所以，又，，平面，所以平面，又平面，則，又，而，平面，所以平面，又平面，所以，則，所以，當且僅當且平面時，取“=”，故選B.10.解析：直線/的方程可化為，聯(lián)立，解得，所以直線恒過定點（3，1），則A正確；當直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長，此時，解得，，則B正確；當直線時，直線被圓截得的弦長最短，直線的斜率為，，由，解得，則C正確；此時直線的方程是，圓心到直線的距離為，，所以最短弦長是，則D不正確.故選ABC.11.解析：數(shù)列，都是等比數(shù)列，設公比分別為、（、均不為0）對于A，由，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列；對于B，由，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列；對于C，舉反例：，則，不成等比數(shù)列；對于D，為常數(shù)，D正確.故選ABD.17.解：（1）由題意知，，則，又，則，，所以，，又，所以，則，由三角函數(shù)的性質可得：，.解得：，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由得，，即，結合正弦定理得，，即，又，所以，即，又，所以，則，所以，由余弦定理有，.18.解：（1）如圖，在棱上取點，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，則且，又且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，由得，，解得，，令，則，，，設平面的法向量為，由得，，解得，令，則，設兩個平面夾角大小為，則.19.解析：（1）∵，∴即，又，∴數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴.（2）所以，，當時取等，所以：.20.解：（1）此時，，所以，當時，，單調(diào)遞增當時，，單調(diào)遞減故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為，所以當時，，當時，所以，下證：，即證：.記，，當時，，當時，所以，所以恒成立，即.21.解：（1）記“甲被抽中”，“第次被抽中”，則，解得.（2）記，即求在何時取到最大值.解得，所以，當或40時，取到最大值.22.【答案】（1）（2）不可能（3）【詳解】（1）將代入，并化簡得，解得或，代入拋物線方程可得，，，；（2）聯(lián)立拋物線與圓