高一數(shù)學(xué)人教A版2019試題2.2基本不等式（第2課時）

2.2基本不等式（第2課時）（2種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實基礎(chǔ)】題型一：基本不等式求最值1．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的最小值為4.2．已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.3．已知，用基本不等式求的最小值時，有，則取得最小值時的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即取得最小值．4．下列說法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值8【答案】C【詳解】對于選項,只有當(dāng)時，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對于選項,，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對于選項,，則正確；對于選項,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，則不正確.5.已知，則的最值為（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【詳解】因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值3；令，對函數(shù)，其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，無最大值.故時，無最大值.6.若不等式對滿足條件的恒成立，則實數(shù)k的最大值為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【詳解】解：根據(jù)

，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，化簡可得，因為，所以，，所以運用，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，又因為恒成立，所以，即k的最大值是4．7．（2022·全國·益陽平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【詳解】因為，所以.因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是6.8．（多選）設(shè)正實數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為2【答案】CD【詳解】對于選項，，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即，時取等號，則錯誤；對于選項，,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，即的最大值為2，則錯誤；對于選項，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則正確；對于選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則正確,9.（多選）已知，都為正數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【詳解】對于A，因為，都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號，所以的最大值為，所以A正確，對于B，因為，所以，由選項A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為，所以B正確，對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，但，都為正數(shù)，故等號取不到，所以C錯誤，對于D，因為，都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即，時取等號，所以的最小值為，所以D正確，10．已知，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【詳解】因為，所以，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值，即.11.函數(shù)的最小值是___________.【答案】【詳解】由題設(shè)知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故函數(shù)最小值為.12．若“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求出，，根據(jù)不等式“，不等式恒成立”可得答案.【詳解】由基本不等式可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”），因為“，不等式恒成立”，故,故答案為：13．已知，，且，則的最小值為_________【答案】【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，14．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．【答案】【詳解】因為，令，則，又因為，可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，即時，等號成立，所以，即的最小值為.15．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【詳解】因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.16．設(shè)，求函數(shù)的最大值.【答案】4【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)則,分析可得當(dāng)時,有最大值16,則此時有最大值;故函數(shù)的最大值為4.17求函數(shù)的最值.【答案】最小值為，無最大值【詳解】解：，令，則，因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值.故的最小值為，無最大值.題型二：利用基本不等式求實際問題的最值18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某汽車客運站購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x為二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，則當(dāng)每輛客車營運的年平均利潤最大時，其營運年數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】由題意可設(shè)，且當(dāng)時，，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．19.設(shè)計用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【詳解】設(shè)長方體車廂的長為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立．∴車廂容積的最大值為．選B．20．用一根長為12m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架（不計損耗），要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的寬為______m．【答案】【詳解】設(shè)框架的寬為x，則其高為，要使這個窗戶通過的陽光最充足，只要窗戶的面積S最大，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故框架的寬為m．故答案為：21．某校為了美化校園環(huán)境，計劃在學(xué)?？盏亟ㄔO(shè)一個面積為的長方形草坪，如圖所示，花草坪中間設(shè)計一個矩形ABCD種植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空間種植草坪，設(shè)花草坪長度為x（單位：m），寬度為y（單位：m），矩形ABCD的面積為s（單位：）(1)試用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此時x，y的值．【答案】(1)(2)s的最大值為，此時，．（1）由題意可得,矩形ABCD長為(x3)m,寬為(y2)m,故.（2）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng),即，時取等號）.故s的最大值為,此時，.【能力提升】1．（2022秋·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，又均為正實數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取"=")，，此時.，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得"="，滿足題意.的最大值為1.2．（多選）已知，，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【詳解】對于A，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，解得，即，A錯誤；對于B,由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，得，所以,B正確；對于C,由，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立,但，所以．（等號取不到）,故C錯誤；對于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D正確，故選：BD3.（多選）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）．A．如果，那么取得最大值時的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【詳解】解：對于A.如果，那么，當(dāng)時取得最大值，故正確；，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故正確；對于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解，不能取得最小值2，故錯誤；對于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值，故錯誤.故選：AB4．（多選）（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x、y，滿足，則下列說法正確的是（

）A．xy的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為 D．的最小值為1【答案】ABD【詳解】對于A，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以xy的最大值為1，故A正確；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以的最大值為2，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，令，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時，等號成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.5．（多選）（2023秋·吉林通化·高一梅河口市第五中學(xué)校考期末）下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（

）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為2C．已知，，，則的最小值為D．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是3【答案】AC【詳解】因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故A正確；函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B錯誤；因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D錯誤.6．（多選）（2023春·湖北武漢·高一武漢實驗外國語學(xué)校期末）已知，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以A正確，對于B，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以B錯誤，對于C，由，，，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以C正確，對于D，由，得，化簡得，所以，因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以D正確，故選：ACD7．（多選）（2023秋·湖北武漢·高一武漢實驗外國語學(xué)校期末）設(shè)正數(shù)滿足，則有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】對于A，由基本不等式推論有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故A正確.對于B，，由A分析可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故B正確.對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故C正確.對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故D正確.8．不等式的解集為，則的最大值為____________.【答案】【詳解】當(dāng)時，即不等式的解集為，則，，要使得有意義，此時，則；當(dāng)時，若不等式的解集為，則，即，所以，，因為，則，當(dāng)時，則，此時；當(dāng)時，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜上所述，的最大值為.9.已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正確的序號是________．【答案】①②④【詳解】解：對于①:，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號），所以①正確；對于②：由①有，設(shè)，則在上單調(diào)遞減．所以，所以②正確；對于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號），．所以③錯誤．對于④：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），所以④正確．10.已知，，若不等式恒成立，則的最大值是______.【答案】【詳解】，，不等式恒成立，恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，的最小值為，所以，即的最大值為，11．已知，，且，則的最小值為__________.【答案】【詳解】由題意，，因為，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，故的最小值為.12．已知，，且，則的最大值為____．【答案】【詳解】由，，得，即又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，13.若正實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】4【詳解】因為，所以，又且，所以，解得，=結(jié)合知，有最大值4.14.若實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為.15．（2023春·浙江杭州·高一?？计谥校┮阎?，則的最小值是.【答案】【詳解】設(shè)，由對應(yīng)系數(shù)相等得，得所以整理得即所以.經(jīng)驗證當(dāng)時，等號可取到.16．（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，則的最小值.【答案】20【詳解】令，則，去分母化簡得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．17．（2023春·云南昆明·高一云南省昆明市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則的最大值是.【答案】【詳解】，設(shè)，所以原式=，令所以原式=.18．（2023秋·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的最小值為.【答案】【詳解】解：令，，因為，所以，則，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時取“”，所以的最小值為.19．（2021秋·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知x，y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值是.【答案】【詳解】因為4x+y+2xy+1=0，則4x+y+2xy+2=1，即令2，所以所以x2+y2+x+4y由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號所以x2+y2+x+4y的最小值為.20．（2021秋·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考期末）若實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為.21．（2022秋·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎鶠檎龜?shù)，且，則的最小值為．【答案】7【詳解】∵a，b均為正數(shù)，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．則=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時取等號．∴（+b2）（1+1）≥≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時取等號．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．22．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】【詳解】令當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立或即或或或綜合得因為不等式恒成立，則.23.（1）已知，，均為正實數(shù)，求證：．（2）已知，，是互不相等的正數(shù)，且，求證