高一數(shù)學(xué)人教A版2019試題2.2基本不等式（第2課時(shí)）

2.2基本不等式（第2課時(shí)）（2種題型分類(lèi)基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：基本不等式求最值1．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4.2．已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.3．已知，用基本不等式求的最小值時(shí)，有，則取得最小值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取得最小值．4．下列說(shuō)法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng),只有當(dāng)時(shí)，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，則正確；對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，則不正確.5.已知，則的最值為（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值3；令，對(duì)函數(shù)，其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，無(wú)最大值.故時(shí)，無(wú)最大值.6.若不等式對(duì)滿足條件的恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【詳解】解：根據(jù)

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，，所以運(yùn)用，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即k的最大值是4．7．（2022·全國(guó)·益陽(yáng)平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是6.8．（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為2【答案】CD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，即的最大值為2，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確,9.（多選）已知，都為正數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，都為正?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋?，由選項(xiàng)A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但，都為正數(shù)，故等號(hào)取不到，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，都為正?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D正確，10．已知，則函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即.11.函數(shù)的最小值是___________.【答案】【詳解】由題設(shè)知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)最小值為.12．若“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求出，，根據(jù)不等式“，不等式恒成立”可得答案.【詳解】由基本不等式可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”），因?yàn)椤埃坏仁胶愠闪ⅰ?，?故答案為：13．已知，，且，則的最小值為_(kāi)________【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，14．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)__．【答案】【詳解】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.15．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為_(kāi)__________．【答案】【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.16．設(shè)，求函數(shù)的最大值.【答案】4【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)則,分析可得當(dāng)時(shí),有最大值16,則此時(shí)有最大值;故函數(shù)的最大值為4.17求函數(shù)的最值.【答案】最小值為，無(wú)最大值【詳解】解：，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為，無(wú)最大值.題型二：利用基本不等式求實(shí)際問(wèn)題的最值18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某汽車(chē)客運(yùn)站購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x為二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，則當(dāng)每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，其營(yíng)運(yùn)年數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】由題意可設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．19.設(shè)計(jì)用的材料制造某種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋車(chē)廂，按交通部門(mén)的規(guī)定車(chē)廂寬度為，則車(chē)廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體車(chē)廂的長(zhǎng)為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車(chē)廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．∴車(chē)廂容積的最大值為．選B．20．用一根長(zhǎng)為12m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架（不計(jì)損耗），要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足，則框架的寬為_(kāi)_____m．【答案】【詳解】設(shè)框架的寬為x，則其高為，要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足，只要窗戶的面積S最大，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故框架的寬為m．故答案為：21．某校為了美化校園環(huán)境，計(jì)劃在學(xué)?？盏亟ㄔO(shè)一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形草坪，如圖所示，花草坪中間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形ABCD種植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空間種植草坪，設(shè)花草坪長(zhǎng)度為x（單位：m），寬度為y（單位：m），矩形ABCD的面積為s（單位：）(1)試用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此時(shí)x，y的值．【答案】(1)(2)s的最大值為，此時(shí)，．（1）由題意可得,矩形ABCD長(zhǎng)為(x3)m,寬為(y2)m,故.（2）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng),即，時(shí)取等號(hào)）.故s的最大值為,此時(shí)，.【能力提升】1．（2022秋·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，又均為正實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"=")，，此時(shí).，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得"="，滿足題意.的最大值為1.2．（多選）已知，，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，解得，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，所以,B正確；對(duì)于C,由，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立,但，所以．（等號(hào)取不到）,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D正確，故選：BD3.（多選）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【詳解】解：對(duì)于A.如果，那么，當(dāng)時(shí)取得最大值，故正確；，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故正確；對(duì)于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無(wú)解，不能取得最小值2，故錯(cuò)誤；對(duì)于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，故錯(cuò)誤.故選：AB4．（多選）（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x、y，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．xy的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為 D．的最小值為1【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以xy的最大值為1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為2，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.5．（多選）（2023秋·吉林通化·高一梅河口市第五中學(xué)校考期末）下列關(guān)于基本不等式的說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為2C．已知，，，則的最小值為D．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是3【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.6．（多選）（2023春·湖北武漢·高一武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末）已知，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，，，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以C正確，對(duì)于D，由，得，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以D正確，故選：ACD7．（多選）（2023秋·湖北武漢·高一武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末）設(shè)正數(shù)滿足，則有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由基本不等式推論有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故A正確.對(duì)于B，，由A分析可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故B正確.對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故C正確.對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故D正確.8．不等式的解集為，則的最大值為_(kāi)___________.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，即不等式的解集為，則，，要使得有意義，此時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，若不等式的解集為，則，即，所以，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.9.已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正確的序號(hào)是________．【答案】①②④【詳解】解：對(duì)于①:，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以①正確；對(duì)于②：由①有，設(shè)，則在上單調(diào)遞減．所以，所以②正確；對(duì)于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），．所以③錯(cuò)誤．對(duì)于④：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以④正確．10.已知，，若不等式恒成立，則的最大值是______.【答案】【詳解】，，不等式恒成立，恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最小值為，所以，即的最大值為，11．已知，，且，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由題意，，因?yàn)?，令，，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故的最小值為.12．已知，，且，則的最大值為_(kāi)___．【答案】【詳解】由，，得，即又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，13.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】4【詳解】因?yàn)?，所以，又且，所以，解得?結(jié)合知，有最大值4.14.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.15．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知，若，則的最小值是.【答案】【詳解】設(shè)，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，得所以整理得即所以.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等號(hào)可取到.16．（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┮阎?，則的最小值.【答案】20【詳解】令，則，去分母化簡(jiǎn)得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．17．（2023春·云南昆明·高一云南省昆明市第五中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最大值是.【答案】【詳解】，設(shè)，所以原式=，令所以原式=.18．（2023秋·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的最小值為.【答案】【詳解】解：令，，因?yàn)?，所以，則，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時(shí)取“”，所以的最小值為.19．（2021秋·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知x，y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值是.【答案】【詳解】因?yàn)?x+y+2xy+1=0，則4x+y+2xy+2=1，即令2，所以所以x2+y2+x+4y由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)所以x2+y2+x+4y的最小值為.20．（2021秋·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谀┤魧?shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.21．（2022秋·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)校考期中）已知，均為正數(shù)，且，則的最小值為．【答案】7【詳解】∵a，b均為正數(shù)，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．則=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．∴（+b2）（1+1）≥≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．22．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】【詳解】令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立或即或或或綜合得因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則.23.（1）已知，，均為正實(shí)數(shù)，求證：．（2）已知，，是互不相等的正數(shù)，且，求證