2021-2022學(xué)年山東省菏澤市牡丹區(qū)二十一初級(jí)中學(xué)中考五模數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.已知。。的半徑為13,弦AB〃CD,AB=24,CD=10,則四邊形ACDB的面積是（）

A.119B.289C.77或119D.119或289

1,6這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到有理數(shù)的概率是（

2.從，0>7T,

1234

A.一B.-C.-D.一

5555

3.4的平方根是（)

A.16B.2C.±2D.土血

4.如圖，已知△ABC,AB=AC,將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的△DBC與原AABC拼成四邊形ABDC,則能直接

判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）

A.四條邊相等的四邊形是菱形B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

5.下列計(jì)算正確的是（）

A.亞-0=GB.7?=±2

C.a6-ra2=a3D.（-a2）3=-a6

6.一球鞋廠，現(xiàn)打折促銷賣出330雙球鞋，比上個(gè)月多賣10%,設(shè)上個(gè)月賣出x雙，列出方程（）

A.10%x=330B.（1-10%）x=330

C.（1-10%）2x=330D.（1+10%）x=330

7.下列各數(shù)：1.414,&，-0,其中是無理數(shù)的為（）

A.1.414B.72C.--D.0

8.tan45。的值等于（

「百

A百也Vz■----D.1

3.22

9.如圖所示的幾何體是由4個(gè)大小相同的小立方體搭成，其俯視圖是（）

k

10.一次函數(shù)、，=1皿14（厚0）和反比例函數(shù)y=y左。0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

r—4

11.如果分式一的值為0,那么X的值為_________.

x+2

3

12.如圖，反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象與矩形OABC的邊長AB、BC分別交于點(diǎn)E、F且AE=BE,則△OEF

X

,一「一14

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ai,Az>A3和Bi,BifB3分別在直線y=—x+—和x軸上，△OAiBi,AB1A2B2,AB2A3B3

都是等腰直角三角形.則A3的坐標(biāo)為.

257

14.豎直上拋的小球離地面的高度h(米)與時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式為h=-2?+/n/+—,若小球經(jīng)過一秒落地,

84

則小球在上拋的過程中，第一秒時(shí)離地面最高.

15.某航班每次飛行約有H1名乘客，若飛機(jī)失事的概率為p=L11115,一家保險(xiǎn)公司要為乘客保險(xiǎn)，許諾飛機(jī)一旦

失事，向每位乘客賠償41萬元人民幣.平均來說，保險(xiǎn)公司應(yīng)向每位乘客至少收取____元保險(xiǎn)費(fèi)才能保證不虧本.

16.在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色的玻璃球共有20個(gè)，這些球除顏色外其它完全相同.將袋中的球攪勻，從中

隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，不斷地重復(fù)這個(gè)過程，摸了200次后，發(fā)現(xiàn)有60次摸到黑球，請(qǐng)你估計(jì)這

個(gè)袋中紅球約有個(gè).

17.一般地，當(dāng)a、。為任意角時(shí)，sin(a+|J)與sin(a-0)的值可以用下面的公式求得：sin(a+p)=sina?cosp+cosa?sinp；

/o/T11

sin(a-B)=sina*cosB-cosa*sinB.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin600*cos300+cos600?sin300=—―x--H——x—=1.類

2222

似地，可以求得sinl5。的值是.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

x>3(x-2)+4

18.(10分)解不等式組:2x-1x+1并把解集在數(shù)軸上表示出來.

------<----

I52

19.(5分)某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià)60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查

反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣30件.已知該款童裝每件成本價(jià)40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星期的銷售

量為y件.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

(3)若該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝多少件？

20.(8分)［閱讀］我們定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“中邊三角形”，

把這條邊和其邊上的中線稱為“對(duì)應(yīng)邊”.

A

［理解］如圖1,RSABC是“中邊三角形”，NC=90。，AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”，求tanA的值；

［探究］如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,ZABC=2p,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC

和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過的路程為s.當(dāng)0=45。時(shí)，若AAPQ是“中邊三角形”，試求區(qū)的值.

s

21.（10分）如圖,AB=16Q為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O,B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。后得到扇

形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異根上連接OP.

22.（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,CD是（DO的直徑，AB與CD交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn)，AP=AC,

且NB=2NP.

（1）求證：PA是。。的切線；

（2）若PD=G，求。O的直徑；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)B等分半圓CD,求DE的長.

23.（12分）網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式，售后評(píng)價(jià)特別引人關(guān)注，消費(fèi)者在網(wǎng)店購買某種商品后,

對(duì)其有

“好評(píng)，，、“中評(píng),,、“差評(píng),，三種評(píng)價(jià)，假設(shè)這三種評(píng)價(jià)是等可能的.

(1)小明對(duì)一家網(wǎng)店銷售某種商品顯示的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并列出了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

利用圖中所提供的信息解決以下問題:

①小明一共統(tǒng)計(jì)了個(gè)評(píng)價(jià);

②請(qǐng)將圖1補(bǔ)充完整；

③圖2中“差評(píng)”所占的百分比是

(2)若甲、乙兩名消費(fèi)者在該網(wǎng)店購買了同一商品，請(qǐng)你用列表格或畫樹狀圖的方法幫助店主求一下兩人中至少有一

個(gè)給“好評(píng),，的概率.

13

24.(14分)計(jì)算：(-)-I+(耳［鼻)°+V27-2cos30°.

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、D

【解析】

分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理

和垂徑定理，然后按梯形面積的求解即可.

【詳解】

解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1,

VAB=24cm,CD=10cm,

:.AE=12cm,CF=5cm,

:.OA=OC=13cm,

:.EO=5cm,OF=12cm,

:.EF=12-5=7cm；

四邊形ACDB的面積1（24+10）x7=119

②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2,

VAB=24cm,CD=10cm,

A.AE=12cm,CF=5cm,

VOA=OC=13cm,

:.EO=5cm,OF=12cm,

:.EF=OF+OE=17cm.

.??四邊形ACDB的面積;（24+10）x17=289

二四邊形ACDB的面積為119或289.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用,

小心別漏解.

2、C

【解析】

根據(jù)有理數(shù)的定義可找出在從五，0,n,6這5個(gè)數(shù)中只有0、I,6為有理數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求出抽到

有理數(shù)的概率.

【詳解】

,:在O,o,7T,6這5個(gè)數(shù)中有理數(shù)只有0、；、6這3個(gè)數(shù)，

3

???抽到有理數(shù)的概率是g,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率公式以及有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義找出五個(gè)數(shù)中的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解析】

試題解析：：（±2）2=4,

.?.4的平方根是±2,

故選C.

考點(diǎn)：平方根.

4、A

【解析】

根據(jù)翻折得出AC=CD,推出A8=8O=CD=AC,根據(jù)菱形的判定推出即可.

【詳解】

V將△ABC延底邊BC翻折得到△DBC,

；.AB=BD,AC=CD,

'：AB=AC,

：.AB=BD=CD=AC,

二四邊形A5QC是菱形；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定方法：四邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的

平行四邊形是菱形.

5、D

【解析】

根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，同類二次根式的判斷，開算術(shù)平方根，同底數(shù)■的除法及嘉的乘方運(yùn)算.

【詳解】

A.不是同類二次根式，不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B."=2#2,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.a6va2=aVa3,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.(-a2)3=-a6,故D選項(xiàng)正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次根式的運(yùn)算法則，開算術(shù)平方根，同底數(shù)易的除法及事的乘方運(yùn)算，熟記法則是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

解：設(shè)上個(gè)月賣出x雙，根據(jù)題意得：(1+10%)x=l.故選D.

7、B

【解析】

試題分析：根據(jù)無理數(shù)的定義可得后是無理數(shù).故答案選B.

考點(diǎn)：無理數(shù)的定義.

8、D

【解析】

根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

【詳解】

解：tan45°=l,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

9、C

【解析】

試題分析：根據(jù)三視圖的意義，可知俯視圖為從上面往下看，因此可知共有三個(gè)正方形，在一條線上.

故選C.

考點(diǎn)：三視圖

10、C

【解析】

A、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知k>0,由一次函數(shù)的圖象過二、四象限可知k<0,兩結(jié)論相矛盾，故選項(xiàng)

錯(cuò)誤；B、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知kVO,由一次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸可知k>0,

兩結(jié)論相矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知kVO,由一次函數(shù)的圖象過二、三、四象限

可知kVO,兩結(jié)論一致，故選項(xiàng)正確；D、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知k>0,由一次函數(shù)的圖象與y軸交

點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸可知kVO,兩結(jié)論相矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選C.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、4

【解析】

q=o,

x+2

.*.x-4=0,x+24,

解得：x=4,

故答案為4.

9

12、

4

【解析】

試題分析：如圖，連接OB.

33

(x>0)的圖象上的點(diǎn)，EAJ_x軸于A,FClytt^C,ASAAOE=SACOF=-xl=-.

x22

???3

?AE=BE,??SABOE=SAAOE=—,SABOC=SAAOB=1-

2

33

:.SABOF=SABOC-SACOF=1-----=—?F是BC的中點(diǎn).

22

.33339

??SAOEF=S矩形AOCB-SAAOE-SACOF-SABEF=6------------------x—=一

22224

,299、

13、A3(—,一)

44

【解析】

14

設(shè)直線y=gX+1與x軸的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)Ai,A?,A3分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F,由條件可求得

生=券=笑，再根據(jù)等腰三角形可分別求得AID、A2E、A3F,可得到Al,Az,A3的坐標(biāo).

CJDGECJF

【詳解】

14

設(shè)直線y=gx+g與x軸的交點(diǎn)為G,

令y=0可解得x=-4,

.??G點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0）,

.,.OG=4,

如圖1,過點(diǎn)Ai,A2,A3分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F,

???△AjB.O為等腰直角三角形,

/.AiD=OD,

卜14

又點(diǎn)Ai在直線y=-x+-±,

55

.??冬L即3-上

GD50G+A.D5

解得AiD=l=(|)。,

AAi(1,1),OBi=2,

□人E1AJ11

同理可得請(qǐng)彳即南方

解得A2E=；

2

=(-)貝I」OE=OBi+BiE=Z,

22

A2(1,-OB2=5,

22

9

同理可求得AiF=-

4

=(-)2,貝！IOF=5+-=—,

244

故答案為（"，-）

44

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意找到點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意觀察

數(shù)據(jù)的變化.

14、乙

7

【解析】

b

首先根據(jù)題意得出m的值，進(jìn)而求出t=--的值即可求得答案.

2a

【詳解】

257

???豎直上拋的小球離地面的高度加米）與時(shí)間，（秒）的函數(shù)關(guān)系式為h=-ie+mt+—,小球經(jīng)過一秒落地，

84

7-

..f=一時(shí)，h=Q,

4

7725

則0=-2x（—）2+—m+一，

448

?12

解得：，"=亍，

12

當(dāng)t=---b-=--7=。Q時(shí)，h最大，

2a2x（-2）-7

3

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出機(jī)的值是解題關(guān)鍵.

15、21

【解析】

每次約有111名乘客，如飛機(jī)一旦失事，每位乘客賠償41萬人民幣，共計(jì)4111萬元，由題意可得一次飛行中飛機(jī)失

事的概率為P=1.UU5,所以賠償?shù)腻X數(shù)為41111111x1.11115=2111元，即可得至少應(yīng)該收取保險(xiǎn)費(fèi)每人需=21元.

16、1

【解析】

估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到黑球的概率為0.3,然后根據(jù)概率公式計(jì)算這個(gè)口袋中黑球的數(shù)量，繼而得出答案.

【詳解】

因?yàn)楣裁?00次球，發(fā)現(xiàn)有60次摸到黑球，

所以估計(jì)摸到黑球的概率為0.3,

所以估計(jì)這個(gè)口袋中黑球的數(shù)量為20x0.3=6（個(gè)），

則紅球大約有20-6=1個(gè)，

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越

小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.用頻率

估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

17I>----------?

4

【解析】

試題分析：sinl5°=sin（60°-45°）=sin60o,cos450-cos60o,sin45°=x——x~.故答案為^.

222244

考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；新定義.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、不等式組的解集為-7VxSl,將解集表示在數(shù)軸上表示見解析.

【解析】

試題分析：先解不等式組中的每一個(gè)不等式，再根據(jù)大大取較大，小小取較小，大小小大取中間，大大小小無解，把

它們的解集用一條不等式表示出來.

試題解析：由①得：-2年-2,即爛1,

由②得：4x-2<5x+5,即x>-7,

所以-7〈爛1.

在數(shù)軸上表示為：

—&......，上—

.7.5-4-7-1012

考點(diǎn)：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

點(diǎn)睛：分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)不等式的

解集在數(shù)軸上表示出來（>,之向右畫；<,W向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表

示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)2”，“W”

要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“V”，要用空心圓點(diǎn)表示.

19、（1）y=-30x+l；（2）每件售價(jià)定為55元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤2元；（3）該網(wǎng)店每星期想要獲

得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝360件.

【解析】

(1)每星期的銷售量等于原來的銷售量加上因降價(jià)而多銷售的銷售量，代入即可求解函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)利潤=銷售量x(銷售單價(jià)-成本)，建立二次函數(shù)，用配方法求得最大值.

(3)根據(jù)題意可列不等式，再取等將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程并求解，根據(jù)每星期的銷售利潤所在拋物線開口向下求出

滿足條件的x的取值范圍，再根據(jù)(1)中一元一次方程求得滿足條件的x的取值范圍內(nèi)y的最小值即可.

【詳解】

(1)y=300+30(60-x)=-30x+l.

(2)設(shè)每星期利潤為W元，

W=(x-40)(-30x+l)=-30(x-55)2+2.

，x=55時(shí)，W最大值=2.

???每件售價(jià)定為55元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤2元.

(3)由題意(x-40)(-30x4-1)>6480,解得52sxs58,

當(dāng)x=52時(shí)，銷售300+30x8=540,

當(dāng)x=58時(shí)，銷售300+30x2=360,

...該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝360件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，注意綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題.

20、tanA=@；綜上所述，當(dāng)懺45。時(shí)，若△APQ是“中邊三角形”，應(yīng)的值為3或巫+_L.

254102

【解析】

⑴由AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”，可得AC=BD,設(shè)AC=2x,貝!ICD=x,BD=2x,可得.,.BCMx,可得tanA=^=場(chǎng)」^

AC2x2

(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，連接AC,交PQ于點(diǎn)E,延長AB交QP的延長線于點(diǎn)F,可得AC是QP的垂直平分線.

可求得△AEFsaCEP,需=廣，分兩種情況：

尸匕za-s

當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時(shí)，

AE=s=2

而-2a-s一『

?a_3

,?g-彳;

當(dāng)腰AP與它的中線QM相等時(shí)，即AP=QM時(shí)，QM=AQ,

(3)作QN±AP于N,可得tanNAPQ=黔唔”隼，

tanNAPE=^=y^-=坐，

PE2a-s3

2=垣J,

s10

【詳解】

解：［理解］：AC和BD是“對(duì)應(yīng)邊”,

，AC=BD,

設(shè)AC=2x,貝!JCD=x,BD=2x,

,:ZC=90°,

:.BC=VBD2-CD2=V4X2-X2=V3X,

?，BCax\/3

??tanAA~W

［探究］若B=45。，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中邊三角形”,

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，連接AC,交PQ于點(diǎn)E,延長AB交QP的延長線于點(diǎn)F,

VPC=QC,ZACB=ZACD,

?'.AC是QP的垂直平分線,

，AP=AQ,

VZCAB=ZACP,NAEF=NCEP,

.".△AEF<^ACEP,

..?-A--E-=-A--F-=-A--B-+--B--P-,3

CEPCPC4

VPE=CE,

?桓__s

-<PE=2a-s，

分兩種情況：

當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時(shí),

AE=s=2

PE2a-s1'

?a3

??s一=：4；

當(dāng)腰AP與它的中線QM相等時(shí)，即AP=QM時(shí)，QM=AQ,

如圖3,作QN_LAP于N,

AMN=AN=1PM=^M,

?,.QN=V15MN,

:.ntanNAPQ=罌=叵MN-原，

“PN3KN3

taNAPE卷=9-=運(yùn)，

PE2a-s3

?a_V15,1

?,丁丁枳

綜上所述，當(dāng)。=45。時(shí)，若AAPQ是“中邊三角形"，］的值為|?或得總.

A

yg<y\E【點(diǎn)睛】本題是一道相似形綜合運(yùn)用的試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理

的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，銳角三角形函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角函

數(shù)值建立方程求解是解答的關(guān)鍵.

14

21、(1)詳見解析；(2)—乃；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)連接OQ,由切線性質(zhì)得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPOWR3BQO,再由全等三角

形性質(zhì)即可得證.

(2)由(1)中全等三角形性質(zhì)得NAOP=NBOQ,從而可得P、O、Q三點(diǎn)共線，在R3BOQ中，根據(jù)余弦定義可

得cosB="，由特殊角的三角函數(shù)值可得NB=30。，ZBOQ=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OQ=4,結(jié)合題意可

得NQOD度數(shù)，由弧長公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性質(zhì)可得△APO的外心是OA的中點(diǎn)，結(jié)合題意可得OC取值范圍.

【詳解】

VAP,BQ是。。的切線,

/.OP±AP,OQ_LBQ,

:.ZAPO=ZBQO=90o,

在RtAAPO和RtABQO中,

OP=OQ

OA=OB'

.'.RtAAPO^RtABQO,

，AP=BQ.

(2)；RtAAPO絲RtABQO,

...NAOP=NBOQ,

.??P、O、Q三點(diǎn)共線，

?.?在RtABOQ中,cosB=^=,

0882

:.ZB=30o,ZBOQ=60°,

1

AOQ=yOB=4,

VZCOD=90°,

二ZQOD=90°+60°=150°,

210-^-414

優(yōu)弧QD的長=一71

180

(3)解：設(shè)點(diǎn)M為RSAPO的外心，則M為OA的中點(diǎn),

VOA=1,

.??OM=4,

...當(dāng)AAPO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OMVOC,

AOC的取值范圍為4<OC<1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心、弧長的計(jì)算、扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是：(1)利用全等三角形的判定定理HL證出RtAAPO^RtABQO；(2)通過解直角三角形求出圓的半徑；(3)

牢記直角三角形外心為斜邊的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

22、(1)證明見解析；(2)25/3;(3)3-V3;

【解析】

(1)連接OA、AD,如圖，利用圓周角定理得到NB=NADC,則可證明NADC=2

ZACP,利用CD為直徑得到NDAC=90。，從而得到NADC=60。，ZC=30°,貝ljNAOP=60。,

于是可證明NOAP=90。，然后根據(jù)切線的判斷定理得到結(jié)論；

(2)利用NP=30°得至！|OP=2OA,則PD=0D=6，從而得到。O的直徑；

(3)作EH_LAD于H,如圖，由點(diǎn)B等分半圓CD得到NBAC=45。，則NDAE=45。，設(shè)

DH=x,