2020-2021學(xué)年新人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)綜合二十六（含解析）

綜合二十六-【新教材】人教A版（2019）

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（含解析）

一、單選題

1.設(shè)全集U=R,集合4={y|y=log2>2},B={x\y=Vx-1}，則（）

A.AQBB.A[JB=AC.AC\B=0D.AnH0

1021f3—XV]

?''的值域?yàn)榉矂t小的取值范圍為（）

{%2—6%4-m,%>1

A.（0,8]B.（0序C.[|,8]D.（-0）,-1]u

（。勺

3.若a為第一象限角，且sin2a=sin（a-]）cos（7T+a）,則衣cos（2a—》的值為（）

A.B.IC.1D.

4.已知a=log2,，b=（V2）3-C=（V2）t則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

5.在/ABC中，。為BC中點(diǎn),E為中點(diǎn)，則以下結(jié)論:①存在A4BC,使得而?屈=0；

②存在三角形ZL4BC,使得方〃（而+刀）；它們的成立情況是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

6.設(shè)復(fù)數(shù)z=U+（3+3。（其中i為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（）

1—1

A.它的實(shí)部為一3

B.共聊復(fù)數(shù)2=3+4i

C.它的模|z|=5

D.在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,-4）

7.如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測試成績的折線圖，設(shè)小

王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為元和元B，方差分別為貨和郭，則（）

8.已知四邊形ABC。為正方形，GDI平面ABC。，四邊形DGEA與四邊形OGFC也

都為正方形，連接EF,FB,BE,點(diǎn)”為8尸的中點(diǎn)，有下述四個結(jié)論：

GF

①DE_LBF；②E尸與C”所成角為60°；（3）EC1￥?IDBF-④BF與平面4CFE

所成角為45。.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

二、多選題

9.某同學(xué)在研究下學(xué)習(xí)中，得出如下結(jié)論（4、B、C為△ABC三個內(nèi)角），其中正確的

是（）

A.若4ABC是鈍角三角形，則tanA+tanB+tanC<0

B.若AABC是銳角三角形,則cosA+cosB>sinA+sinB

C.若G、”分別為△ABC的外心和垂心，且AB=1,AC=3,則由.前=4

2a

D.在△ABC中，若sinB=1，tanC=則力>C>B

54

10.下列說法正確的是（）

A.在“BC中，若而=：四+：而，則點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)

B.已知五=（一1,2）,h=（x,x-l）,若@一2砂〃花則x=_l

C.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，B,C,M三點(diǎn)共線，若俞=萬話+（2%-1）前，

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貝!k=1

D.已知正方形ABC。的邊長為1,點(diǎn)M滿足兩=3祝，則前?前=：

11.函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時，/(%)=￡，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)x<0時，/。)=-左

B.關(guān)于x的不等式兀r)+f(2x-l)<。的解集為(一8彳)

C.關(guān)于x的方程式x)=x有三個實(shí)數(shù)解

D.一/,X2eR,|/(x2)-f01)1<2

12.正方體48。。一公8停1。1的棱長為2,E,F,G分別

為BC,CCi，BBi的中點(diǎn)，則()

A.直線BG與直線AF夾角45°

B.直線&G與平面4E廣平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為［

D.點(diǎn)C和點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

三、填空題

13.已知正數(shù)。，〃滿足a+b=2,則白+W的最小值為____.

a+1o+l

14.給出下列四個命題：

①若函數(shù)/(x)=x2+2mx+2在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，則m>-1；

②若logaj<1(a>。且a41),則a的取值范圍是(|,+8)；

③若函數(shù)f(x)=e,則對任意的%i/26R,都有f(牛)<，&)尸)；

④若f(x)=loga|x|(a>0且a*1),在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，則/'(-3)>f(a+

2).

其中所有正確命題的序號是.

15.已知Z=號，貝此乃10°+25。+1|=.

16.已知正方體48?！?一41/口。1的棱長為2,點(diǎn)MN分別是棱

BC,CG的中點(diǎn)，則二面角C-4M-N的余弦值為；若

動點(diǎn)P在正方形BCC1B](包括邊界)內(nèi)運(yùn)動，且P①〃平面

AMN，則線段P義的長度范圍是.

四、解答題

17.已知函數(shù)/'(x)=sin2x+2sinxsin(^—x)+3sin2(y-x)

(1)若x6[0,引，求函數(shù)/(x)的值域；

若方程在。兀]上恰有三個不同的解分別為與，求與+小+

(2)f(x)-b=0x2,x3,

心的值.

18.在448c中'。是8c的中點(diǎn),AB=1,AC=2,AD=^

(1)求AABC的面積.

(2)若E為BC上一點(diǎn)，且荏=2(儡+儡)，求;I的值.

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19.光刻機(jī)是制造芯片的核心設(shè)備，代表著當(dāng)今世界科技領(lǐng)域的核心科技，近年來我國

不斷加大在該領(lǐng)域的研發(fā)投入.某科研單位承擔(dān)了光刻機(jī)某零部件檢的研制任務(wù)，

并設(shè)計了A,8兩條試驗(yàn)生產(chǎn)線，現(xiàn)需對兩條試驗(yàn)生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件進(jìn)行驗(yàn).若

系統(tǒng)依次隨機(jī)選取產(chǎn)品進(jìn)行性能檢驗(yàn)，且每次只能檢驗(yàn)一個產(chǎn)品，假設(shè)A,8兩條

試驗(yàn)生產(chǎn)線的產(chǎn)品被選中的可能性相同.

(1)若某個生產(chǎn)周期內(nèi)一共對4個零部件進(jìn)行性能檢驗(yàn)，求不出現(xiàn)連續(xù)檢驗(yàn)3個A

生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率.

(2)已知8生產(chǎn)線生產(chǎn)出的產(chǎn)品不穩(wěn)定，若出現(xiàn)了不合格的產(chǎn)品將會造成400萬元

的經(jīng)濟(jì)損失.為提高產(chǎn)品性能，科研團(tuán)隊提出甲、乙兩種相互獨(dú)立的改進(jìn)方案，甲

方案實(shí)施費(fèi)用為45萬元，乙方案的實(shí)施費(fèi)用為30萬元，采取相應(yīng)改進(jìn)方案后生產(chǎn)

出不合格零部件的概率分別為0.1和0.15.若兩種改進(jìn)方案可以單獨(dú)采用也可以聯(lián)合

采用，則該科研單位應(yīng)如何實(shí)施改進(jìn)方案？

20.已知函數(shù)/(x)=—?為奇函數(shù)，其中。為實(shí)數(shù).

d#2A+l

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若a>0時,不等式f(/(x))+-2X)<0在xe[-1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取

值范圍.

21.如圖所示，梯形ABCO中，AD//BC,平面CDEF_L平面ABC。，且四邊形CQEF

為矩形，BC=2AD=2,CF=2如,AB=V13,BE=2限.

⑴求證：平面瓦4。_L平面BDE；

(2)求直線與平面BEF所成角的正弦值.

22.如圖，在正四面體P-ABC中，。是BC的中點(diǎn)，各棱長均等于2,

(I)求證：平面ABC_L平面PAD；

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(n)求二面角P-BC-A所成二面角的余弦值;

(DI)求正四面體的體積.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查集合間的關(guān)系和集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，難度不大.

解出集合A,B,再分別判斷四個答案即可.

【解答】

解:集合

A={y\y-log2x,x>2}={y\y>1),

B={x\y=y/x—1)=(x\x>1}>C(jB={x\x<1),

■■AQB,A(JB=B,AC\B=A,

An(CyB)=0,

則A對，BCD均錯.

故選A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的值域，考查分類討論思想、函數(shù)思想，屬于中檔題.

討論m>0,m<0和zn=0時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到mW0時不成立，m>0時需滿足

⑶解出即可.

f=m-9<mlogL(_3-1)=-mt

2

【解答】

解：①若m>0,

則當(dāng)%<1時,f。)=logi(3-%)m單調(diào)遞增,

2

當(dāng)％>1時，/(%)=%2—6%4-m=(%—3)2+m—9在(3,+8)上單調(diào)遞增，在［1,3)上

單調(diào)遞減，

若函數(shù)值域?yàn)镽，則需/(3)=巾一史(3-1)=一譏，解得0<W；；

2m2

②若?n<0,

則當(dāng)％<1時，f(x)=/。史(3-％)7n單調(diào)遞減，

2

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當(dāng)x>1時，/(%)=%2—6%+m=(%—3)24-m—9在(3,+8)上單調(diào)遞增，在［1,3)上

單調(diào)遞減，

不滿足函數(shù)值域?yàn)镽,不符合題意，舍；

③若租=0,易知此時不滿足題意；

綜上：，〃的取值范圍為(0,3，

故選：B.

3【答案】B

【解析】

【分

本題考查誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和差公式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式

及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求得tana的值.

利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系式化簡整理可得tana=｝再

由弦化切的方法把所求式子轉(zhuǎn)化為tana的代數(shù)式，代值計算即得.

【解答】

解：/sin2nsin(n—)co?(7r+n),

則2sinacosa=(—cosa)(—cosa),

???a為第一象限角，cosaW0,

得2sina=cosa,即tana=

所以x/^co?(2n—；)=-n+sin2c)

=cos2a+sin2a

cos2a—sin2a+2sinacosa

sin2a+cos2a

_l-tan2a+2tana_+1_7

tan2a+l工+i5*

4

故選8.

4.【答案】D

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

先化簡氏c,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得b>c>l,再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a<0,可得大小關(guān)

系.

【解答】

解：b=(V2)5=25X3=2口c=(V2)s=2s1

由5>2,且函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，得b>c>l,

又因?yàn)閍=log2：<logzl=0,得到a<c<b,

故選D

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題.

設(shè)4(2x,2y),8(-1,0),C(l,0),0(0,0),E(x,y),由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；

產(chǎn)為AB中點(diǎn)，可得(而+方)=2次，由。為BC中點(diǎn)，可得C尸與A。的交點(diǎn)即為重

心G,從而可判斷②

【解答】

解：不妨設(shè)A(2x,2y),B(-1,0),C(l,0),D(0,0),E(x,y),

①南=(-1—2x,—2y)，CE=(x-l.y)，

若麗?CF=0>則一(1+2x)(x—1)—2y2=0,即一(1+2x)(x-1)=2y2,

滿足條件的(x,y)存在，例如(O,*)，滿足上式，所以①成立；

②尸為48中點(diǎn)，(方+以)=2#，CF與AD的交點(diǎn)即為重心G,

因?yàn)镚為AD的三等分點(diǎn)，E為4。中點(diǎn)，

所以而與德不共線，即②不成立.

故選:B.

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6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)求模，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

先化簡復(fù)數(shù)Z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、模、共輒復(fù)數(shù)及幾何意義逐項判斷求解即可.

【解答】

解：因?yàn)?=含+(3+3。=3+*，

則它的實(shí)部為3,共軌復(fù)數(shù)2=3-4i,它的模|z|=5,在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).

故選C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平均數(shù)和方差，屬于基礎(chǔ)題.

由實(shí)線中的數(shù)據(jù)都大于或等于虛線中的數(shù)據(jù)，可得五>完8,根據(jù)實(shí)線中的數(shù)據(jù)波動都

大于或等于虛線中的數(shù)據(jù)波動，可得貨>sj.

【解答】

解：觀察圖象可知，實(shí)線中的數(shù)據(jù)都大于或等于虛線中的數(shù)據(jù)，

所以小王成績的平均數(shù)大于小張成績的平均數(shù)，即當(dāng)〉MB，

顯然實(shí)線中的數(shù)據(jù)波動都大于或等于虛線中的數(shù)據(jù)波動，

所以小王成績的方差大于小張成績的方差，即寸〉

綜上，XA>XB,>Sj,

故選C

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間幾何體的線線、線面的位置關(guān)系問題.重在考查空間想象能力.此題可設(shè)

置正方體為背景，根據(jù)線線、線面的判定定理即可逐項判斷正誤.

【解答】

解：以正方體4BCD-EKFG為背景，放置題設(shè)中各種元素.

①因?yàn)镈E〃CK,CK1BF,所以DE1BF.故①正確；

②因?yàn)镈E〃CK,而正三角形OEF中，OE與E尸所成的角為60°,因此E尸與C”所

成角即為60。.故②正確；

③設(shè)ACnBC=0,

因?yàn)锳E1平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以4E1BD.

因?yàn)?cl8。，AEOAC=A.AE.ACACFE,

所以BD1平面ACFE.

因?yàn)镋Cu平面4CFE,所以ECJ.BD.

同理EC_LBF,又BOnBF=B,

所以EC_L平面凡故③正確；

④由③BD，平面ACFE,故NBF。即為"與平面ACFE所成的角.

在直角三角形80尸中，顯然。8=0C<0F,

所以8尸與平面ACFE所成角不是45。.故④錯誤.

綜上可知①②③正確.

故答案選B.

GF

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9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，正余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，同角

三角函數(shù)的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積，平面向量的加減法運(yùn)算，向量垂直的判定，

屬中檔題.

對于A,設(shè)A為鈍角，可得tanB>0,tanC>0,tanB-tanC<1.再由

tanA+tanB+tanC=-tan（D+C）+tanB+tanC結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公

式計算即可判定；對于B,由銳角三角形可得（）<13,即可得cosA<sinB,

cosB<sinA,由不等式性質(zhì)即可判定;對于C,取BC中的，可得方?灰:=0>AH-BC=

0,AD=l（AB+AC）,由而?就=（后5+而+前）?前結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)

算即可判定;對于D,由tanC=->0可得sinC=p又由sinB="可得sinA=sin（B+C）

455、/

運(yùn)算可得sinA=業(yè)交，結(jié)合正弦定理及三角形性質(zhì)即可判定.

2S

【解答】

解：對于A,若AABC是鈍角三角形，不妨設(shè)A為鈍角，則（）<8+。<[,且

<B<-C<,0<C<^,所以tan8>0,tanC>0,又因?yàn)閥=tan》在區(qū)間

曲仁_C\

上單調(diào)遞增，所以tanB-；|二零4，即

tanB-tanC<1,所以tan"+tanF+tanC=

tan[7r—（B+C）]+tan13+tanC=-tan（B+C）+tanB+tanC=-J"；，+tanB+tanC

,故A正確；

對于B,若△4BC是銳角三角形，則'+（）V/v[,（）<“<：,所以

因?yàn)閥=sinx在區(qū)間（（）.上單調(diào)遞增，所以sin（]-4）<sinB,即

cosA<sinB；同理可得cosB<sin/l,所以cosA4-cosB<sinB+sin4故8錯誤；

對于C,取8。中的。，連接GO,AH,AD,因?yàn)槿鬐、”分別為△的外心和垂心，

所以GD1BC,AH1BC,即而?布=0，AHBC=0,'AD=^（AB+AC）,所以前?

--?/-->-->-->、-->-->-->-->-->-->-->-->-->1/---->---->、

BC=（HA+4。+DG）-BC=HABCAD-BCDG-BC=AD-BC=-（AB+AC）-

(4C-^4B)=|(^4C2-AB2)=|x(9-1)=4,故C正確；

對于。在△ABC中，設(shè)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,因?yàn)閠anC=：>0,

所以C為銳角，所以sinC=g,cosC=p又因?yàn)閟inB=|VsinC,所以由正弦定理可

得b<c,所以B<C,因?yàn)椤殇J角，所以8為銳角，所以cosB=耳，又因?yàn)?/p>

\+/?+。=77,所以sin4=sin(B4-C)=sinBcosC4-cosBsinC=|x，+率x：=

8+3后>SEC,所以a>c,綜上，a>c>bf所以4>C>B,故。正確.

25

故選：ACD.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

利用向量的基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算依次判斷各個選項即可.

【解答】

解：對于A,取BC中點(diǎn)E,則9而+［左=［荏+前)=荏=而，

則E點(diǎn)與點(diǎn)。重合，所以。是邊8c的中點(diǎn)，所以4正確；

對于Bb-2a=(x+2,x-5),a=(-l,2),(fe-2a)//a,

所以2(x+2)=-(x-5),

所以x=5,所以B不正確；

對于C,若x=T，則殖=%荏+(2%-1)就=：荏，

所以M為AB的中點(diǎn)，但條件沒有，所以C不正確；

對于。，AM-AC=(AD+~DM}(AD+DC)

=AD2+AD-DC+DM-AD+DM-DC

=l+1=p所以O(shè)正確.

故選：AD.

11.【答案】BD

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【解析】

【分析】

本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查已知奇函數(shù)一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上解析

式的方法，求函數(shù)值域的方法，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)x<0,則一x>0,則由題意得八一乃=三，根據(jù)奇函數(shù)/'(-x)=—f(x)即可求出解

析式，即可判斷A選項；再根據(jù)函數(shù)的解析式及奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可解不等

式，判斷&直接解方程即可判斷C；結(jié)合圖象得到f(x)的值域，即可判斷D

【解答】

解：設(shè)x<0,則一x>0,由條件可得/(一x)=言，

1-X

又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(%)=-/(-x)=士，故A錯誤；

當(dāng)x>0時，f(x)=W=-±+l，又/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，

作出/(x)的圖象如下：

由圖象可知/(x)在R上單調(diào)遞增，

由，(%)+f(2x-l)<0,得f(2x-1)<-/(x)=/(-x),

所以2x—1<—x,解得x<：,故8正確；

顯然x=0時，方程成立；x>0時，*=X，無解；x<0時，三=乂，無解；

故關(guān)于x的方程f(x)=x只有一個實(shí)數(shù)解，故C錯誤；

結(jié)合圖象可知,f(x)的值域?yàn)?一LD，顯然V/，x2GR,<2成立，故

。正確.

故選BD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及截面積有關(guān)的計算問題，屬

于中檔題.

A.利用余弦定理計算可得；B.作出輔助線利用面面平行判斷；C.作出截面然后根據(jù)線段

長度計算出截面的面積；D.通過等體積法進(jìn)行判斷.

【解答】

解：4由題意，BCJ/EF,二直線與直線AF所成角為UFE,

在AAEF中，由題意，EF=V2.AE=V5，AF=yjAC2+CF2=V8T1=3.

4產(chǎn)+”2一用9+2-5_V2

由余弦定理得cos乙4FE=

2AFEF2x3Xy/22

^AFE=45°,故直線SC1與直線AF夾角為45。，故A正確;

A如圖所示,取BiG的中點(diǎn)。，連接&Q,GQ,

由條件可知：GQ//EF,A\Q〃AE,4iQC平面AEEAEu平面AE凡GQC平面AE尸,

EFu平面AEF,

所以4Q〃平面AEF,GQ〃平面AER

且GQn&Q=Q,GQ、&Qu平面4GQ,

所以平面4GQ〃平面AEF,

又因?yàn)?1Gu平面&GQ,

所以&G〃平面AEF,故8正確；

第16頁，共28頁

C.如圖所示，連接D】F,D14

因?yàn)镋,尸為BC,GC的中點(diǎn)，所以EF〃BC、〃AD[,

所以4E,F，A四點(diǎn)共面，

所以截面即為梯形4EFD1，

延長D/ME交于點(diǎn)S,

22

由勾股定理得DiS=AS=V4+2=2V5.AXD=2^2,

所以旌皿s=：X2&XJ(2四2一(.)2=6,

39

所以S,產(chǎn)KEF"(ix-故C正確；

D記點(diǎn)c與點(diǎn)G到平面AEF的距離分別為心,電，

因?yàn)閂f-AEF=3'S/1EF-九1=匕-CEF=§XX2=-,

又因?yàn)?-4EF=3'S/1EF,八2=匕-GEF=3XX2=~>

所以七力電，故。錯誤.

故選ABC.

13.【答案】2

4

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

正數(shù)。，。滿足a+b=2,則a+1+b+l=4.利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即

可得出.

【解答】

解：正數(shù)a,人滿足a+b=2,則a+l+b+l=4.

4(a+1)

b+14(a+1)

中+2

、a+1b+1

=；x(5+4)=京

當(dāng)且僅當(dāng)a=”=|時原式有最小值.

故答案為：

4

14.【答案】①③

【解析】

【試題解析】

【分^1?】

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

逐個判斷即可得出答案.

【解答】

解：①/(X)=M+2mx+2圖象是開口方向朝上，

以直線x=-in為對稱軸的拋物線，

函數(shù)/(%)=x2+2mx+2在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，

則即m2-1,故①正確；

29

②若logW<1(a>0且a*1),WJlog,-<10gMa,

°?5

當(dāng)0<a<l時，解得0<a<|,即0<a<|,

當(dāng)a>l時,解得a>I，即a>l,

第18頁，共28頁

故a的取值范圍是0VQ<，或Q>1；

故②錯誤；

③若函數(shù)/(x)=e*,則對任意的無1，犯€R，

/(xi)V(x2)

都有e

e~~2~e2

2.2

X-xX-X1

e~1^~2e~2^~

2---------

、22

=2x1=1,

當(dāng)且僅當(dāng)無i=X2時，取等號，

???/(弩)<八七)了叼,故③正確；

④由題意，/(x)=loga|x|(a>0且a豐1)為偶函數(shù)，

又/■(%)=logjxl在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,則0<a<1,

二2<a+2<3,

???/(3)<f(a+2),

又f(—3)=f(3),

則/'(—3)</(a+2),故④錯誤.

故答案為①③.

15.【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，虛數(shù)單位i的基運(yùn)算的周期性等有關(guān)知識，根據(jù)復(fù)數(shù)

的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

解：22=竽=，,02=審=_',

則1(5)1°°+z50+1|=|(—050+i254-1|=|-1+i+1|=「|=1,

故答案為1.

16.【答案】|；

3V2

【解析】

【分析】

本題考查二面角余弦值的求法和線段長度的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

延長AM交。C于點(diǎn)Q,過C作垂線CG,垂足為G,連接NG,則NNGC為二面角

C-AM-N的平面角，計算可得結(jié)果；取BiG的中點(diǎn)E,BBi的中點(diǎn)凡連結(jié)4送，4/,

EF,取EF中點(diǎn)。，連結(jié)40,推導(dǎo)出平面4MN〃平面&EF,從而點(diǎn)P的軌跡是線段

EF,由此能求出P&的長度范圍.

【解答】

解：延長AM交DC于點(diǎn)。，過C作AM垂線CG,垂足為G,連接NG,

結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征易知4NGC為二面角C-AM-N的平面角，

計算得CG=d，NG=］芽）2+1=等

所以cosZ-NGC=；

—5+—5=-3

取B1G的中點(diǎn)E,8當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)凡連接&E,4/,EF,取E/中點(diǎn)。，連接為。,

第20頁，共28頁

俱

,:點(diǎn)M,N分別是棱長為2的正方體ABCD—AiBiGDi中棱BC,CG的中點(diǎn),

:.AM11A、E,MN//EF,

?：AM,MNC平面&EF,&E、EFu平面&EF,

故AM〃平面&EF,MN〃平血11EF,

■：AMCtMN=M,AM,MNu平面AMN,

二平面力MN〃平面&EF,

,??動點(diǎn)尸在正方形BCCiBi（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且R4[〃面AMN,

???點(diǎn)P的軌跡是線段EF,

4E=&F=V22+I2=V5，EF=Vl2+I2=V2,

???At01EF,

二當(dāng)產(chǎn)與。重合時，尸41的長度取最小值40=J（色）2_（32=子，

當(dāng)尸與E（或F）重合時，P①的長度取最大值為aE=4/=V5.

P①的長度范圍為[產(chǎn)，V5].

故答案為：|；[/，V5]

17.【答案】解：/(x)=sin2%+2sinxsin(^—x)+3sin2(y—x)

=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+1+cos2x

V2\L,71、

=2+魚(彳sin2x+—cos2x)=2+v2sin(2%+—)

(1)由于久e[0,§,

???2x+E吒,"

所以sin(2x+：)E[—今1卜

所以2+近sin(2x+》G[1,2+V2],

y的值域是[1,2+V2]

(2)由對稱性可得Xi+x2=2x=px3=n,

則/+x+x=

23q

【解析】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查值域，是基礎(chǔ)題.

（1）利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式，輔助角公式化簡可得/（%）=2+企sin（2%+1，由xe

[0月,求得??.2x+?e[%爭，則函數(shù)/。）的值域可求；

（2）由對稱性可得均+%2=2x三=3，%3=兀，則+芯2+%3的值可求.

18.【答案】解：（1）由題意，???/）是BC的中點(diǎn)，

：.AD=^（AB+AC）,

.-.\AD\2=^（AB+AC）2=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC）,

即：=11+4+2荏.福），解得荏.前=一1.

加?而_1

/.cotiZ.BAC=

由.而一-2

又()<Z.BAC<7T,/.Z.BAC=-,

：.S^ABC=-AB-AC-sinABAC=-x1x2x—=—.

(2)由題意，,??4E=2(雋+|緇)，

AE^）^48c中N84C的角平分線,

第22頁，共28頁

由（1）可知，LBAE=￡CAE=\^BAC=7'T.

由SfBC=S〉A(chǔ)BE+S—CE可得

1k1什127r

-AB-AE-siiii+^AC-AE-siu-=-ABAC-an^-,

232323

即在4E+更AE=在,從而AE=g

4223

由荏=端1+靜可得：

2

阿="儒+蓋尸=下（1+1+2c吟=A,又「QO,

故4=|-

【解析】本題考查平面向量的幾何運(yùn)用，平面向量的夾角，運(yùn)算，數(shù)量積等，考查三角

形的面積公式，屬于中檔題.

（1）根據(jù)。是BC的中點(diǎn)，得到而=）荏+正），從而得出荏?前=一1，由平面向量

的數(shù)量積公式得出號，即可計算AABC的面積；

＜）

（2）由荏=4（黑;+|得）可知4￡為44BC中NB4C的角平分線,再根據(jù)S-BC=5+

I力切I月C|AXBE

SMCE得出ZE=|,從而可知;I=|.

19.【答案】解：（1）由題意可知，每次檢驗(yàn)抽檢到A生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率均為也

檢驗(yàn)4個產(chǎn)品出現(xiàn)連續(xù)檢驗(yàn)3個A生產(chǎn)線產(chǎn)品的情況為：AAA4：AAAB-,BAAA,

其概率分別為白，白,三

lolo1O

故對4個零部件進(jìn)行性能檢驗(yàn)，不出現(xiàn)連續(xù)檢驗(yàn)3個A生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率：

P=l-3x-=-.

1616

（2）若單獨(dú)采用甲方案，則方案實(shí)施費(fèi)用為45萬元，

損失的期望值為400x0,1=40（萬元），

所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）；

若單獨(dú)采用乙方案，則方案實(shí)施費(fèi)用為30萬元，

損失的期望值為400X0.15=60（萬元），

所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；

若聯(lián)合采用甲、乙兩種改進(jìn)方案，則方案實(shí)施費(fèi)用為：45+30=75（萬元），

損失的期望值為400x0.15x0.1=6（萬元），

所以總費(fèi)用為75+6=81(萬元).

故應(yīng)該選擇聯(lián)合采用甲、乙兩種改進(jìn)方案可使總費(fèi)用最少.

【解析】本題主要考查對立事件的應(yīng)用，古典概型的計算與應(yīng)用，以及應(yīng)用概率解決實(shí)

際問題，屬于中檔題.

(1)每次檢驗(yàn)抽檢到A生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率均為土符合條件的事件為:AAAA；AAAB；BAAA,

其概率分別為白，白,三再利用對立事件即可求解；

161616

(2)分情況討論單獨(dú)采用甲、乙方案使用的總費(fèi)用以及聯(lián)合采用甲、乙兩種改進(jìn)方案所

使用的總費(fèi)用，即可求解.

20.【答案】解⑴由題意/(4)+/(-x)

2X—a2T-a2X-a1—a-2X

=--------------1----------------=---------------1--------------

a?2%+lQ?2-%+1a-2X+1a+2%

_(2X-a)(a+2X)+(a?2"+1)(1-a-2X)

一(a-2x+l)(a+2x)

_4x-a2+l-a2-4x(l-a2)(4x+l)口

一(a-2x+l)(a+2x)-(a-2x+l)(a+2x)-'

因?yàn)?%+1>0,所以1一@2=0,

解得Q=±1，

故實(shí)數(shù)。的值為±1;

(2)va>0,則a=l,則=

2上一12

〃工)=E=i--方，在'wri」］上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=W為奇函數(shù)，

不等式f+f(t-2X)<0,可轉(zhuǎn)化為/(/(%))<-/(t-2多=f(-t-2X),

所以/(%)＜一1?2%

即好!＜一52%則

2"+1品<T，

令9(")=2"21+1)(T4X41)，則g(x)max＜-3

第24頁，共28頁

當(dāng)工￡[—1,0]時，g(%)40,

當(dāng)XW(0,1]時，2%-16(0,1],

2J_______2#-1______________1_______

XXxxx,

9(%)-2(2+1)-(2-l+l)(2-l+2)-(2-l)+^z^+3

令2%—1=m6(0,1],h(m)=m+f

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得/l(M)在(0,1]上單調(diào)遞減，

所以九(m)min=九(1)=3,

所以gGOmax=白=也

綜上所述，實(shí)數(shù)f的取值范圍為(-8,-￡).

【解析】本題考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，不等式恒成立問題，考查了分析和轉(zhuǎn)化能力，

屬于中檔題.

(1)根據(jù)/(X)奇函數(shù)，可得/(x)+/■(-x)=0,代入函數(shù)解析式求解即可；

(2)結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，不等式/(/(%))+f(t-2，)<0在％e[-1,1]上恒成立可化

1

為f(x)<-t-2X,參數(shù)分離t,構(gòu)造函數(shù)g(x)=忐戶一%(-1<X<1),求出g(X)max即

可求解.

21.【答案】(1)證明：?.?矩形CDE尸中，EDICD,

又?.,平面E￡>Cb_L平面48CD，且平面EDCFn平面43cAs，￡7)u平面

EDCF，

二￡75J■平面4BCD，

又???AD、BDU平面48C。，:.ED1BD，ADLED，

?.?在RMBDE中，ED=2BBE=2m，：.BD=25

在AABD中，BD=25AD=1,AB=匹,

"AB2=AD2+BD2,ADLBD^

又???EDnBD=D,ED,BDu平面BDE，

???AD1平面BDE，又4。u平面EAD,

---平面EAD，平面BDE；

(2)W：?-?ADf