2021-2022學年高中人教A版數(shù)學必修第一冊練習：第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

C5爭分奪秒一刻鐘，狠抓基礎(chǔ)零失誤)/

必備知識?基礎(chǔ)練

基礎(chǔ)分組正通關(guān)

?題組一利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍

1.已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于()

A.-1B.1C.0D.2

選A.因為一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義

域關(guān)于原點對稱，所以a與b有一個等于1,一個等于-2,

所以a+b=l+(-2)=-1.

2.函數(shù)f(x)在x￡(-8,+8)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(l)=-

1,則滿足-lSf(x-2)<1的x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[0,4]D.[1,3]

選D.因為f(x)為奇函數(shù)，f(l)=-1,

所以f(-1)=L

因為-l<f(x-2)<1,

所以f⑴0f(x-2)Wf(-1).

又因為f(x)在x￡(-oo,+⑹上單調(diào)遞減，

所以-l<x-2<1,所以l<x<3.

3.設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在xG[O,1)上單調(diào)遞增，且有

f(l-m)+《-2m]<0,則實數(shù)m的取值范圍為()

A-(2-4)B-(°-4)

C.仔,+oo)D(oo，m

選A.由于函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),

-1<1-m<l

1,解得0<m<T.

{-1<2-2m<l4

又f(l-m)+心-2m]<0,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

所以f(l-m)<-4-2ml=d4+2ml,

因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在x￡[0,1)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)上單調(diào)遞增,

則有1-m<-1+2m,解得m>1,

所以實數(shù)m的取值范圍為停，.

?題組二函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用

1.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增且f(6)=9,則它在區(qū)間[-6,

-3]上()

A.最小值是9B.最小值是-9

C.最大值是-9D.最大值是9

選D.因為f(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間［3,6］上單調(diào)遞增，

所以f(x)在區(qū)間［-6,-3］上單調(diào)遞減.

因此,f(x)在區(qū)間［-6,-3］上最大值為f(-6)=f(6)=9.

2.f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()

A.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)目是增函數(shù)

B.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)目是減函數(shù)

C.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)

D.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)

選C.A錯誤，設(shè)f(x)=x,是增函數(shù)，但f(x)+f(-x)=x-x=0是常

數(shù)函數(shù)；同理B錯誤；C正確，

設(shè)g(x)=f(x)-f(-X),則g(-X)=f(-x)-f(x)

=-［f(x)-f(-x)］=-g(x),函數(shù)g(x)是奇函數(shù).

任取Xi,X2GR,且X1<X2,

則-Xl>-X2,g(xi)=f(xi)-f(-Xl),

g(X2)=f(X2)-f(-X2),

因為f(x)是定義在R上的增函數(shù)，

所以f(xi)<f(x2),f(-xi)>f(-X2),

BP-f(-Xl)<-f(-X2).

所以f(xi)-f(-Xl)<f(x2)-f(-x2),

即g(X］)<g(X2).

所以函數(shù)g(X)=f(X)-f(-X)是增函數(shù),D錯誤.

3?已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,

0］上的圖象如圖所示，則關(guān)于X的不等式f(x)g(x)<0的解集是

設(shè)h(x)=f(x)g(x),

補全f(x),g(x)的圖象(圖略),由圖象可知：

當-4<x<-2時，f(x)>0,g(x)<0,此時h(x)<0；

當0<x<2時,f(x)<0,g(x)>0,此時h(x)<0,

所以h(x)<0的解集為(-4,-2)U(0,2).

答案：(-4,-2)U(0,2)

?題組三函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用

1.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，若xi<0且xi

+X2>0,則()

A.f(-Xi)>f(-x2)

B.f(-Xi)=f(-X2)

C.f(-xi)<f(-X2)

D.f(-Xi)與f(-X2)的大小不確定

選A.因為xi<0,Xi+X2>0,

所以X2>-Xi>0,

又f(x)在x￡(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(x2)<f(-XI),

因為f(x)是偶函數(shù)，

所以f(-X2)=f(x2)<f(-X1).

2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x>0時，f(x)=-X2+2x,在區(qū)

間［-1,a-2］上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為.

由已知可得函數(shù)f(x)的圖象，如圖，

a-2>-1,

要使f(x)在xG[-1,a-2]上單調(diào)遞增，必須，

[a-2<1,

所以l<a<3,所以實數(shù)a的取值范圍是(1,3].

答案：(1,3]

3.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且f⑴=1,若a,b￡[-

f(a)+f(b)

1,1],a+bWO時，有>0成立.若f(x)<m2-2am+1

a+b

對所有的aG[-1,1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

任取xi,X2G[-1,1],

且X1<X2，貝！J-X20-1,1].

因為f(x)為奇函數(shù)，

所以f(xi)-f(x2)=f(xi)+f(-X2),

f(Xi)+f(-X2)

由已知得~~-——->0,

Xl-X2

又Xl-X2<0,

所以f(Xi)-f(X2)<0,

即f(Xi)<f(X2),

所以f(X)在X0-1,1]上單調(diào)遞增.

因為f(l)=l,且f(x)在x￡[-1,1]上單調(diào)遞增,

所以在x￡[-1,1]±,f(x)<l.

f(x)<m2-2am+1等價于m2-2am+1>1,

即m2-2am>0，對a￡[T,1]成立.

設(shè)g(a)=-2m-a+m2,

①若m=0,則g(a)=0>0，對a￡[-1,1]恒成立.

②若m#),則g(a)為關(guān)于a的一次函數(shù),

若g(a)NO對a￡[-1,1]恒成立,

則必有g(shù)(-1)>0,且g⑴K),

m2+2m>0,

即

m2-2m>0,

解得mW-2或m>2.

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(-8,-2]U{0}U[2,+

易錯易混6場直

易錯點一沒有搞清分段函數(shù)及奇偶性的概念致錯

x2+2x+3,x<0

1.關(guān)于函數(shù)f(x)=j3,x=0的性質(zhì)描述正確的是()

、-x?+2x-3,x>0

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)

D.f(x)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

選D.當x<0時,-x>0,f(-x)

=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x)/

當x>0時,-x<0,f(-x)=(-x)2+

2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x),

但是f(0)=3,所以f(x)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

fx2(x>0)

2.已知函數(shù)f(x)=J,則不等式f(|2x-1|)<4的解是

[-x2(x<0)

；不等式2f(x)>f(4-x2)的解是_______.

[x2(x>0)

容易作出函數(shù)f(x)=彳的圖象如下，

I-x-(x<0)

顯然函數(shù)f(x)在xGR上單調(diào)遞增,

又4=22=f(2),

所以f(|2x-l|)*nf(|2x-l|)Sf(2),

所以|2x-1|<2,-2<2x-1<2,

所以《13

,

x>0,2f(x)=2x2=(y/2x)2=f(-\/2x)；

x<0,2f(x)=-2x2=-(啦x)2=f(啦x).

所以x￡R時,所x)=f(啦x),

2f(x)>f(4-x2)nf(啦x)>f(4-x2),

所以啦x>4-x2,x2+^2x-4>0,

(x+2^2)(x-夜)>0,

所以x>^2或爛-2啦.

答案:卜|-拉密

(xIx小^或X0-2也｝

【易錯誤區(qū)】分段函數(shù)的奇偶性要分段討論，不能只驗證一部分.

易錯點二判斷含參函數(shù)的奇偶性時忽略對參數(shù)的討論致錯

(多選)已知函數(shù)f(x)=x24-|x-a|+1,xeR,m,則函數(shù)

f(x)的性質(zhì)為()

A.a=0時，是偶函數(shù)

B.a/)時,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

C.f(x)的最小值為a2+1

D.f(x)的最小值為1

選ABC.因為a=0時，f(x)=x?+岡+1是偶函數(shù)，所以A正確;

因為a#0時,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

所以f(a)-f(-a)=-2|a|#0,

所以f(x)不是偶函數(shù),f(a)+f(-a)=2a2+2|a|+2和,

所以f(x)不是奇函數(shù)，所以B正確；

x2+x-a+1,x>a,

因為f(x)=j,

lx2-x+a+1,x<a,

所以f(x)在x>a時單調(diào)遞增，在x<a時單調(diào)遞減，

所以f(x)的最小值為f(a)=a2+1.

所以C正確，D錯誤.

【易錯誤區(qū)】對分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都要分類討論，因為參數(shù)

會影響函數(shù)的性質(zhì).所以不要忽略對參數(shù)的分類討論.

晚間小練半小時，突破課堂重難點！/

‘分鍵能力-綜合練

限時30分鐘分值50分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1.若函數(shù)f(x)(f(x)W0)為奇函數(shù)，則必有()

A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0

C?f(x)<f(-x)D.f(x)>f(-x)

選B.因為函數(shù)f(x)(f(x)和)為奇函數(shù)所以f(-x)=-f(x)所以f(x>f(-

x)=-［f(x)］2<0.

2.若(p(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=a(p(x)+bg(x)+3在x￡(0,+oo)

上有最大值10,則f(x)在xG(-oo,0)上有()

A.最小值-4B.最大值-4

C.最小值-1D,最大值-3

選A.由已知對任意x￡(0,+oo),

f(x)=a(p(x)+bg(x)+3<10.

對任意x￡(-oo,0),則-x￡(0,+oo).

又因為(p(x),g(x)都是奇函數(shù)，

所以f(-x)=a(p(-x)+bg(-x)+3<10,即-a(p(x)-bg(x)+3<10,

所以a(p(x)+bg(x)>-7,

所以f(x)=a(p(x)+bg(x)+3>-7+3=-4.

一一(1+x)2—―.—

3.設(shè)函數(shù)f(x)=;的最大值為M,最小值為m,貝［JM+m

x2+1

=()

A.0B.1C.2D.3

(1+x)22x2x

選c.因為f(x)=1——=i+-^-，函數(shù)T-是奇函數(shù)，圖象

x2+1x2+1x2+1

關(guān)于坐標原點對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，所以最大值與

最小值的和為2.

4.(多選)已知定義在區(qū)間［-7,7］上的一個偶函數(shù)，它在［0,7］上的

圖象如圖，則下列說法正確的是()

A.這個函數(shù)有兩個單調(diào)增區(qū)間

B.這個函數(shù)有三個單調(diào)減區(qū)間

C.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7

D.這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7

選BC.根據(jù)偶函數(shù)在［0,7］上的圖象及其對稱性，作出其在［-7,7］

上的圖象，如圖所示,

由圖象可知這個函數(shù)有三個單調(diào)增區(qū)間，有三個單調(diào)減區(qū)間，在其定

義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.

5.(多選)若函數(shù)f(x)對任意xWR都有f(x)+f(-x)=0成立,mGR,

則下列的點一定在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()

A.(0,0)B.(-m,-f(m))

C.(m,-f(-m))D.(m,f(-m))

選ABC.因為任意x￡R滿足f(x)+f(-x)=0,

所以f(x)是奇函數(shù)，

又x￡R,所以令x二。,

則f(-0)=-f(0),得f(0)=0,所以點(0,0),

點(-m,-f(m))與(m,-f(-m))也一定在y=f(x)的圖象上.

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+4(a,b均不為零),且f(5)=知，則f(-

5)=.

令g(x)=ax3+bx(a,b均不為零),

易知g(x)為奇函數(shù),從而g(5)=-g(-5).

因為f(x)=g(x)+4,

所以g(5)=f(5)-4=6,

所以f(-5)=g(-5)+4=-g(5)+4=-2.

答案：-2

7.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為.(填序號)

/1-x

①f(x)=(x+1)、---；

Yi+x

f-X2+2x+1,x>0

②f(x)=j；

[x2+2x-1,x<0

-x2

(3)f(x)=—；

A

④f(x)=|x-1|-|x+1|.

①因為f(x)=(x+1)A/---要有意義，

1+x

1-X

則----NO且1+xWO,

1+x

解得-1<X<1,

所以，函數(shù)y=f(x)的定義域為(-1,1］,不關(guān)于原點對稱，

因此，函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

②當x>0時,f(x)="x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2x(-x)-

1

=x2-2x-1=-f(x)；

當x<0時,f(x)=x2+2x-1,-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2x(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).

所以函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).

2

4-x>0

③由題意可得.一，

所以-2<x<2且xWO,

所以，函數(shù)y=所)的定義域為［-2,0)U(0,2］,關(guān)于原點對稱,

v、W(r)2

又f(-X)=-^―----——=—=f(x),

(-X)-X

所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).

④對于任意實數(shù)X,都有f(-x)

=|-X-l|-|-x+l|=|x+l|-|x-1|=-f(x)/

所以f(x)是奇函數(shù).

答案：②④

8.已知函數(shù)f(x)是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù),且當x>0時,f(x)

單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式f(x-l)>f(a)的解集為.

由題意可得a-1+2a=0,

所以a二；,

所以f(x-l)>f(a)等價于|x-1|>|,

所以x<^或x>g.

所以所求的解集為(-8,I)U及，+1

答案:18，|)U修,+j

三、解答題

?V

5-

4

3-

2-

1

-3-2-10123

-1

-2,

3

_f|x+1|,x<0,

9.(10分)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=]

[x2-2x+1,x>0.

⑴在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象，并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間

(不需證明)；

(2)若方程f(x)+2a=0有兩個解，求出a的取值范圍；

⑶設(shè)定義域為R的函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且當x>0時，g(x)=f(x),求

g(x)的解+析式.

⑴如圖.

單調(diào)增區(qū)間：[-1,0],[1,+a))z單調(diào)減區(qū)間(-8,-1],[0,1].

(2)在同一坐標系中同時作出y=f(x),y=-2a的圖象,由圖可知f(x)

+2a=0有兩個解，須-2a=0或-2a>1,

即a=0或a<-；.

⑶當x<0時,-x>0,

所以g(-x)=(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1,

因為g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)=-g(-x)=-x2-2x-1,

且g(0)=0,

\2+2x+l(x>0),

所以g(x)=<0(x=0),

-x2-2x-l(x<0).

自我挑戰(zhàn)區(qū)

x2-ax,x>0,

1.已知函數(shù)f(x)=《是奇函數(shù)，且在（m,m+上單

I-x2-x,x<0

調(diào)遞減，則實數(shù)a=；實數(shù)m的取值范圍用區(qū)間表示為

X2-3,XX>0

因為函數(shù)f(x)=<'—'是奇函數(shù)，

[-x2-x,x<0

所以f(l)+f(-1)=0,

即1-a+(-1)+1=0,解得a=l；

fx2-x,x>0

因此f(x)=5,

[-x2-x,x<0

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，當x>0時，函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間(0,3

上單調(diào)遞減，在區(qū)間段,+/上單調(diào)遞增；

又因為f(0)=0,所以由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)f(x)在區(qū)間(-；,0

上單調(diào)遞減；

因為函數(shù)f(x)在(m,m+上單調(diào)遞減，

所以只需：(m,m4-；,2,

f1

m^-2i

即彳[i，解得-?<m<0.

11N

+2-2

答案：1-1，。

2.設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且對任意a,be[-1,1],

f(a)+f(b)

當a+b和時，都有

a+b

⑴若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小；

(2)解不等式(X-m<dx-?；

(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)這兩個函數(shù)的定義域的交集是

空集，求c的取值范圍.

⑴任取-1<X]<X2<1,

f(X2)-f(X|)f(X2)+f(-X|)

貝！J=；；>0,

X2-X|X2+(-X])

所以f(X2)>f(X|),

所以f(X)在X0-1,1J上是增函數(shù).

因為a,b￡[-l,1],且a>b,

所以f(a)>f(b).

(2)因為f(x)是x￡[-1,1]上的增函數(shù)，

所以由不等式｛X-m<fjx-I)

-&-1<1,

得<-1<X-1<1,

11

j-2<x-4/

解得1

所以-1<x<1,

所以原不等式的解集是，x|-拉端.

⑶設(shè)函數(shù)g(x),h(x)的定義域分別是P和Q,

貝UP={x|-1/X-C<1}={x|c-1<X<C+1},

Q={x|-l<x-c2<l}={x|c2-l<x<c2+1},

于是POQ=0的條件是c-1>c2+1(無解)，或c+1<c2-1,

即c?-c-2>0,解得c>2或c<-1.

故C的取值范圍是{c|c>2或c<-1}.

囂勖!1

德【變式備選】

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=-x2

⑴若a=-2,求函數(shù)f(x)的解+析式；

(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，

①求a的取值范圍；

②若對任意實數(shù)1)+f(m2+t)<0恒成立，求實數(shù)t的取值范

圍.K

⑴當x<0時，-x>0,

又因為f(x)為奇函數(shù)，且a=-2,

所以當x<0時，f(x)=-f(-x)=x2-2x,

[x2-2x,x<0,

所以f(x)=.

I-x2-2x,x>0.

(2)①當a<0時，對稱軸為x=<0,

所以f(x)=-x2+ax在［0，+co)上單調(diào)遞減，

由于奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，

所以f(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，

又在(-00,0)±f(x)>0,在(0,+00)上f(x)<0,

所以當a<0時，f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù).

當a>0時，f(x)在(0,|)上單調(diào)遞增，在俘，+oo)上單調(diào)遞減，不合

題意.

所以函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)時，a的取值范圍為a<0.

②因為f(m-1)+f(m2+t)<0,

所以f(m-1)<-f(m2+t),

又因為f(x)是奇函數(shù)，

所以f(m-l)<f(-t-m2),

又因為f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，

所以m-1>-t-m2恒成立，

所以t>-m?-m+1=-(m+；］+/對任意實數(shù)m恒成立，

所以t>1.

即t的取值范圍是《，+》.

C?周末抽出一小時，階段復盤再提升!//

考點綜合?提升練6

限時60分鐘分值100分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共30分，在每小題給出的選項中，只有一

個正確選項)

1.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當X0O,+8)時，f(x)是減函數(shù)，

則f(-1),f(7T),f(-3)的大小關(guān)系是()

A.f(7T)<f(-3)<f(-1)

B.f(-3)<f(-l)<f(7t)

C.f(-l)<f(-3)<f(7l)

D.f(7T)<f(-l)<f(-3)

選A.因為f(x)是偶函數(shù)，

所以f(-D=f(l),f(-3)=f(3),

又f(x)在[o,+oo)上單調(diào)遞減，兀>3>1,

所以f(7t)<f(3)<f(l),即f(7T)<f(-3)<f(-1).

2.(2021.成都高一檢測)已知定義在(0,+oo)上的減函數(shù)f(x)滿足條件:

f(Xl-X2)=f(Xi)+f(X2)T,則關(guān)于X的不等式f(X-1)>1的解集為()

A.(0,2)B.(1,+00)C.(1,2)D.(-00,2)

選C.因為f(xrX2)=f(xi)+f(X2)-1,

令X2=1,有f(Xl)=f(Xi)+f(l)-1,即f(l)=1.

故f(x-1)>1,即f(x-l)>f⑴.

又因為f(X)是(0,+8)上的減函數(shù).

故0<x-1<1,

解得l<x<2.

3.(2021濟南高一檢測)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單

調(diào)遞增，若X1>0,且X]+X2<O,則()

A.f(X1)>f(X2)

B.f(X!)<f(X2)

C.f(xi)=f(X2)

D.無法比較f(Xl)與f(X2)的大小

選B.由Xi+X2<0得X]<-X2,

又X1>O,

所以-X2>Xl>0.

因為f(x)為R上的偶函數(shù)，且在(o,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(xi)<f(-X2)=f(X2).

4.(2021.廣安高一檢測)已知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，點A(-2,

3),B(3,-3)是其圖象上的兩點，則不等式|f(x+1)|<3的解集的補集

是()

A.(-3,2)

B.(-1,2)

C.(-oo-3]U[2,+oo)

D.(-oo,-1]U[2,+oo)

選C.由|f(x+1)|<3得-3<f(x+1)<3,

即f(3)<f(x+l)<f(-2).

又因為函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，

所以-2<x+1<3,

解得-3<x<2.

所以原不等式的解集為｛x|-3<x<2｝,其解集的補集為｛x|xg-3或

x>2}.

5.已知f(x)在(-oo,+oo)上是單調(diào)函數(shù),且f(f(x)-x)=1,則f(2)

的值是()

531

A.B.C.2D.1

選A.設(shè)k=f(x)-x,

所以f(k)=1,f(x)=x+k,

因為f(x)在(-co,+co)上是單調(diào)函數(shù)，

所以f(k)=k+k=2k=1,

所以k=；.

所以f(x)=x+T,

所以f(2)=2+；=|.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是

l+|x|

()

Am

(n

選A.由題意知f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時，f(x)單調(diào)遞增，所以由

f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),

所以|x|>|2x-1|,x2>(2x-I)2,解得;<x<l.

二、選擇題(每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的

得3分)

7.下列函數(shù)中在(-8,-1)上是增函數(shù)的是()

C.y=x2+xD.y=1-x

xx+1-1-1-1

選AB.對于A,y===1+，由y=工一的圖象

x+1x+1x+1x

向左平移一個單位，再向上平移一個單位得到其圖象，

-1

因為y=A.在(-刃，0)上單調(diào)遞增，

-1

所以y=l+——在(-co,-1)上單調(diào)遞增，故A正確；

X+1

對于B,y=1-x2對稱軸為x=0,圖象開口向下,

故函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞增，故B正確；

2

對于C;y=x+x對稱軸為x=-；,

圖象開口向上，故函數(shù)在1-8，-上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對于D,y=1-x在定義域R上單調(diào)遞減，故D錯誤.

25

8.若函數(shù)f(x)=x2-3x-4的定義域為［0,m］,值域為［-彳，-4］,

則m可以取()

357

A.2B.2C.3D.2

選ABC.因為對稱軸為x/3，對應(yīng)函數(shù)值為25譚，所以吟］3；當丫

=-4時，x=0,3,因此m<3,

綜合可得，m的取值范圍是［1,3.

結(jié)合選項，ABC符合題意.

三、填空題(每小題5分，共20分)

9.(2021.南通高一檢測)已知函數(shù)f(x);

f-x2+2x(x>0)

1，在區(qū)間［-1,a-2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取

［x2+2x(x<0)

值范圍為.

由分段函數(shù)解+析式知：f(X)在(-00,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞減,［-

1,1］上單調(diào)遞增，

f(x)在［-1,a-2］上單調(diào)遞增,則-l<a-2<1,即aG(l,3］,

答案:(1,3］

10.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x),則

f(4)=.

因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,

因為f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)的周期為4,

所以f(4)=f(0)=0.

答案：0

11.已知y=f(x)是定義在(-oo,0)U(0,+oo)上的偶函數(shù)，當x>0時

f(x)=x+1,貝！]x<0時，f(x)=.

根據(jù)題意，設(shè)x<0,貝卜x>0,

所以f(-x)=(-x)+1,

又函數(shù)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x),

則f(x)=-X+1.

答案：-X+1

12.已知f(x)是定義域為[m-6,2m]的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x2

+3mx+2,那么實數(shù)m的值為f⑴的值為.

由于奇函數(shù)f(x)的定義域為

[m-6,2m],

所以m-6+2m=0,解得m=2.

所以當x<0時，f(x)=X?+6x+2,

所以f(l)=-f(-1)=-[(-l)2-6+2]=3.

答案：23

四、解答題(每小題10分，共40分)

1,x>0

0.已知一個分段函數(shù)可利用函數(shù)S（x）=。，x<Q來表示’例如要

X,x>2

表示一個分段函數(shù)g(x)=］,可將函數(shù)g(x)表示為g(x)=

［-x,x<2

xS(x-2)+(-x)S(2-x).現(xiàn)有一個函數(shù)f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+

(x2-1)S(1-x).

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,4］上的最大值與最小值；

⑵若關(guān)于x的不等式f(x)<kx對任意x￡［0,+co)都成立，求實數(shù)k

的取值范圍.

f-x2+4x-3,x>l

⑴由題意可知f(x)",

［x2-1,X<1

當l<x<4時,f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

則f(x)在［1,2］上遞增,在［2,4］上遞減；

當0<x<l時,f(x)=x2-1,則f(x)在［0,1)上遞增，

而f(0)=-1,f(2)=1,f(4)=-3,f(l)=0，所以f(x)max=f(2)=1,f(x)min

=f(4)=-3.

⑵由圖可知，當直線y=kx與拋物線y=-X2+4X-3只有一個交點

時，

令kx=-x2+4x-3,

即x?+(k-4)x+3=0,

由A=0,得(k-4)2-12=0,

得k二4±2小,結(jié)合圖象,可知當k>4-2小時，關(guān)于x的不等式

f(x)<kx對任意xe[0,+co)都成立.

所以實數(shù)k的取值范圍為[4-2小，+co).

14已知函數(shù)f(x)=ax+3其中a,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(12)(2,

兩點.

⑴判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+oo)上單調(diào)遞增.

⑴因為函數(shù)f(x)=ax+^的圖象經(jīng)過(1,2),(2,多兩點，

fa+b=2,1=1,

所以b5解得

2a+2=2?[b=1.

所以f(x)=x+1.

A

判斷：函數(shù)f(x)=X+1是奇函數(shù)，

因為函數(shù)f(x)的定義域為｛x|x#)｝關(guān)于原點對稱，

又因為對于任意X#),f(-X)=-x+—=-[x+x)=-f(x),

所以函數(shù)f(x)=x+；是奇函數(shù).

A.

(2)任取1<X1<X2，則f(xi)-f(X2)

(XI-X2)(X1X2-1)

—X]X2'

因為1<X1<X2,

所