圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容：《圓的一般方程》主要內(nèi)容是圓的一般方程的定義、代數(shù)特征、求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題。2.內(nèi)容解析：內(nèi)容的本質(zhì)：本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圓的一般方程，發(fā)現(xiàn)圓的方程特點(diǎn)，即為特殊的二元二次方程。圓的一般方程，是幾何和代數(shù)結(jié)合的進(jìn)一步應(yīng)用，也是在學(xué)習(xí)了直線一般式方程的基礎(chǔ)上，以“圓”為載體，再次實(shí)踐和感悟運(yùn)用解析幾何思想研究問題的一般思路.同時(shí)，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ)。也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。同時(shí)，坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：本節(jié)在類比直線的研究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步體會(huì)和掌握在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，進(jìn)而運(yùn)用方程研究圓的幾何性質(zhì)及直線和圓、圓和圓的相互位置關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，在解決圓有關(guān)的問題時(shí)，需要學(xué)生能根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；根據(jù)對(duì)幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題，重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。知識(shí)的上下位關(guān)系：育人價(jià)值：圓的一般方程式將幾何元素“圓”與代數(shù)式子“方程”對(duì)應(yīng)起來，用代數(shù)語言表示幾何元素，用代數(shù)方法解決幾何問題，能提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)并會(huì)求圓的一般方程.二、學(xué)情分析圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)了直線方程、掌握了求曲線方程一般方法的基礎(chǔ)上，在學(xué)習(xí)過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后進(jìn)行研究的，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，且對(duì)坐標(biāo)法的運(yùn)用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)出現(xiàn)困難。另外學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識(shí)等方面有待加強(qiáng)。三、教學(xué)目標(biāo)及其解析目標(biāo)達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志理解圓的一般方程的概念.通過將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系，能將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).掌握?qǐng)A的一般方程的概念，能與標(biāo)準(zhǔn)方程互化.通過對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件，能判斷任意一個(gè)二元二次方程是否是圓的一般方程，會(huì)由圓的一般方程求圓心和半徑，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).掌握?qǐng)A的一般方程求解方法和與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題求解方法.通過具體例題的講解，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程以及用相關(guān)點(diǎn)法解決與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題，提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).四、教學(xué)問題診斷分析認(rèn)知基礎(chǔ)與將要達(dá)到水平的差異難點(diǎn)解決辦法圓的一般方程的探究過程與直線的一般式方程探究過程相似，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過直線的一般式方程的探究過程，所以能進(jìn)行圓的一般方程的探究.學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)過配方法解一元二次方程，對(duì)利用配方法解決問題有一定的基礎(chǔ).在圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程會(huì)遇到困難，即配方法的使用.對(duì)二元二次方程不熟悉，二元二次方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程有困難通過嘗試配方例子中的幾個(gè)二元二次方程，從特殊到一般，歸納方法.在直線部分的學(xué)習(xí)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程都是將幾何元素與代數(shù)表示對(duì)應(yīng)起來，將圖形上的點(diǎn)與方程的解與平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來.將已知的幾何信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言，并找到其中蘊(yùn)含的相等關(guān)系是比較困難的.坐標(biāo)法解決軌跡問題借助幾何畫板作圖，直觀形象地觀察軌跡問題，體會(huì)利用幾何的眼光看問題，找到問題的本質(zhì)，用代數(shù)的方法解決問題.五、教學(xué)支持條件分析借助幾何畫板作圖，直觀形象地觀察軌跡問題.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系，能將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件，能判斷任意一個(gè)二元二次方程是否是圓的一般方程，會(huì)由圓的一般方程求圓心和半徑，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.通過具體例題的講解，會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題，提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).【學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)】1.重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)并會(huì)求圓的一般方程.2.難點(diǎn)：與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題.六、教學(xué)過程【知識(shí)準(zhǔn)備】認(rèn)知準(zhǔn)備：預(yù)備知識(shí)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你還記得嗎？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以為圓心，以為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：直線的一般式方程：直線一般式方程的研究過程:設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線一般方程的研究過程，為本節(jié)課研究圓的一般方程鋪墊.課前小測：請(qǐng)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程回答下列問題：（1）以為圓心，為半徑長的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（2）標(biāo)準(zhǔn)方程為的圓，圓心為，半徑為.【概念的形成】問題1：在課前小測中，我們得到了幾個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的一般方程是二元一次方程的形式，通過運(yùn)算我們可以將這幾個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形，是否也可以類似的寫成二元二次方程的形式？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二元二次方程預(yù)設(shè)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二元二次方程追問：觀察上面兩個(gè)圓的方程，它們有什么特點(diǎn)？我們發(fā)現(xiàn)以為圓心，以為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，我們可以通過運(yùn)算得到：，即的形式.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，從特殊到一般，得出圓都可以由方程表示.追問：任意一個(gè)二元二次方程表示的圖形都是圓嗎？變式：判斷：通過課前小測中的兩個(gè)例子，我們知道，和都是圓的方程，那么我們將這兩個(gè)方程中的做一些變化，下列三個(gè)方程表示的圖形是否還能表示圓？請(qǐng)說明你的理由．答案：①先給配方，即，再給配方，得，故，可以表示以為圓心，以為半徑的圓；②先給配方，得，再給配方，得，故，可以表示以為圓心，以為半徑的圓；③先給配方，得，再給配方，得，故，可以表示以為圓心，以為半徑的圓；④先給配方，得，再給配方，得，即由于，故，不可以表示圓.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)課前小測中兩個(gè)圓的方程進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)，不是所有都可以表示圓.追問：以上問題中，并不是所有都可以表示圓，那么方程中的滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？問題2：將方程配方，請(qǐng)你分析，滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？答案：先給配方，即再給配方.然后移項(xiàng)，.整理，.（1）當(dāng)時(shí)，表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，只有實(shí)數(shù)解,它表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形；因此當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)圓，此時(shí)我們把叫做圓的一般方程設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)方程進(jìn)行配方分析，發(fā)現(xiàn)并不是所有都可以表示圓.【概念】圓的一般方程我們把方程叫做圓的一般方程，圓心是，半徑是.【概念的理解】【做一做】1.已知圓，則圓心坐標(biāo)、半徑的長分別是()A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，91.答案：A.圓可化為.故其圓心坐標(biāo)為，半徑的長為.2.判斷方程是否表示圓？若是，寫出圓心和半徑；若不是，請(qǐng)說明理由．2.答案：原方程可化為.這里是大于或等于的，因此需要分類討論.①當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解，表示點(diǎn)，所以不表示圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示圓心為，半徑為的圓.設(shè)計(jì)意圖：通過兩個(gè)實(shí)例，能通過圓的一般方程得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑，能判斷一個(gè)二元二次方程是否表示圓.【概念的應(yīng)用】例1求過三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.解：（法一）幾何法所以，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑.故所求圓的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解：（法二）待定系數(shù)法（設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)都在圓上于是，化簡各式得到，由和得到，由，得，代入得，將，代入得故.所以，所求圓的方程是.故所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑.解：（法三）待定系數(shù)法（設(shè)圓的一般方程）設(shè)圓的方程是,因?yàn)槿c(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是圓的方程的解.把它們的坐標(biāo)依次代入圓方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個(gè)三元一次方程組，化簡得，由和得到，由，得，代入得，將，故.所以，所求圓的方程是.故所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑.追問：通過這個(gè)例題，你能說說用待定系數(shù)法求圓的方程的一般過程是什么樣的？答案：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；（3）解出或，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.歸納得到：標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程指出了圓心坐標(biāo)和半徑大小，幾何特征明顯是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯二者都含有三個(gè)待定的系數(shù)，要確定方程，均需要三個(gè)獨(dú)立條件。用待定系數(shù)法解決求圓的方程時(shí)，若設(shè)一般方程則得到三個(gè)三元一次方程，若設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程則得到三個(gè)三元二次方程，在運(yùn)算上，設(shè)一般方程更簡單，然而，得到的方程仍需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程或計(jì)算才能得到圓心、半徑的信息.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，能用待定系數(shù)法求解圓的圓心坐標(biāo)和半徑，對(duì)比設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的優(yōu)劣.例2已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.通過幾何畫板演示，我們可以看到的軌跡看起來是個(gè)圓，那么的軌跡真的是個(gè)圓嗎？解：如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)，所以.于是有.①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即.②把①代入②，得，整理得.配方得到.這就是點(diǎn)的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為的圓.追問：根據(jù)上述例題，大家可以總結(jié)求解軌跡方程的一般步驟嗎？相關(guān)點(diǎn)法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，找到關(guān)系式，列式求出.若動(dòng)點(diǎn)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且知道點(diǎn)所在的曲線,用表示;將點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，初步掌握相關(guān)點(diǎn)法解決與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題.【課堂練習(xí)】1.以為圓心，為半徑的圓的方程為()A. B. C. D.答案：C解析：由圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，化為一般方程為：.故選C.2.方程表示圓，則的取值范圍是()A.或 B. C. D.答案：D解析：方程表示圓，，，，.故選D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為__________.答案：.解析：設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過三點(diǎn)，則，解得：，則圓的方程為.4.圓心在直線上的圓與軸交于兩點(diǎn)，求圓的方程.答案：設(shè)圓的方程為.圓心在直線上，，即.①又點(diǎn)在圓上，,②由①②，解得，∴圓的方程為.5.已知直角的斜邊為，且，，求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊中點(diǎn)的軌跡方程．答案：(1)法一：設(shè)頂點(diǎn)，因?yàn)?，且三點(diǎn)不共線，所以且.又,，且，所以，化簡得.因此，直角頂點(diǎn)的軌跡方程為．法二：同法一得且.由勾股定理得，即，化簡得.因此，直角頂點(diǎn)的軌跡方程為．法三：設(shè)中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由直角三角形的性質(zhì)知，.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑長的圓(由于三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與軸的交點(diǎn)),所以直角頂點(diǎn)的軌跡方程為．(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，于是有,.由(1)知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，將，代入該方程得，即，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，測試學(xué)生對(duì)教學(xué)目標(biāo)的掌握情況.【反思與小結(jié)】1.圓的兩種方程：圓的兩種方程標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程（）圓心為，半徑為圓心為，2.應(yīng)用圓的方程解決簡單的數(shù)學(xué)問題.設(shè)計(jì)意圖：分析總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)和思想方法.【課后作業(yè)】A組：1.下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標(biāo)和半徑長.（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）中，與的系數(shù)不同，故原方程不表示圓.（2）中含有項(xiàng)，故原方程不表示圓.（3），原方程不表示圓.（4），方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，即，半徑.2.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D.由題意得：，即.3.圓的半徑為______.答案：解析：由，得，所以所求圓的半徑為.4．求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程．答案：由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故半徑為1，圓心為，設(shè)其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，故，故所求圓的方程為：.5.已知定點(diǎn)，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡．答案：如圖所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，Q(x1，y1)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式有,即,，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．B組：1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半，求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡．答案：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡就是集合．由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)適合的條件可表示為，平方后再整理，得．可以驗(yàn)證，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)是．由于，且為線段的中點(diǎn)，所以，．所以有，①