2020-2021年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章三角形的證明 優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練題

2020-2021年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《第1章三角形的證明》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練題（附答案）

1.等腰三角形的一個角比另一個角2倍少20度，等腰三角形頂角的度數(shù)是（）

A.140°或44°或80°B.20°或80°

C.44°或80°D.140°

2.如圖，△ABC中，ZA=36°,ZC=72°,80平分/ABC,ED//BC,則圖中等腰三角

形的個數(shù)是（)

A.3B.4C.5D.6

3.在三角形的內(nèi)部,到三邊距離相等的點是三角形的三條（)

A.中線的交點B.角平分線的交點

C.高的交點D.以上都不對

4.下列說法中，正確的有（）

①等腰三角形的底角一定是銳角.

②等腰三角形的角平分線、中線和高是同一條線段.

③等腰三角形兩腰上的高相等.

④等腰三角形兩腰上的中線相等.

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.元旦聯(lián)歡會上，同學(xué)們玩搶凳子游戲,在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個凳

子，誰先搶到凳子誰獲勝.如果將4B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個頂點,

那么凳子應(yīng)該放在△4817的（)

A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點

C.三邊上高的交點D.三邊垂直平分線的交點

6.下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）

A.有兩條邊分別相等B.有一個銳角和一條邊相等

C.有一條斜邊相等D.有一直角邊和斜邊上的高分別相等

7.下列說法錯誤的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

B.三角形兩邊的垂直平分線的交點到三個頂點距離相等

C.等腰三角形的兩個底角相等D.等腰三角形頂角的外角是底角的二倍

8.如圖所示，在△ABC中，CD,BE是兩條高，那么圖中與/A相等的角的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.如圖，在△ABC中，AB=AC=\\,ZBAC=\20°,AD是△ABC的中線，AE是NBA。

的角平分線，交AE的延長線于點F,則。F的長為（）

A.4.5B.5C.5.5D.6

10.已知在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點在格點上，位置

如圖，點C也在格點上，且AABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

11.如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以8,C為圓心，以大于2BC的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD

A.90°B.95°C.100°D.105°

12.如圖，AQ是△ABC的角平分線，DE,。尸分別是△43。和△ACC的高，得到下列四

個結(jié)論：

①0A=0。；?AD1.EF；③當(dāng)乙4=90°時，四邊形AEDP是正方形;

@AE2+DF2=AF1+DE2.其中正確的是（）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

13.如圖，在aABC中，AB^20cm,AC=12c〃?，點尸從點B出發(fā)以每秒3。"的速度向點

A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其中一個動點到達(dá)端點時,

另一個動點也隨之停止運動，當(dāng)時，P,。運動的時間為（）

14.如圖，在△48C中，邊AC的垂直平分線。E交邊A8于點E,若BC=6厘米，4B=8

厘米，則△EBC的周長為cm.

15.如圖，在aABC中，A8的垂直平分線分別交AB,AC于。，E兩點，且AC=10,BC

=4,則△BCE的周長為.

16.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交4B于點￡>,交BC于點E,連接AE.若BC

=6,AC=5,則aACE的周長為

17.在△48C中，ZBAC=i\5°,DE,FG分別為AB,4c的垂直平分線，則NEAG的度

數(shù)為.

BEGC

18.如圖，已知RtZ\A5C中，NC=90°,ZA=30°,AC=6.沿。E折疊，使得點A與

點B重合，則折痕OE的長為.

B

C.EA

19.如圖，在面積為6的等腰三角形A8C中，AB^AC,A￡>是BC邊上的高，E,尸是AZ)

上的兩點，則圖中陰影部分的面積是.

BDL

20A.如圖，△ABC中，/ABC=45°,高AQ和BE相交于點H,NC4￡>=30°,若AC=4,

則點H到BC的距離是

21.如圖，在等腰三角形紙片A8C中，AB=AC,NA=50°,折疊該紙片，使點A落在點

B處,折痕為OE,則NCBE=

BC邊上的垂直平分線。E交邊8c于點。，交邊AB于點E.若4

EDC的周長為24,ZXABC與四邊形AEOC的周長之差為12,則線段OE的長為.

23.如圖，已知正方形A8C。的邊長為4,對角線AC與8。相交于點。，點E在。C邊的

延長線上.若/C4E=15°,則4E=

24.如圖，在△ABC中，AB=20cm,AC=12”"，點尸從點B出發(fā)以每秒速度向點A

運動，點。從點A同時出發(fā)以每秒2CM速度向點C運動，其中一個動點到達(dá)端點，另一

當(dāng)△APQ是以P。為底的等腰三角形時，運動的時間是.秒.

25.如圖，在aABC中，AB=AC,。為線段8c上一動點（不與點8、C重合），連接AZ）,

作NOAE=Na4C,且AO=AE,連接CE.

圖1

(1)如圖1,當(dāng)CE〃AB時，若/BA￡>=35°,則NOEC度;

（2）如圖2,設(shè)NBAC=a（90°<a<180°）,在點。運動過程中，當(dāng)。E_LBC時，Z

DEC=.（用含a的式子表示）

26.已知：如圖，△ABC中，P、Q兩點分別是邊A8和AC的垂直平分線與BC的交點，連

接AP和AQ,且BP=PQ=QC.

求NC的度數(shù).

證明：：P、Q兩點分別是邊AB和AC的垂直平分線與2c的交點，

.?.B4=,QC=QA.

'：BP=PQ=QC,

.?.在△APQ中，PQ=（等量代換）

/\APQ是三角形.

AZAQP=60°,

?.,在△AQC中，QC=QA,

：.ZC=Z.

又VZAQP是aAQC的外角，

NAQP=Z+Z=60°.

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

：.ZC=

27.如圖，△A8C中，ZACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作CF_LAE,

垂足為F,過B作BD_LBC交C尸的延長線于D

（1）求證：AE—CD；

(2)若AC=12cm,求的長.

28.如圖，將一張長方形的紙條A8CZ）沿EF折疊，若折疊后/AGC'=48°,AD交EC'

于點G.

(1)求/CEF的度數(shù)；

(2)求證：△EFG是等腰三角形.

29.如圖，已知：E是/AOB的平分線上一點，ECVOB,EDLOA,C、D是垂足，連接

CD,且交0E于點￡

(1)求證：0E是8的垂直平分線.

(2)若NAOB=60°,請你探究OE,EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

30.如圖，四邊形ABCD的對角線AC、80相交于點O,NAC8=NAOB=90°,M為邊

AB的中點，連接MC,MD.

(1)求證：MC=MD；

(2)若△MCD是等邊三角形，求/A0B的度數(shù).

31.如圖，在△A8C中，ZB=90°,AB=8厘米，8c=6厘米，P、。是△ABC邊上的兩

個動點，其中點P從點A開始沿A-8方向運動速度為1厘米/秒，點。從點B開始沿8

-C-A方向運動速度為2厘米/秒，若它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為，秒.

(1)求出發(fā)2秒后，尸。的長；

(2)點。在C4邊上運動時，當(dāng)△BC。成為等腰三角形時，求點。的運動時間.

備用圖

32.在△ABC中，ZBAO90°,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于E,AC的垂直平

分線交BC于M交AC于尸.

(1)若AB=4C,ZBAC=120°,求證BM=MN=NC;

(2)由(1)可知△AA/N是三角形；

(3)去掉(1)中的“/BAC=120°”的條件，其他不變，判斷△AMN的形狀，并證明

你的結(jié)論；

(4)當(dāng)NB與NC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△4MN是等腰三角形？直接寫出所有可能的

情況.

參考答案

1.解：設(shè)另一個角是x,表示出一個角是2r-20°,

①x是頂角，”-20°是底角時，x+2(2%-20°)=180°,

解得x=44°,

所以，頂角是44°；

②x是底角，2%-20°是頂角時，2x+(2A--20°)=180°,

解得x=50°,

所以，頂角是2X50°-20°=80°；

③x與2x-20°都是底角時，x=2r-20°,

解得x=20°,

所以，頂角是180°-20°X2=140°；

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是44°或80°或140°.

故選：A.

2.解：2NA=36°，ZC=72°,

AZABC=180°-72°-36°=72°,

ZABC=ZC,

.?.△ABC是等腰三角形，

'：DE//BC,

：.ZAED^ZABC,NADE=NC,

：.NAED=ZADE,

.??△AEQ是等腰三角形，

；8。平分/ABC,

AZABD=ZDBC=36C,,

AZA=ZABD=36°,NEDB=NEBD=36°,

：./\ABD,△8OE都是等腰三角形，

：NC=/BOC=72°,

.?.△BDC是等腰三角形，

二等腰三角形有5個，

故選：C.

3.解：在三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線的交點，

故選：B.

4.解：①等腰三角形的底角一定是銳角是正確的：

②等腰三角形的角平分線、中線和高不一定是同一條線段，原來的說法錯誤；

③等腰三角形兩腰上的高相等是正確的；

④等腰三角形兩腰上的中線相等是正確的.

故正確的有3個.

故選：D.

5.解：???三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，

凳子應(yīng)放在aABC的三條垂直平分線的交點最合適.

故選：D.

6.解：A、兩邊分別相等，但是不一定是對應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項

不符合題意；

8、一條邊和一銳角對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；

C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項

不符合題意；

。、有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，故此選項符合題意；

故選：D.

7.解：A、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線互相重合，故A錯誤;

8、三角形兩邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等，故B正確；

C、等腰三角形的兩個底角相等，故C正確：

。、等腰三角形頂角的外角是底角的二倍，故。正確，

故選：A.

8.解：'：CDLAB,

.?.NCD4=NBOH=90°,

：.ZA+Z￡)CA=90°,NABE+NBHD=9Q°,

\"BE1AC,

.,.N4+/ABE=90°,NCHE+NHCE=9Q°,

NA=NBHD=NCHE,

故選:B.

9.解：,?.△ABC是等腰三角形，。為底邊的中點,

：.AD.LBC,/BAD=NCAD,

VZBAC=120°,

???NBAD=60°,NADB=90°,

VAE是N3AQ的角平分線，

：.ZDAE=ZEAB=30Q.

9：DF//AB,

???N/=N8AE=30°.

：.ZDAF=ZF=30°,

：.AD=DF.

VAB=11,ZB=30°,

：.AD=5.5,

：.DF=5.5

故選：C.

10.解：①以AB為底邊，符合點。的有5個；②以A3為腰，符合點。的有4個.所以

符合條件的點。共有9個.故選：C.

9------------

B

4

11.解：'：CD=AC,NA=50°,

??.NADC=NA=50°,

根據(jù)題意得：MN是8C的垂直平分線,

:?CD=BD,

：,4BCD=4B,

：.ZB=^ZADC=25°,

2

/.ZACB=1800-ZA-ZB=105".

故選：D.

12.解：如果04=。。，則四邊形4瓦乃是矩形，ZA=90°,不符合題意,

.??①不正確；

,：AD是aABC的角平分線，

J.ZEADZFAD,

在△?!￡：￡>和△4「￡>中，

，ZEAD=ZFAD

*ZAED=ZAFD=90°

AD=AD

J.^AED^^AFD(A45),

：.AE^AF,DE=DF,

：.AE1+DF2=AF2+DE2,

...④正確；

在△AE。和△AFO中，

，AE=AF

<ZEA0=ZFA0-

A0=A0

(SAS),

:.EO=FO,

又：AE=AF,

是E尸的中垂線，

J.ADLEF,

...②正確；

?.?當(dāng)NA=90°時，四邊形AE￡>尸的四個角都是直角，

，四邊形AEDF是矩形，

又,：DE=DF,

四邊形AEDF是正方形，

...③正確.

綜上，可得

正確的是：②③④.

故選：D.

13.解：設(shè)當(dāng)/4PQ=Z4。尸時，P,Q運動的時間為f秒,

NAPQ=ZAQP,

：.AP=AQ,

.*.20-3t=2t,

解得r=4,

故選：B.

14.解：：DE是邊4c的垂直平分線，

：.EA=EC,

/XEBC的周長=8C+BE+EC=BC+BE+E4=BC+AB=14(厘米),

故答案為：14.

15.解：是線段AB的垂直平分線，

:.EA=EB,

,△BCE的周長=EB+EC+BC=EA+EC+8C=AC+BC=14,

故答案為：14.

16.解：???OE是線段AB的垂直平分線，

：.EA=EB,

：.△ACE的周長=EA+EC+AC=EB+EC+AC=BC+AC=11,

故答案為：11.

17.解：VZBAC=115°,

AZB+ZC=180--115°=65°,

'：DE,尸G分別為AB,AC的垂直平分線，

；.EA=EB,GA=GC,

:.NEAB=NB,/GAC=NC,

AZEAB+ZGAC^ZB+ZC=65°,

：.ZEAG=ZBAC-(NEAB+NGAC)=50°,

故答案為：50°.

18.解：由題意可得，BE平分/ABC,DE=CE

又NA=30°,AC=6

可得。E=UE

2

：.DE=1.(6-DE)

2

則DE=2.

故答案為2.

19.解：:△ABC為等腰三角形，AD±BC,

：.BD=DC,

■:SMFC=LEF?CD,S&EFB=LEF?BD,

22

??S^EFC=S^EFBi

?*?5陰影==

2

**SAABC=6>

:*S陰影=3?

故答案為：3.

20.解：*：ADLBC,

???NAO8=NAOC=90°,

:?/HBD+/BHD=90°,

VZCAD=30°,AC=4,

：.CD=1AC^2,

2

\"BE1AC,

：.ZHBD+ZC=90a,

：.ZBHD=ZC,

VZABD=45°,

；.NBAD=45°,

：.BD=AD,

在△8?！焙汀鰽DC中，

，ZBHD=ZC

,ZBDH=ZADC>

BD=AD

:.△BDH經(jīng)AADC(A4S),

：.HD=CD=2,

故點H到BC的距離是2.

故答案為2.

21.解：\'AB=AC,ZA=50°,

.?.NAC8=/A8C=2(180°-50°)=65°,

2

?.?將△ABC折疊，使點4落在點8處，折痕為OE,ZA=50°,

/.ZAB￡=ZA=50°,

：.ZCBE=ZABC-ZABE=65°-50°=15°.

故答案為：15.

22.解：是8C邊上的垂直平分線，

：.BE=CE.

「△EDC的周長為24,

：.ED+DC+EC=24,①

:△ABC與四邊形AEZJC的周長之差為12,

(AB+AC+BC)-(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)-CAE+DC+AC)-DE=\2,

C.BE+BD-DE=\2,②

,：BE=CE,BD=DC,

①-②得，DE=6.

故答案為：6.

23.解：???正方形ABC。的邊長為4,對角線AC與BQ相交于點。，

：.ZBAC=45°,AB//DC,ZADC=90",

VZCAE=15°,

：.ZE=ZBAE=ZBAC-ZCAE=45°-15°=30°.

：在RtZXAQE中，NADE=90°,ZE=30°,

：.AE=2AD^S.

故答案為8.

24.解：設(shè)運動的時間為尤，

在△ABC中，AB=20cm,AC=\2cm,

點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點。從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速

度向點C運動，

當(dāng)也人2。是等腰三角形時，AP=AQ,

AP=20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4.

故答案為：4.

25.解：(1)'：ZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD^ZDAE-ACAD,

即NBA。=/CAE,

.?.△ABO之△ACE(SAS),

：.ZB=ZACE,

VCE//AB,

：.ZBAC=ZACE,

：.NBAC=NB,

：.AC=BC,

：.△ABC是等邊三角形，

AZBAC=ZDAE=ZACB=ZACE=60a,

.?.△OAE是等邊三角形，

AZAED=60°,

：.ZDEC=ISQ°-35°-60°-60°=25°,

故答案為：25；

(2)連接C￡,

"：ZBAC=a,AB=AC,

：.ZB=ZACB=1.(180°-a)=90°-A.a,

22

ZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ACAD,

即NA4Q=NCAE,

AAABD^AACE(SAS),

：.ZB=ZACE=90°--IQ,

2

：.ZDCE=2(90°-1.a)=180°-a,

2

VDE±BC,

：.ZCDE=90°,

???ZDEC=90°-ZDCE=a-90°.

圖2

26.證明：;尸、。兩點分別是邊AB和AC的垂直平分線與8c的交點，

：.PA=BP,QC=QA.（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）

■:BP=PQ=QC,

???在△AP。中，PQ=PA=QA（等量代換）

???△4PQ是等邊三角形.

???乙4。P=60°,

???在△AQC中，QC=QAf

：.ZC=ZQAC.

又ZAQP是aAQC的外角，

AZAQP=ZC+ZQAC=60°.

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

???NC=30°.

故答案為：BP,(垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等)，PA=QA,等邊,

QAC,C,QAC,30°.

27.(1)證明：VDB1BC,CF±AE,

：.ZDCB+ZD^ZDCB+ZAEC^90°.

：.ZD=ZAEC.

義:?NDBC=NECA=90°,

S.BC=CA,

在△OBC和△ECA中，

2D=NAEC

；ZDBC=ZECA=90°

BC=AC

:.△DBgXECk(MS).

：.AE=CD.

⑵解：'：/XCDB^/XAEC,

：.BD=CE,

；AE是5c邊上的中線，

AHD=EC=^BC=1AC,且AC=12cm.

22

BD=6cm.

28.(1)解：?.?四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

；./BEG=NAGC=48°,

由折疊的性質(zhì)得：NCEF=NCEF,

：.ZCEF=1.(180°-48°)=66°；

2

(2)證明：?.?四邊形ABC。是矩形，

.,.AD//BC,

:.NGFE=/CEF,

由折疊的性質(zhì)得：ZCEF=ZCEF,

：.ZGFE=ZCEF,

:.GE=GF,

即△EFG是等腰三角形.

29.解：(I)是NAOB的平分線上一點，EC±OB,EDLOA,

：.DE=CE,OE=OE,

：.Rt/\ODE^Rt/\OCE,

：.OD=OC,

.?.△QOC是等腰三角形，

是NAOB的平分線，

；.0E是C。的垂直平分線；

(2)；0E是N408的平分線，/AOB=60°,

AZAOE=ZBOE=?lO°,

:EC工OB,EDLOA,

：.OE=2DE,NODF=NOED=60°,

:.NEDF=30°,

：.DE=2EF,

：.OE=4EF.

30.(1)證明：：/AC8=/ADB=90°,M為邊AB的中點，

:.MC=1AB,MD=1AB,

22

：.MC=MD-,

(2)解：'：MC=MD=1.AB=AM=BM,

2

：.ZBAC=ZACM,NABD=NBDM,

：.ZBMC^2ZBAC,ZAMD^2ZABD