北郵數(shù)學(xué)物理方法1-1

數(shù)學(xué)物理方法李莉lili66@1教學(xué)目的

通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟悉和掌握波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和Laplace方程等典型數(shù)學(xué)物理方程的常用解法：分離變量法、行波法、積分變換法和Green函數(shù)法等等。熟悉和掌握Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù)等兩類特殊函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。通過對(duì)所討論問題的綜合分析，使學(xué)生逐步掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來解決實(shí)際物理問題的思路和具體步驟，為電磁場(chǎng)、微波理論等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及培養(yǎng)初步的科研能力打下基礎(chǔ)。2教材與參考書教材：《數(shù)學(xué)物理方法——理論、歷史與計(jì)算機(jī)》，郭玉翠，大連理工大學(xué)出版社《數(shù)學(xué)物理方法》第二版，谷超豪、李大潛、陳恕行等，高教出版社，2002年《實(shí)用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯曼，機(jī)械工業(yè)出版社，2005年學(xué)時(shí)32學(xué)時(shí)3對(duì)大家的要求按時(shí)上課課上記筆記，做標(biāo)記獨(dú)立完成作業(yè)4成績(jī)?cè)u(píng)定平時(shí)成績(jī)：30%考勤作業(yè)期末考試：70%數(shù)學(xué)物理方法：

數(shù)學(xué)物理方程+特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程 從物理學(xué)、工程科學(xué)與技術(shù)科學(xué)的實(shí)際問題中導(dǎo)出的，反映物理量之間關(guān)系的偏微分方程和積分方程。特殊函數(shù)與初等函數(shù)相對(duì)；初等函數(shù)：常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)5主要內(nèi)容第一章數(shù)學(xué)物理方程及其定解條件

§1.1基本方程的建立

§1.2定解條件

§1.3定解問題的提法

§1.4二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)第二章分離變量法

§2.1（1+1）維齊次方程的分離變量法

§2.2二維Laplace方程的定解問題

§2.3非齊次方程的解法

§2.4非齊次邊界條件的處理6第三章二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法本征值問題§3.1二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法§3.2Legendre（勒讓德）方程的級(jí)數(shù)解§3.3Bessel（貝塞爾）方程的級(jí)數(shù)解§3.4Sturm-Liouville（斯特姆--劉維爾）本征值問題第四章Bessel函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

§4.1Bessel方程的引出

§4.2Bessel函數(shù)的性質(zhì)

§4.3Bessel函數(shù)的應(yīng)用

*§4.4修正Bessel函數(shù)

*§4.5可化為Bessel方程的方程7第五章Legendre多項(xiàng)式

§5.1Legendre方程及Legendre多項(xiàng)式的引出

§5.2Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)

§5.3Legendre多項(xiàng)式的應(yīng)用

*§5.4關(guān)聯(lián)Legendre多項(xiàng)式及其應(yīng)用第六章行波法與積分變換法

§6.1一維波動(dòng)方程的D’Alember(達(dá)朗貝爾)公式

§6.2三維波動(dòng)方程的Poisson公式

§6.3Fourier積分變換法求定解問題

§6.4Laplace變換法解定解問題8第七章Green函數(shù)法

§7.1引言

§7.2函數(shù)的定義與性質(zhì)

§7.3Poisson方程的邊值問題

§7.4Green函數(shù)的一般求法

§7.5用電像法求某些特殊區(qū)域的Dirichlet-Green函數(shù)9教學(xué)基本要求掌握波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、Laplace方程的物理背景及其定解問題的提法；熟練掌握三類方程定解問題的解法：分離變量法，行波法、積分變換法等；熟悉Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。10物理過程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解物理解學(xué)習(xí)方法物理現(xiàn)象第1章數(shù)學(xué)物理方程及其定解條件

——典型方程和定解條件的導(dǎo)出11§1-1基本方程的建立基本方程是一類或幾類物理現(xiàn)象滿足的普遍規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)任務(wù)：將物理規(guī)律“翻譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即列出某類物理現(xiàn)象所滿足的數(shù)學(xué)物理方程常用的方法：微元法：在整個(gè)系統(tǒng)中分出一個(gè)小部分，分析鄰近部分與這一小部分的相互作用，通過對(duì)表達(dá)式的化簡(jiǎn)、整理，即得到所研究問題滿足的數(shù)學(xué)物理方程規(guī)律法：將物理規(guī)律（比如Maxwell方程組）用（容易求解的）數(shù)學(xué)物理方程表示出來統(tǒng)計(jì)法：通過統(tǒng)計(jì)規(guī)律建立所研究問題滿足的廣義數(shù)學(xué)物理方程，常用于經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。12§1.1.1

波動(dòng)方程均勻弦的微小橫振動(dòng)

設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，而且除了受不隨時(shí)間變化的張力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。下面研究弦作微小橫振動(dòng)的規(guī)律。所謂“橫向”是指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)，而且弦上的點(diǎn)沿垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)。所謂“微小”是指運(yùn)動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小，以致它們的高于一次方的項(xiàng)可以忽略不計(jì)。弦是均勻的，設(shè)其線密度為；13弧段兩端所受張力為和設(shè)弦上具有橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)，在時(shí)刻t的位置為M，其位移MN記為u。顯然，在振動(dòng)過程中，位移u是變量x和t的函數(shù)，即采用微元法來建立位移u滿足的方程：把弦上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)先看成小弧段的運(yùn)動(dòng)，然后再考慮小弧段趨于零的極限情況。在弦上任取一弧段，其長(zhǎng)度為ds，由于假定弦是柔軟的，所以在任意點(diǎn)處張力的方向總是沿著弦在該點(diǎn)的切線方向。是弦的線密度14現(xiàn)在考慮弧段在t時(shí)刻的受力和運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)牛頓第二定律，作用于弧段上任一方向上力的總和等于這段弧的質(zhì)量乘以該方向上的運(yùn)動(dòng)加速度。在x方向弧段受力總和為由于弦只做橫向運(yùn)動(dòng)，所以按照弦作微小振動(dòng)的假設(shè)，可知在振動(dòng)過程中，弦上M和M’點(diǎn)處切線的傾角都很小，即：15略去和的所有高于一次方的項(xiàng)時(shí)，就有由代入式便可近似得到：在u方向弧段受力總和為其中，是的重力。16當(dāng)時(shí)，小弧段在時(shí)刻t沿u方向的加速度近似為，小弧段的質(zhì)量為由牛頓第二定律有將近似式代入，17上式左端方括號(hào)的部分是由于x產(chǎn)生的變化引起的的改變量，可以用微分近似代替：所以式（*）變?yōu)椋?）或一般來說，張力較大時(shí)弦振動(dòng)的速度變化很快，即要比g大得多，所以可以把g略去?？傻茫浩渲校@就是均勻弦的橫振動(dòng)所滿足的泛定方程。它是一種波動(dòng)方程。由于在空間上是一維的，故稱一維波動(dòng)方程。18其中，，表示t時(shí)刻單位質(zhì)量的弦在x點(diǎn)所受的外力。如果均勻弦上沿位移方向還經(jīng)受外力場(chǎng)作用，單位長(zhǎng)度弦上所受之力，即力密度為F(x,t)。則在方程左端還應(yīng)加上一項(xiàng)外力。受迫振動(dòng)則方程組應(yīng)該變?yōu)椋褐貜?fù)以上的推導(dǎo)過程，可得有外力作用時(shí)弦的振動(dòng)方程為：（**）式（**）稱為弦的受迫振動(dòng)方程。19包括有非零自由項(xiàng)的方程稱為非齊次方程。自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程。方程（*）為一維齊次波動(dòng)方程，方程（**）為一維非齊次波動(dòng)方程。方程（*）和方程（**）的差別在于方程（**）的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)u無關(guān)的項(xiàng)f(x,t)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)。（*）（**）20桿的質(zhì)量密度為，橫截面為S（常數(shù)），長(zhǎng)度為均勻彈性桿的微小縱振動(dòng)一根彈性桿中任意小段受外界影響發(fā)生縱振動(dòng)，必使其相鄰部分發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短。最終，桿上任意小段的縱振動(dòng)必然傳播到整根桿。這種振動(dòng)的傳播就是波。彈性模量E：桿伸長(zhǎng)單位長(zhǎng)度所需的力x點(diǎn)在t時(shí)刻的縱向位移為u(x,t)。外力密度為F(x,t)，應(yīng)力：桿在伸縮過程中各點(diǎn)相互之間單位截面上的作用力：桿上x點(diǎn)在t時(shí)刻的應(yīng)力。應(yīng)變：桿的相對(duì)伸長(zhǎng)21x點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)椋喝鐖D，AB段的相對(duì)伸長(zhǎng)是：由于振動(dòng)是微小的，可認(rèn)為不超過桿的彈性限度由牛頓第二定律，可得[x,x+△x]段的運(yùn)動(dòng)方程為：虎克（Hooke）定律：應(yīng)力=彈性模量*應(yīng)變22將虎克定律代入上式得：將函數(shù)在處展開為泰勒級(jí)數(shù)并取前兩項(xiàng)，得：其中，滿足23以除上式兩端，得：令，得：記方程變?yōu)椋骸痪S波動(dòng)方程24傳輸線方程對(duì)于直流電或低頻的交流電，基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中電流相等。但對(duì)于較高頻率的（指頻率還沒有高到能顯著地輻射電磁波的情況），電路中的導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。考慮一來一往的高頻傳輸線（具有分布參數(shù)的導(dǎo)體）在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中，電流通過的情況，可以用電流強(qiáng)度I與電壓V來描述，此處I與V都是的函數(shù),記作與