第67講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

第67講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．2、弦長公式設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3、中點弦所在直線的斜率圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點的弦所在直線的斜率為k，其中k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦的端點坐標(biāo)．圓錐曲線方程直線斜率橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)k＝－eq\f(b2x0,a2y0)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)k＝eq\f(b2x0,a2y0)拋物線：y2＝2px(p＞0)k＝eq\f(p,y0)1、（2023?甲卷（文））已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．2、（2022?乙卷（文））設(shè)為拋物線的焦點，點在上，點，若，則A．2 B． C．3 D．【答案】【解析】為拋物線的焦點，點在上，點，，由拋物線的定義可知，不妨在第一象限），所以．故選：．3、（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點，與軸、軸分別相交于，兩點，且，，則的方程為．【答案】．【解析】設(shè)，，，，線段的中點為，由，，相減可得：，則，設(shè)直線的方程為：，，，，，，，，，，解得，，，化為：．，，解得．的方程為，即，故答案為：．4、（2022?甲卷（文））記雙曲線的離心率為，寫出滿足條件“直線與無公共點”的的一個值．【答案】，內(nèi)的任意一個值都滿足題意）．【解析】雙曲線的離心率為，，雙曲線的漸近線方程為，直線與無公共點，可得，即，即，可得，滿足條件“直線與無公共點”的的一個值可以為：2．故答案為：，內(nèi)的任意一個值都滿足題意）．5、（多選題）（2023?新高考Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為的準(zhǔn)線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【答案】【解析】直線過拋物線的焦點，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于，兩點，直線方程代入拋物線方程可得：，，所以，所以不正確；，的中點的橫坐標(biāo)：，中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正確．故選：．6、（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．【答案】【解析】點在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，選項錯誤；由于，，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故直線與拋物線相切，選項正確；根據(jù)對稱性及選項的分析，不妨設(shè)過點的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯(lián)立，消去并整理可得，則，，，，由于等號在時才能取到，故等號不成立，選項正確；，選項正確．故選：．7、（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．【答案】【解析】如圖，，，，且，，，由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得，則，則，，，故正確；，，，故錯誤；，故正確；，，，，，，，，均為銳角，可得，故正確．故選：．8、（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，點，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】（1）由題意可得，，解得，，因此的方程為，（2）解法一：設(shè)直線的方程為，，將直線的方程代入可得，△，，，，，設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，兩式相減可得，，，解得，兩式相加可得，，，解得，，其中為直線的斜率；若選擇①②：設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，，，此時點的坐標(biāo)滿足，解得，，為的中點，即；若選擇①③：當(dāng)直線的斜率不存在時，點即為點，此時不在直線上，矛盾，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，此時，，由于點同時在直線上，故，解得，因此．若選擇②③，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，則，解得，，同理可得，，設(shè)的中點，，則，，由于，故在的垂直平分線上，即點在直線上，將該直線聯(lián)立，解得，，即點恰為中點，故點在直線上．（2）解法二：由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②③，或選由②③①：由②成立可知直線的斜率存在且不為0．若選①③②，則為線段的中點，假設(shè)的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點，此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，從而，已知不符．綜上，直線的斜率存在且不為0，直線的斜率為，直線的方程為．則條件①在直線上，等價于，兩漸近線的方程合并為，聯(lián)立方程組，消去并化簡得：，設(shè)，，，，線段中點為，，則．，設(shè)，，則條件③等價于，移項并利用平方差公式整理得：，，，，，，由題意知直線的斜率為，直線的斜率為，由，，，直線的斜率，直線，即，代入雙曲線的方程為，即中，得，解得的橫坐標(biāo)為，同理，，，，條件②等價于，綜上所述：條件①在上等價于，條件②等價于，條件③等價于．選①②③：由①②解得，③成立；選①③②：由①③解得：，，，②成立；選②③①：由②③解得：，，，①成立．9、（2023?甲卷（文））已知直線與拋物線交于，兩點，．（1）求；（2）設(shè)為的焦點，，為上兩點，且，求面積的最小值．【解析】設(shè)，，，，聯(lián)立，消去得：，，，△，，，，，，，，（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線，，，，由，可得，所以，，△，因為，所以，即，即，將，，代入得，，所以，且，解得或．設(shè)點到直線的距離為，所以，，所以的面積，又或，所以當(dāng)時，的面積1、直線y＝kx－k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定【答案】A【解析】直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1，1).又點(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．2、過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】C【解析】結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，直線y＝1，過點(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0).3、已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(eq\r(2)，0)是橢圓C的右焦點，過點F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________________．【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,\f(2b2,a)＝2，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(2)，))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.4、經(jīng)過橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設(shè)O為坐標(biāo)原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值為________．【答案】－eq\f(1,3)【解析】依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1，0)時，其方程為y＝x－1，代入橢圓方程消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝eq\f(4,3)，所以兩個交點坐標(biāo)分別為(0，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3).同理，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值為－eq\f(1,3).考向一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1已知直線l：y＝kx＋2，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.試問當(dāng)k取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋4y2＝4，))消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，依題意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)．(1)當(dāng)Δ>0，即k<－eq\f(\r(,3),2)或k>eq\f(\r(,3),2)時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解，這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．(2)當(dāng)Δ＝0，即k＝±eq\f(\r(,3),2)時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解，這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．(3)當(dāng)Δ<0，即－eq\f(\r(,3),2)<k<eq\f(\r(,3),2)時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解，這時直線l與橢圓C沒有公共點．變式1、若直線l：y＝kx＋2與曲線C：y2＝x恰好有一個公共點，求實數(shù)k的取值集合．【解析】因為直線l與曲線C只有一個公共點，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝x))有唯一一組實數(shù)解，消去y并整理，得k2x2＋(4k－1)x＋4＝0.①當(dāng)k＝0時，解得x＝4，這時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2；))②當(dāng)k≠0時，Δ＝(4k－1)2－4×4k2＝－8k＋1，令Δ＝0，解得k＝eq\f(1,8)，此時原方程組有唯一解．綜上，實數(shù)k的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).變式2、若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】(－eq\f(\r(15),3)，－1)【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6，))消去y并整理，得(1－k2)x2－4kxA(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,k<0，,Δ＝16k2－4(1－k2)×(－10)＞0，,x1＋x2＝\f(4k,1－k2)＞0，,x1x2＝\f(－10,1－k2)＞0，))解得－eq\f(\r(15),3)＜k＜－1，故實數(shù)k的取值范圍是(－eq\f(\r(15),3)，－1).方法總結(jié)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標(biāo)．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，要注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況．(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．考向二圓錐曲線的弦長問題例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0時，AB＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若AB＋CD＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．【解析】(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知AB＋CD＝7，不滿足條件；②當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1).將直線AB的方程代入橢圓方程中，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以AB＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\f(12(k2＋1),3＋4k2).同理，CD＝eq\f(12(k2＋1),3k2＋4)，所以AB＋CD＝eq\f(12(k2＋1),3＋4k2)＋eq\f(12(k2＋1),3k2＋4)＝eq\f(84(k2＋1)2,(3＋4k2)(3k2＋4))＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.變式1、已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與拋物線C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若AF＋BF＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求AB的長．【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由拋物線焦半徑公式可知AF＋BF＝x1＋x2＋eq\f(3,2)＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,y2＝3x，))消去y并整理，得9x2＋(12m－12)x＋4m2＝0，則Δ＝(12m－12)2－144m2>0，解得m<eq\f(1,2)，所以x1＋x2＝－eq\f(12m－12,9)＝eq\f(5,2)，解得m＝－eq\f(7,8)，所以直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8)，即12x－8y－7＝0.(2)設(shè)P(t，0)，直線l的方程為x＝eq\f(2,3)y＋t，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y＋t，,y2＝3x，))消去x并整理，得y2－2y－3t＝0，則Δ＝4＋12t>0，解得t>－eq\f(1,3)，所以y1＋y2＝2，y1y1＝－3t.因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，所以y2＝－1，y1＝3，所以y1y2＝－3，則AB＝eq\r(1＋\f(4,9))·eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\f(\r(13),3)×eq\r(4＋12)＝eq\f(4\r(13),3).方法總結(jié);(1)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長．(2)涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算．(3)涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．考向三求圓錐曲線的中點弦例3、(1)已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)的一點，經(jīng)過點P引一條弦交橢圓于A，B兩點，且此弦被點P平分，則此弦所在直線的方程為________；【答案】x＋2y－3＝0【解析】方法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k(k－1),2k2＋1).又因為x1＋x2＝2，所以eq\f(4k(k－1),2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)，故此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1①，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1②，由①－②，得eq\f((x1＋x2)(x1－x2),4)＋eq\f((y1＋y2)(y1－y2),2)x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，所以此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.(2)已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線的方程為________．【答案】x2＝3y【解析】設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y并整理，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，所以所求拋物線的方程是x2＝3y.變式1、以A(2，1)為中點的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為________.【答案】4x－y－7＝0【解析】設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P1，P2在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2，,2xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)＝2，))∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4.∴以A(2，1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y－7＝0，,2x2－y2＝2，))得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0方法總結(jié)：(1)處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時，常用“點差法”，步驟如下：①設(shè)點：設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)；②代入：代入圓錐曲線方程；③作差：兩式相減，再用平方差公式把上式展開；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解．(2)“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．由于“點差法”具有不等價性，所以在使用時要考慮判別式Δ是否為正數(shù)考向四圓錐曲線中的綜合性問題例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過點(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點T(2，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在x軸的下方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.【解析】(1)因為橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過點(b，2e)，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(4e2,b2)＝1.因為e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,8)，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(c2,2b2)＝1.因為a2＝b2＋c2，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(8－b2,2b2)＝1，整理，得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍去)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)方法一：分別過點A，B作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，再過點B作BM⊥AA′，垂足為M.設(shè)TB＝m，由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))知，TA＝2m.由(1)知T為橢圓C的焦點，所以BB′＝eq\f(m,e)，AA′＝eq\f(2m,e)，所以AM＝eq\f(m,e)＝eq\r(2)m.在Rt△ABM中，BM＝eq\r(9m2－2m2)＝eq\r(7)m，所以tan∠BAM＝eq\f(\r(7)m,\r(2)m)＝eq\f(\r(14),2)，故直線l的斜率k為eq\f(\r(14),2).方法二：設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，點A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))知，y1＝－2y2，①依題意，得k≠0，不妨設(shè)m＝eq\f(1,k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，則y1＋y2＝－eq\f(4m,m2＋2)，②y1y2＝eq\f(－4,m2＋2)，③聯(lián)立①②③，解得m2＝eq\f(2,7)，即k＝eq\f(\r(14),2)或k＝－eq\f(\r(14),2)(舍去).故直線l的斜率k為eq\f(\r(14),2).變式1、如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在x軸的下方).若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.【解析】設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，點A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，知y1＝－2y2.①依題意，得k≠0，不妨設(shè)m＝eq\f(1,k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，所以y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋2)，②y1y2＝eq\f(－7,m2＋2)，③聯(lián)立①②③，解得m2＝14，即k＝－eq\f(\r(14),14)(舍去)或k＝eq\f(\r(14),14)，故直線l的斜率k為eq\f(\r(14),14).1、（2022年江蘇省高三模擬試卷）已知拋物線在點處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】：因為，所以時，，則，所以在點處的切線的斜率為，即雙曲線的一條漸近線的斜率為，所以曲線C的離心率為，故選：C2、（2022年湖南省長沙市第一中學(xué)高三模擬試卷）（多選題）已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的準(zhǔn)線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為11【答案】BCD【解析】拋物線：，即，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；設(shè)點，所以，所以，故C正確；如圖過點作準(zhǔn)線，交于點，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，故D正確；故選：BCD3、（2022年江蘇省泰州市高三模擬試卷）（多選題）已知雙曲線，過其右焦點F的直線l與雙曲線交于A，B兩個不同的點，則下列判斷正確的為（）A.的最小值為B.以F為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C.滿足的直線有3條D.若A，B同在雙曲線的右支上，則直線l的斜率答案：BD【解析】選項A.當(dāng)直線l的斜率為0時，于A，B兩點分別為雙曲線的頂點，則又，故選項A不正確.選項B.,則以F為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選項B正確.選項C.當(dāng)A，B兩點同在雙曲線的右支時（通經(jīng)為最短弦），則，此時無滿足條件的直線.當(dāng)A，B兩點分別在雙曲線一支上時（實軸為最短弦），則，此時無滿足條件的直線.故選項C不正確.選項D.過右焦點F分別作兩漸近線的平行線，如圖，將繞焦點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合的過程中，直線與雙曲線的右支有兩個焦點.此時直線l的斜率或,故選項D正確故選：BD4、(2022·南京9月學(xué)情【零模】)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點分別為A，B．F是橢圓的右焦點，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ