考點(diǎn)5 函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的奇偶性與周期性

考點(diǎn)5函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的奇偶性與周期性1.(2022·北京高考·T4)已知函數(shù)f(x)=11+2x,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)=1【命題意圖】考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性,中檔題.【解析】選C.因?yàn)閒(x)=11+2x,所以f(-x)=11+2-x=2x2x+1,f(2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則∑k=122f(k)=(A.-3B.-2C.0D.1【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力.【解析】選A.因?yàn)閒(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),令y=1得,f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),從而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6,因?yàn)閒(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一個(gè)周期內(nèi)的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4,所以∑k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-13.(2022·全國(guó)甲卷文科)(同2022·全國(guó)甲卷理科T5)函數(shù)y=3x-3-xcosx在區(qū)間-【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷.【解析】選A.令fx=3x-3-xcosx則f-x=3-x-3xcos-x=-(3x-所以fx為奇函數(shù),排除B,D;又當(dāng)x∈0,π2時(shí),3x-3-x>0,cos所以fx>0,排除C.4.(2022·全國(guó)乙卷理科·T12)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),g(2)=4,則∑k=122f(k)=(A.-21 B.-22 C.-23 D.-24【命題意圖】考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力.【解析】選D.因?yàn)閥=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),所以g(2-x)=g(x+2),因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.因?yàn)間(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,聯(lián)立得,g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱(chēng),因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,所以g(3)=6,因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1.所以∑k=122f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3-10-10【誤區(qū)警示】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.5.(2022·全國(guó)乙卷文科·T16)若f(x)=lna+11?x+b是奇函數(shù),則a=【命題意圖】考查函數(shù)奇偶性的定義及其內(nèi)涵,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lna+11?由a+11?x≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,所以x≠±1,所以a+1a=-1,解得:a=-12,即函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-再由f(0)=0可得,b=ln2.即f(x)=ln-12+11?x+ln2=ln1+x1?x,在定義域內(nèi)滿(mǎn)足答案:-126.(2022·北京高考·T14)設(shè)函數(shù)f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x【命題意圖】考查分段函數(shù),函數(shù)單調(diào)性和最值,圖像的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng).【解析】由已知,函數(shù)最值與單調(diào)性有關(guān),故可以考慮以a=0,2為分界點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì).①若a<0,則對(duì)于第一段f(x)=-ax+1,x<a,單調(diào)遞增,有f(x)∈(-∞,-a2+1),所以f(x)沒(méi)有最小值,不符合題意;②若a=0,則第一段為f(x)=1,x<0;第二段為f(x)=(x-2)2,x≥0,由二次函數(shù)性質(zhì)得f(x)∈[0,+∞).所以f(x)的值域?yàn)閇0,+∞).第一個(gè)空可以填0.③若0<a≤2,則對(duì)于第一段f(x)=-ax+1,x<a,單調(diào)遞減,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段為f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函數(shù)性質(zhì)得f(x)∈[0,+∞).“f(x)存在最小值”,等價(jià)于-a2+1≥0,解得0<a≤1.④若a>2,對(duì)于第一段f(x)=-ax+1,x<a,單調(diào)遞減,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段為f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函數(shù)性質(zhì)得f(x)∈[(a-2)2,+∞).“f(x)存在最小值”,等價(jià)于-a2+1≥(a-2)2,此不等式無(wú)解.綜上,a的取值范圍是[0,1],所以a的最大值是1.答案:0(答案不唯一)17.(2022·浙江高考數(shù)學(xué)科·T14)(6分)已知函數(shù)f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x-1,x>1,則ff12=;若當(dāng)x∈[a,b【命題意圖】本題考查函數(shù)及分段函數(shù)的概念、分段函數(shù)的求值及最值.意在考查考生的運(yùn)算求解能力.【解析】因?yàn)閒12=-122+2=74,所以ff12=f74=74+174-1=3728.當(dāng)x≤1時(shí),由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1,當(dāng)x>1時(shí),由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x-1≤3,所以1<x≤2+3,1≤f(x)≤3等價(jià)于-1≤x≤2+3,所以[a,b]?[-1,2+3],所