考點46 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

考點46隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型選擇題1.(2018·全國卷II高考理科·T8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是 ()A.112 B.114 C.115 【命題意圖】本題考查了概率的有關(guān)概念以及數(shù)學(xué)建模能力.【解析】選C.不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個,其中和為30的有7+23,11+19,13+17.所以隨機(jī)選取兩個數(shù),和為30的概率為3C1022.(2018·全國卷II高考文科·T5)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為 ()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【命題意圖】本題考查古典概型的有關(guān)知識,難度較小.【解析】選D.用1,2代表兩名男同學(xué),A,B,C代表三名女同學(xué),則選中的兩人可以為12,1A,1B,1C,2A,2B,2C,AB,AC,BC共10種,全是女同學(xué)有AB,AC,BC共3種,所以概率P=310=0.33.(2018·全國Ⅲ高考文科·T5)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為 ()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【命題意圖】考查統(tǒng)計與概率知識中的事件的運算,意在考查對立事件、概率的加法公式,培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用能力、邏輯推理能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】選B.方法一:畫Venn圖,如圖設(shè)只用非現(xiàn)金支付(不用現(xiàn)金支付)的概率為x,則0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用現(xiàn)金支付的概率為0.4.方法二:記“用現(xiàn)金支付”為事件A,“用非現(xiàn)金支付”為事件B,則“只用非現(xiàn)金支付(不用現(xiàn)金支付)”為事件B-(A∩B),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.4.(2018·全國卷I高考理科·T10)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個圖形中隨機(jī)取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 ()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3【解析】選A.方法一:取AB=AC=2,則BC=22,所以區(qū)域Ⅰ的面積為SⅠ=12×2×2=2,區(qū)域Ⅲ的面積為SⅢ=12·π(2)2-2=π-2,區(qū)域Ⅱ的面積為SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p方法二:設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,則有b2+c2=a2,從而可以求得△ABC的面積為SⅠ=12bc黑色部分的面積為SⅡ=π2·c22+ππ2·a22=π2·c2+b2-a其余部分的面積為SⅢ=π2·a22-12bc=π所以有SⅠ=SⅡ,根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到p1=p2.二、填空題5.(2018·江蘇高考·T6)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為.

【解析】假設(shè)3名女生為a,b,c,2名男生為d,e,恰好選中2名女生的情況有:選a和b;a和c;b和c三種,總情況有a和b;a和c;a和d;a和e;b和c;b和d;b和e;c和d;c和e;d和e這10種.兩者相比即為答案310答案:3三、解答題6.(本小題滿分13分)(2018·天津高考文科·T15)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動.(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(Ⅱ)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.【命題意圖】本題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.【解題指南】(Ⅰ)利用分層抽樣原則,直接求解;(Ⅱ)(i)依據(jù)題設(shè)條件逐個列舉;(ii)利用古典概型的概率公式,結(jié)合題設(shè)條件求解.【解析】(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.(ii)由(Ⅰ),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲