北京市朝陽區(qū)工大附高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的）1.若圓與圓關(guān)于原點(diǎn)對稱,則圓的方程為（）．A。B。C.D?！敬鸢浮緼【解析】由題意可知圓的圓心（﹣2,1),半徑為1，關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓心（2，﹣1），半徑也是1，所求對稱圓的方程：故選A．點(diǎn)睛：求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．2。已知方程表示雙曲線,則的取值范圍是（）．A。B。C。D.或【答案】B【解析】∵方程表示雙曲線，∴∴故選：B3。設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是，則點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離是（）．A。B。C.D?！敬鸢浮緽【解析】試題分析：先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離求得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)而利用拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而求得答案．解:拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=﹣2，∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,∴到準(zhǔn)線的距離是4+2=6，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是6故選B考點(diǎn):拋物線的定義．4。圓與圓的位置關(guān)系是（)．A。外離B。外切C.相交D.內(nèi)切【答案】B【解析】∵圓的圓心,半徑，圓的圓心，半徑，，∴圓與圓外切．故選：．5。若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的側(cè)面積為（）．A.B。C.D.【答案】A【解析】根據(jù)幾何體的三視圖,得:該幾何體是底面邊長為，高為的正三棱柱；∵,∴，∴這個(gè)正三棱柱的側(cè)面積為：．故選:．點(diǎn)睛:1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.6.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為()．A。B。C.D。【答案】B【解析】由離心率為,可知，∴．∴漸近線方程為，故選．7。橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到橢圓中心的距離為（）．A.B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】∵橢圓方程為，∴，可得，∵中，、分別為和的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)在橢圓上,可得,∴，由此可得,故選．8.設(shè)是曲線上任意一點(diǎn),則的取值范圍是（）．A.B.C。D.【答案】C【解析】∵曲線方程是，即,故曲線是一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)是，半徑是，關(guān)于軸上下對稱,設(shè)圓心為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，過作直線與圓相切于（取切點(diǎn)在第三象限），直線與軸的夾角為，則，∵，，是直角三角形，∴，故，∴，∵曲線是一個(gè)圓，關(guān)于軸對稱，∴時(shí),直線與直線關(guān)于軸對稱，此時(shí)切點(diǎn)在第二象限，∴，故的取值范圍是．故選．9。已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)，，在拋物線上，且,則有（）．A。B.C。D。【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn),在拋物線上，且，所以，即，故選C?？键c(diǎn)：1．拋物線的定義；2．焦半徑公式．【思路點(diǎn)睛】首先利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即在拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；然后再把等式兩邊同時(shí)加整理成進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可得．10。離心率為黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)是優(yōu)美橢圓,、分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，是它的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，則等于（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴，在三角形中有,，,，∴，，∴，所以等于．故選．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b，c的方程或不等式,再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分．把答案填在題中橫線上．11。若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則__________；準(zhǔn)線方程為__________．【答案】(1）。2（2)。【解析】因?yàn)閽佄锞€方程為y2=2px,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0)，則p=2，準(zhǔn)線方程為x=-1。12.棱長為的正方體外接球的表面積是__________．【答案】【解析】試題分析：由題意得，正方體與外接球之間滿足正方體的對角線長即為球的直徑，所以可得,即，所以球的表面積為.考點(diǎn)：球的組合體及球的表面積公式。13。一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的__________．(填入所有可能的幾何體前的編號)①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱【答案】①②③⑤【解析】14。已知是直線上的動(dòng)點(diǎn),，是圓的兩條切線,，是切點(diǎn)，是圓心,那么圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________．【答案】2【解析】設(shè)與平行的直線，且與圓相切,∴，∴或（舍），∴．15.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心,為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直,則離心率__________．【答案】【解析】如圖，切線、互相垂直，又半徑垂直于，所以是等腰直角三角形，．解得．則離心率．【答案】（1).16（2）.【解析】根據(jù)橢圓的定義,，∵，∴的周長為；的面積的面積的面積（、在軸的上下兩側(cè)）,又的面積，∴，故答案為，．三、解答題（本大題共4個(gè)小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17。已知⊙與直線相切．(Ⅰ）求半徑．(Ⅱ）若點(diǎn)，，點(diǎn)是⊙上的動(dòng)點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ)【解析】試題分析：(1）圓心到直線的距離求半徑．（2）設(shè)，則是定值試題解析：（Ⅰ)圓心到直線的距離，．(Ⅱ)因?yàn)樵趫A上，所以可設(shè)，，是定值．18。已知點(diǎn)，⊙．(Ⅰ)當(dāng)直線過點(diǎn)且與圓心的距離為時(shí),求直線的方程．(Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與⊙交于，兩點(diǎn)，且，求以線段為直徑的圓的方程．【答案】（Ⅰ)或．（Ⅱ)【解析】試題分析：（1）把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后，分兩種情況①斜率k存在時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,根據(jù)k的值和P的坐標(biāo)寫出直線l的方程即可；②當(dāng)斜率不存在時(shí)顯然得到直線l的方程為x=2；（2）由題意易得：，從而，得到以線段為直徑的圓的方程．試題解析：(Ⅰ)由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,①設(shè)直線的斜率為（存在），則方程為，即,又⊙的圓心為，，由,所以直線方程為，即．②當(dāng)不存在時(shí)，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．(Ⅱ)，∴，∴．19.已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．(Ⅰ)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．【答案】（Ⅰ)，或（Ⅱ)【解析】試題分析：（1）將直線的點(diǎn)斜式方程（其中斜率為參數(shù)）代入橢圓方程,并設(shè)出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo),消去Y后，可得一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理(一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）易得A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，再由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,，構(gòu)造方程，即可求出直線的斜率,進(jìn)而得到直線的方程．（2）由M點(diǎn)的坐標(biāo),我們易給出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后代入平面向量數(shù)量集公式，結(jié)合韋達(dá)定理(一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）,不難不求出的值．試題解析:（Ⅰ)依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入，消去整理得，．設(shè)，,則，由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，解得，適合（）．所以直線的方程為，或．（Ⅱ）①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（I)知，．(），所以，．將(）代入,整理得：，．②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為、，此時(shí)亦有．綜上，．點(diǎn)睛：與直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的參數(shù)范圍問題，常采用解方程組的思想方法，轉(zhuǎn)化為判別式進(jìn)行；與向量數(shù)量積有關(guān)的問題，常常利用韋達(dá)定理，以整體代入的方法求解，這樣可以避免求交點(diǎn)，使運(yùn)算過程得到簡化．20。已知橢圓的短軸長為，且與拋物線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）求線段的長度的最小值．(3)在線段的長度取得最小值時(shí)，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）(2)（3）或【解析】(I）由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為,則,又．由，可得．故橢圓的方程為．…………4分（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，且,故可設(shè)直線的方程為,從而．由得．………………6分設(shè)，則．所以，從而．即又，則直線的斜率為．由得所以．故．又，．