第6節(jié) 雙曲線-高考數(shù)學(xué)備考資料

第6節(jié)雙曲線考試要求1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)【知識(shí)梳理】1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①若a<c，則集合P為雙曲線；②若a＝c，則集合P為兩條射線；③若a>c，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2[常用結(jié)論]1.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq\f(2b2,a).2.離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.若漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).4.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.5.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.6.焦點(diǎn)三角形的面積：P為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq\f(b2,tan\f(θ,2)).【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(4)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.(3)當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時(shí)則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.2.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________.答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1解析設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.3.(選修一P121T1改編)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，－1)，且對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_(kāi)___________.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，把點(diǎn)A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.4.(2020·北京卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________.答案(3，0)eq\r(3)解析由eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0).雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(3),\r(6))x，即x－eq\r(2)y＝0，所以焦點(diǎn)(3，0)到漸近線的距離為d＝eq\f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq\r(3).考點(diǎn)突破·題型剖析考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓答案B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|MF2|＝2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為_(kāi)_______.答案2eq\r(3)解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).感悟提升在焦點(diǎn)三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.訓(xùn)練1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______________.答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).(2)(2023·揭陽(yáng)模擬)雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，－eq\r(7))，點(diǎn)A(eq\r(2)，0)，點(diǎn)P為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí)，△PAF周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______.答案10解析由已知得雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周長(zhǎng)為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，當(dāng)F′，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值為|AF′|＝3，故△PAF的周長(zhǎng)的最小值為10.考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)(2023·泉州質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2eq\r(5)，點(diǎn)P(2，1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1答案B解析由題可知c＝eq\r(5)，故a2＋b2＝5，因?yàn)镻(2，1)在C的一條漸近線上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b＝1，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)(2023·濰坊調(diào)研)已知雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(5),2)，且該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2eq\r(5))，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________.答案eq\f(y2,4)－x2＝1解析由題意，知e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，解得a＝2b，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵點(diǎn)(2，2eq\r(5))在該雙曲線上，∴eq\f(4,a2)－eq\f(20,b2)＝1，即eq\f(4,4b2)－eq\f(20,b2)＝1，此方程無(wú)解；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵點(diǎn)(2，2eq\r(5))在該雙曲線上，∴eq\f(20,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(20,4b2)－eq\f(4,b2)＝1，解得b＝1，∴a＝2，∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.感悟提升1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解.2.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).訓(xùn)練2(1)與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2，1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.答案eq\f(x2,2)－y2＝1解析法一橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±eq\r(3)，0).設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)P(2，1)，所以eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,2)－y2＝1.法二設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4－λ)＋eq\f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，將點(diǎn)P(2，1)的坐標(biāo)代入可得eq\f(4,4－λ)＋eq\f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)－y2＝1.(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________.答案eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1解析設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.考點(diǎn)三雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)角度1漸近線例3(1)(2023·許昌模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(5)，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______.答案y＝±2x解析設(shè)雙曲線C的焦半距為c，則由題可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，))則eq\f(a2＋b2,a2)＝5，即eq\f(b2,a2)＝4，eq\f(b,a)＝2，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x.(2)(2023·重慶診斷)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線C及其漸近線在第一象限分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______________.答案y＝±eq\f(\r(3),3)x解析由題意，將x＝c分別與eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，又F(c，0)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,2a)))，∴b＝eq\f(c,2)，eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,c2－b2))＝eq\f(\r(3),3)，∴漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x.角度2離心率例4(1)(2023·沈陽(yáng)調(diào)研)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(a，b)，若|OA|＝|FA|，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案A解析由題知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝eq\f(1,2)c，所以雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.(2)(2023·煙臺(tái)調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_(kāi)_______.答案(1，2)解析在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|，又點(diǎn)P是雙曲線C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝eq\f(c,a)＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.感悟提升1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.2.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.訓(xùn)練3(1)(2023·武漢調(diào)研)如圖，已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，平行于x軸的直線l分別交C的漸近線和右支于點(diǎn)A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，則C的漸近線方程為_(kāi)_______.答案y＝±x解析依題意，設(shè)B(m，n)，F(xiàn)(c，0)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝n，,y＝\f(b,a)x，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,b)，n)).∵∠OAF＝90°，∴kAF·kOA＝－1，即eq\f(n,\f(an,b)－c)·eq\f(b,a)＝－1，∴n＝eq\f(ab,c)，又B(m，n)在雙曲線C上，可得eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，把n＝eq\f(ab,c)代入，得m2＝eq\f(a2c2＋a4,c2).由∠OBF＝∠OFB，得|OB|＝|OF|，∴m2＋n2＝c2，即eq\f(a2c2＋a4,c2)＋eq\f(a2b2,c2)＝c2，∴a＝b，∴C的漸近線方程為y＝±x.(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以AB為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一、二象限分別交于P，Q兩點(diǎn)，若OQ∥PF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.答案eq\r(2)解析如圖所示，∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.又∵雙曲線的漸近線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴∠FOP＝∠AOQ，則∠OFP＝∠FOP，∴△OPF為等腰三角形，作PM⊥OF，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，交漸近線第一象限部分于點(diǎn)D，則Rt△OMP∽R(shí)t△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b，|OM|＝eq\f(1,2)|OF|＝eq\f(1,2)c，|OP|＝a，|PM|＝eq\r(|OP|2－|OM|2)＝eq\r(a2－\f(c2,4))，由相似三角形的性質(zhì)可得eq\f(|BD|,|OB|)＝eq\f(|MP|,|OM|)，∴eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\f(\r(a2－\f(c2,4)),\f(c,2))，整理可得c4＝4a4，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).考點(diǎn)四雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5(1)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝36的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線C右支上(頂點(diǎn)除外)任意一點(diǎn)，若∠F1AF2的角平分線與以AF1為直徑的圓交于點(diǎn)B，則△BF1F2的面積的最大值為()A.18eq\r(2) B.18eq\r(3)C.36eq\r(2) D.36eq\r(3)答案C解析由題可知，C的實(shí)軸長(zhǎng)2a＝12，|F1F2|＝12eq\r(2).如圖，延長(zhǎng)AF2，F(xiàn)1B交于點(diǎn)D，∵點(diǎn)B在以AF1為直徑的圓上，∴AB⊥F1B，又AB為∠F1AF2的角平分線，∴|AF1|＝|AD|，B為F1D的中點(diǎn).連接OB，則OB是△DF1F2的中位線.由雙曲線的定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝12，故|F2D|＝|AD|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝12，∴|OB|＝eq\f(1,2)|F2D|＝6，故點(diǎn)B的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，6為半徑的圓，軌跡方程為x2＋y2＝36.顯然，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，6)或(0，－6)時(shí)，△BF1F2的面積取得最大值，最大值S＝eq\f(1,2)|F1F2|×6＝eq\f(1,2)×12eq\r(2)×6＝36eq\r(2).(2)(2022·上海春季高考)已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)，任取雙曲線Γ右支上兩個(gè)不相同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案[1，＋∞)解析設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，如圖，則P3(x2，－y2)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝x1x2－y1y2＞0，即eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＞0恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，∴∠MON≤90°，∴雙曲線Γ的其中一條漸近線y＝eq\f(1,a)x的斜率eq\f(1,a)≤1，又a＞0，∴a≥1，即a的取值范圍是[1，＋∞).感悟提升1.雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及知識(shí)面較寬，如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、對(duì)稱(chēng)性、漸近線、離心率等多方面的知識(shí)，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意與平面幾何知識(shí)的聯(lián)系.2.與雙曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解.(2)若條件中沒(méi)有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來(lái)解決.訓(xùn)練4(1)(2023·長(zhǎng)沙適應(yīng)性考試)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝eq\r(3)x有交點(diǎn)，則其離心率的取值范圍是()A.(2，＋∞) B.(1，2]C.(1，2) D.[2，＋∞)答案A解析由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，這條漸近線的斜率應(yīng)大于直線y＝eq\r(3)x的斜率，即eq\f(b,a)＞eq\r(3)，則e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞2.(2)(2023·蘇北四市調(diào)研)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是雙曲線右支上的兩點(diǎn)，x1＋y1＝x2＋y2＝3.記△PQF1，△PQF2的周長(zhǎng)分別為C1，C2.若C1－C2＝8，則雙曲線的右頂點(diǎn)到直線PQ的距離為_(kāi)_______.答案eq\f(\r(2),2)解析∵C1－C2＝(|PQ|＋|PF1|＋|QF1|)－(|PQ|＋|PF2|＋|QF2|)＝4a＝8.∴a＝2，∴雙曲線右頂點(diǎn)為(2，0).由P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋y1＝x2＋y2＝3，可知點(diǎn)P，點(diǎn)Q在直線x＋y＝3上，∴直線PQ的方程為x＋y－3＝0，則雙曲線的右頂點(diǎn)到直線PQ的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).1.橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ.))2.(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦半徑公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn).(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的焦半徑公式|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|.3.雙曲線的漸近線的相關(guān)結(jié)論(1)若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b.(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝±eq\f(b,a)x的斜率k與離心率e的關(guān)系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).4.圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論(1)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.③焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c).(2)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.例(1)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±2x，則該雙曲線的離心率為()A.5 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)答案D解析[通法]由雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，可知eq\f(b,a)＝2，即b＝2a.又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝5，即e＝eq\r(5).[優(yōu)解]由雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，可知漸近線的斜率k＝±2.根據(jù)結(jié)論(3)，得e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).(2)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是()A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C.16eq\r(3) D.32eq\r(3)答案A解析[通法]由橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2知|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝eq\f(64,3).所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(16\r(3),3).[優(yōu)解]依題意知b＝4，根據(jù)結(jié)論(1)，得S△F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝16×taneq\f(60°,2)＝eq\f(16\r(3),3).訓(xùn)練(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,18)－eq\f(x2,12)＝1 D.eq\f(y2,12)－eq\f(x2,18)＝1答案D解析由題意知，可設(shè)所求的雙曲線方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝λ(λ≠0)，點(diǎn)M(2eq\r(3)，2eq\r(5))在雙曲線方程上，所以eq\f(（2\r(3)）2,3)－eq\f(（2\r(5)）2,2)＝λ，λ＝－6，故所求的雙曲線方程是eq\f(y2,12)－eq\f(x2,18)＝1.(2)已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在雙曲線的右支上有一個(gè)點(diǎn)P，滿足|PF1|＝3|PF2|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______.答案eq\f(32,5)解析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，由雙曲線焦半徑公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，結(jié)合條件|PF1|＝3|PF2|，則ex0＋a＝3(ex0－a)，又a＝4，c＝5，可得e＝eq\f(5,4)，所以x0＝eq\f(32,5).

分層精練·鞏固提升【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的離心率為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\r(3)答案C解析在雙曲線中，a＝eq\r(3)，b＝1，則c＝eq\r(a2＋b2)＝2，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).2.(2023·沈陽(yáng)質(zhì)檢)關(guān)于雙曲線C1：x2－y2＝2與C2：y2－x2＝2，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A.它們的焦距相等 B.它們的頂點(diǎn)相同C.它們的離心率相等 D.它們的漸近線相同答案B解析雙曲線x2－y2＝2的實(shí)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2)，0)，虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(2))，而雙曲線y2－x2＝2的實(shí)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(2))，虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2)，0)，B錯(cuò)誤.分析可知其他選項(xiàng)正確.3.(2023·廣州調(diào)研)雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(y2,3)－x2＝1 B.y2－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1答案D解析依題意可知，雙曲線的下焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－c)，漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，即ax±by＝0，故雙曲線下焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b＝3.又該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以a2＝3，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1.4.(多選)(2023·海南模擬)下列雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x的是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,16)＝1答案AD解析A中的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，正確；B中的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，不正確；C中的漸近線方程為y＝±2x，不正確；D中的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，正確.5.(多選)(2023·濟(jì)南聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1(m＞0)，則下列說(shuō)法正確的是()A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為mC.若(2，0)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝2D.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則m＝2答案CD解析對(duì)于A，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(2)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b，∴雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(m)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若(2，0)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則22＝2＋m，解得m＝2，正確；對(duì)于D，雙曲線C的兩條漸近線為y＝±eq\f(\r(2m),2)x，若兩條漸近線相互垂直，則－eq\f(\r(2m),2)×eq\f(\r(2m),2)＝－1，解得m＝2，正確.6.(多選)(2023·福州質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，則()A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為定值B.雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上C.雙曲線C的離心率為定值D.雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x答案BCD解析對(duì)于A，B，由曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，整理可得eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－2λ)＝1(λ＜0)，所以曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，實(shí)軸長(zhǎng)不是定值，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)為定值，C正確；對(duì)于D，漸近線的方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(2),2)x，D正確.7.(2023·石家莊質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，過(guò)原點(diǎn)O的直線交C于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在右支上)，雙曲線右支上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)B)滿足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直線PA交x軸于點(diǎn)D.若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.2C.eq\r(3) D.3答案A解析設(shè)B(x1，y1)，P(x2，y2)，x1≠x2，則A(－x1，－y1)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減整理得eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(b2,a2).∵kBP＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，kAP＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，∴kBP·kAP＝eq\f(b2,a2).∵∠ADO＝∠AOD，∴直線AP與直線AB的傾斜角互補(bǔ)，∴kAB＝－kAP，∴kBP·kAB＝－eq\f(b2,a2).∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，∴kBP·kAB＝－1，即－eq\f(b2,a2)＝－1，∴eq\f(b2,a2)＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2).8.(2023·南京調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，則a＝________.答案4解析雙曲線的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝tan∠BOC＝tan45°＝1，所以a＝b，因?yàn)檎叫蜲ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)B為雙曲線的焦點(diǎn)，所以雙曲線的半焦距c＝|OB|＝4eq\r(2)，則a2＋b2＝2a2＝c2＝32，解得a＝4.9.(2022·全國(guó)甲卷)若雙曲線y2－eq\f(x2,m2)＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________.答案eq\f(\r(3),3)解析雙曲線的漸近線方程為x±m(xù)y＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，則圓心坐標(biāo)為(0，2)，半徑r＝1.∵雙曲線的漸近線與圓相切，∴圓心到漸近線的距離d＝eq\f(|0±2m|,\r(1＋m2))＝1，得m＝eq\f(\r(3),3)或m＝－eq\f(\r(3),3)(舍去).10.(2022·全國(guó)甲卷)記雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫(xiě)出滿足條件“直線y＝2x與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值________.答案2((1，eq\r(5)]內(nèi)的任意值均可)解析雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，若直線y＝2x與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn)，則2≥eq\f(b,a)，∴eq\f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)≤5，又e＞1，∴e∈(1，eq\r(5)]，∴填寫(xiě)(1，eq\r(5)]內(nèi)的任意值均可.11.已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，求雙曲線C的方程.解(1)不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2.設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線的定義知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵S△MF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4＝eq\f(1,2)×2ch，∴h＝eq\f(2\r(5),5).即M點(diǎn)到x軸的距離為eq\f(2\r(5),5).(2)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16).∵雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.12.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c，0).(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率.解(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，所以直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，所以x0＝eq\r(3)y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，所以x0＝eq\f(\r(3),2)c，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入雙曲線方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(4)－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因?yàn)閑>1，所以e＝eq\r(2)，所以雙曲線的離心率為eq\r(2).【B級(jí)能力提升】13.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A.4 B.8C.16 D.32答案B解析不妨設(shè)D位于第一象限，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，分別與x＝a聯(lián)立，可得D(a，b)，E(a，－b)，則|DE|＝2b.∴S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2eq\r(2)時(shí)，等號(hào)成立.∴c2的最小值為16，∴c的最小值為4，∴C的焦距的最小值為2×4＝8.14.(多選)(2023·杭州一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，則()A.雙曲線eq\f(x2,4＋m)－eq\f(y2,5＋m)＝1(m＞0)和C的離心率相等B.若P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的周長(zhǎng)為6＋2eq\r(14)C.若直線y＝tx－1與C沒(méi)有公共點(diǎn)，則t＜－eq\f(\r(6),2)或t＞eq\f(\r(6),2)D.在C的左、右兩支上分別存在點(diǎn)M，N，使得4eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(F1N,\s\up6(→))答案BC解析對(duì)于A，雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1中，a2＝4，b2＝5，則c2＝9，故離心率為eq\f(3,2)，同理雙曲線eq\f(x2,4＋m)－eq\f(y2,5＋m)＝1的離心率為eq\r(\f(9＋2m,4＋m))，由m＞0，得eq\r(\f(9＋2m,4＋m))≠eq\f(3,2)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則|PF1|－|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝36，聯(lián)立解得|PF1|＝eq\r(14)＋2，|PF2|＝eq\r(14)－2，所以△F1PF2的周長(zhǎng)為eq\r(14)＋2＋eq\r(14)－2＋6＝6＋2eq\r(14)，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，,y＝tx－1，))得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0，要使直線y＝tx－1與C沒(méi)有公共