2024屆北京順義數(shù)學九年級第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆北京順義數(shù)學九年級第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．2．如圖，為的直徑，為上一點，弦平分，交于點，，，則的長為（）A．2.2 B．2.5 C．2 D．1.83．如圖,E為平行四邊形ABCD的邊AB延長線上的一點,且BE:AB=2：3,△BEF的面積為4,則平行四邊形ABCD的面積為()

A．30 B．27 C．14 D．324．關于x的一元二次方程中有一根是1，另一根為n，則m與n的值分別是（）A．m=2，n=3 B．m=2，n=-3 C．m=2，n=2 D．m=2，n=-25．我們知道：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直，如圖，已知直線l和l外一點A，用直尺和圓規(guī)作圖作直線AB，使AB⊥l于點A．下列四個作圖中，作法錯誤的是（）A． B．C． D．6．下列二次函數(shù)中有一個函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點，這個函數(shù)是（）A． B． C． D．7．中國“一帶一路”戰(zhàn)略給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民2016年人均年收入300美元，預計2018年人均年收入將達到950美元，設2016年到2018年該地區(qū)居民人均年收入平均增長率為x，可列方程為（）A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=9508．關于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≥﹣4 D．k≥49．老師出示了如圖所示的小黑板上的題后，小華說：過點；小明說：；小穎說：軸被拋物線截得的線段長為2，三人的說法中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個10．《九章算術》總共收集了246個數(shù)學問題，這些算法要比歐洲同類算法早1500多年，對中國及世界數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生過重要影響.在《九章算術》中有很多名題，下面就是其中的一道.原文：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”翻譯：如圖，為的直徑，弦于點.寸，寸，則可得直徑的長為（）A．13寸 B．26寸C．18寸 D．24寸二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB，AC夾角為120°，AB的長為20cm，扇面BD的長為15cm，則弧DE的長是_____．12．已知a是方程2x2﹣x﹣4＝0的一個根，則代數(shù)式4a2﹣2a+1的值為_____．13．若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是_________．14．如圖是一個正方形及其內(nèi)切圓，正方形的邊長為4，隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在圓內(nèi)的概率是______．15．二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸方程是x=_______.16．從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度h（米）與小球運動時間t（秒）之間的函數(shù)關系式是h=12t﹣6t2，則小球運動到的最大高度為________米；17．如圖，以點P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點，點P的坐標為(4，2)，點A的坐標為(2，0)，則點B的坐標為______．18．用一個圓心角90°，半徑為8㎝的扇形紙圍成一個圓錐，則該圓錐底面圓的半徑為．三、解答題(共66分)19．（10分）閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長；小胖經(jīng)過思考后，在CD上取點F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進而得到∠EFD＝45°，試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續(xù)分析，又意外發(fā)現(xiàn)△CEF∽△CDE．（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程．（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．20．（6分）如圖，海上有A、B、C三座小島，小島B在島A的正北方向，距離為121海里，小島C分別位于島B的南偏東53°方向，位于島A的北偏東27°方向，求小島B和小島C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）21．（6分）超市銷售某種兒童玩具，該玩具的進價為100元/件，市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過進價的60%.現(xiàn)在超市的銷售單價為140元，每天可售出50件，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果銷售單價每上漲2元，每天銷售量會減少1件。設上漲后的銷售單價為x元，每天售出y件.（1）請寫出y與x之間的函數(shù)表達式并寫出x的取值范圍；（2）設超市每天銷售這種玩具可獲利w元，當x為多少元時w最大，最大為名少元？22．（8分）如圖，雨后初睛，李老師在公園散步，看見積水水面上出現(xiàn)階梯上方樹的倒影，于是想利用倒影與物體的對稱性測量這顆樹的高度，他的方法是：測得樹頂?shù)难鼋恰?、測量點A到水面平臺的垂直高度AB、看到倒影頂端的視線與水面交點C到AB的水平距離BC．再測得梯步斜坡的坡角∠2和長度EF，根據(jù)以下數(shù)據(jù)進行計算，如圖，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知線段ON和線段OD關于直線OB對稱．（以下結果保留根號）（1）求梯步的高度MO；（2）求樹高MN．23．（8分）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．點D(2，3)在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點E，點F是直線AD上方的拋物線上的動點.（1）求該拋物線對應的二次函數(shù)關系式；（2）當點F到直線AD距離最大時，求點F的坐標；（3）如圖2，點M是拋物線的頂點，點P的坐標為(0，n)，點Q是坐標平面內(nèi)一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是AM為邊的矩形.①求n的值；②若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的坐標.24．（8分）先化簡，再求值的值，其中.25．（10分）已知關于的方程.（1）求證：無論為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為-1，則另一個根為.26．（10分）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解題分析】拋擲一枚骰子有1、2、3、4、5、6種可能，其中所得的點數(shù)能被3整除的有3、6這兩種，∴所得的點數(shù)能被3整除的概率為，故選B．【題目點撥】本題考查了簡單的概率計算，熟記概率的計算公式是解題的關鍵.2、A【分析】連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的長．【題目詳解】連接BD、CD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即，解得DE=1.1．故選：A．【題目點撥】此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED．3、A【解題分析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，∴，∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，∴，∵S△BEF=4，∴S△CDF=9，S△AED=25，∴S四邊形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，∴S平行四邊形ABCD=S△CDF+S四邊形ABFD=9+21=30，故選A.【題目點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，熟記相似三角形的面積等于相似比的平方是解題的關鍵.4、C【分析】將根是1代入一元二次方程，即可求出m的值，再解一元二次方程，可求出兩個根，即可求出n的值．【題目詳解】解：∵將1代入方程，得到：1-3+m=0，m=2∴∴解得x1=1，x2=2∴n=2故選C．【題目點撥】本題主要考查了一元二次方程，熟練解滿足一元二次方程以及解一元二次方程是解決本題的關鍵．5、C【分析】根據(jù)垂線的作法即可判斷．【題目詳解】觀察作圖過程可知：A．作法正確，不符合題意；B．作法正確，不符合題意；C．作法錯誤，符號題意；D．作法正確，不符合題意．故選：C．【題目點撥】本題考查了作圖-復雜作圖、垂線，解決本題的關鍵是掌握作垂線的方法．6、D【解題分析】試題分析：分別對A、B、C、D四個選項進行一一驗證，令y=1，轉化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式來判斷方程是否有根．A、令y=1，得x2=1，△=1-4×1×1=1，則函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故A錯誤；B、令y=1，得x2+4=1，△=1-4×1×1=-4＜1，則函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故B錯誤；C、令y=1，得3x2-2x+5=1，△=4-4×3×5=-56＜1，則函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故C錯誤；D、令y=1，得3x2+5x-1=1，△=25-4×3×（-1）=37＞1，則函數(shù)圖形與x軸有兩個交點，故D正確；故選D．考點：本題考查的是拋物線與x軸的交點點評：解答本題的關鍵是熟練掌握當二次函數(shù)與x軸有兩個交點時，b2-4ac＞1，與x軸有一個交點時，b2-4ac=1，與x軸沒有交點時，b2-4ac＜1．7、D【解題分析】設2016年到2018年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，那么根據(jù)題意得2018年年收入為：300（1+x）2，列出方程為：300（1+x）2=1．故選D．8、A【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根結合根的判別式即可得出關于k的一元一次方程，解之即可得出結論．【題目詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2+1x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝12﹣1k＝16﹣1k＝0，解得：k＝1．故選：A．【題目點撥】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，熟練掌握“當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根”是解題的關鍵．9、B【分析】根據(jù)圖上給出的條件是與x軸交于（1，0），叫我們加個條件使對稱軸是，意思就是拋物線的對稱軸是是題目的已知條件，這樣可以求出的值，然后即可判斷題目給出三人的判斷是否正確．【題目詳解】∵拋物線過（1，0），對稱軸是，∴解得，

∴拋物線的解析式為，

當時，，所以小華正確；∵，所以小明正確；

拋物線被軸截得的線段長為2，已知過點（1，0），則可得另一點為（-1，0）或（3，0），所以對稱軸為y軸或，此時答案不唯一，所以小穎錯誤．綜上，小華、小明正確，

故選：B．【題目點撥】本題考查了拋物線與軸的交點以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．10、B【分析】根據(jù)垂徑定理可知AE的長．在Rt△AOE中，運用勾股定理可求出圓的半徑，進而可求出直徑CD的長．【題目詳解】連接OA，由垂徑定理可知，點E是弦AB的中點，設半徑為r，由勾股定理得，即解得：r=13所以CD=2r=26，即圓的直徑為26，故選B．【題目點撥】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的性質(zhì)和求法，熟練掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、cm【分析】直接利用弧長公式計算得出答案．【題目詳解】弧DE的長為：.故答案是：.【題目點撥】考查了弧長公式計算，正確應用弧長公式是解題關鍵．12、1【分析】直接把a的值代入得出2a2?a＝4，進而將原式變形得出答案．【題目詳解】∵a是方程2x2＝x+4的一個根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a+1＝2（2a2﹣a）+1＝2×4+1＝1．故答案為1．【題目點撥】此題主要考查了一元二次方程的解，正確將原式變形是解題關鍵．13、，但【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求出答案．【題目詳解】解：∵一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：；∵是一元二次方程，∴，∴的取值范圍是，但．故答案為：，但．【題目點撥】本題考查根的判別式，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．14、【分析】根據(jù)題意算出正方形的面積和內(nèi)切圓面積，再利用幾何概率公式加以計算，即可得到所求概率．【題目詳解】解：∵正方形的邊長為4，

∴正方形的面積S正方形=16，內(nèi)切圓的半徑r=2，

因此，內(nèi)切圓的面積為S內(nèi)切圓=πr2=4π，可得米落入圓內(nèi)的概率為：故答案為：【題目點撥】本題考查幾何概率、正多邊形和圓，解答本題的關鍵是明確題意，屬于中檔題．15、1【分析】利用公式法可求二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸．也可用配方法．【題目詳解】∵-=-=1，∴x=1．故答案為1【題目點撥】本題考查二次函數(shù)基本性質(zhì)中的對稱軸公式；也可用配方法解決．16、6【分析】現(xiàn)將函數(shù)解析式配方得，即可得到答案.【題目詳解】，∴當t=1時，h有最大值6.故答案為：6.【題目點撥】此題考查最值問題，確定最值時需現(xiàn)將函數(shù)解析式配方為頂點式，再根據(jù)開口方向確定最值.17、(6,0)【題目詳解】解：過點P作PM⊥AB于M，則M的坐標是（4，0）∴MB=MA=4-2=2，∴點B的坐標為(6,0)18、1．【解題分析】試題分析：扇形的弧長是：，設底面半徑是，則，解得．故答案是：1．考點：圓錐的計算．三、解答題(共66分)19、CD=5；（1）見解析；（2）【分析】（1）在CD上取點F，使∠DEF＝∠ADB，證明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，證明△CEF∽△CDE，由比例線段可求出CF＝1，則CD可求出；（2）如圖3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通過證明△DBE∽△ATD，可得，可得，通過證明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．【題目詳解】解：（1）在CD上取點F，使∠DEF＝∠ADB，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD＝AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴＝，∵AB＝2，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴，又∵DF＝4，CE＝，∴，∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如圖3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠EAD+∠EBD＝90°，∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴，∠ADT＝∠BED，∴，且AD＝DC，∴，∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，∴∠BED＝∠AER，∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，∴RE＝RB＝DT，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）∴BR＝TC，∴DT＝TC，∴CD＝2DT，∴＝【題目點撥】本題主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性質(zhì)，作合適的輔助線對證明三角形相似起到關鍵作用.20、小島B和小島C之間的距離55海里.【分析】先過點C作CD⊥AB，垂足為點D，設BD=x海里，得出AD=（121-x）海里，在Rt△BCD中，根據(jù)，求出CD，再根據(jù)，求出BD，在Rt△BCD中，根據(jù)，求出BC，從而得出答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，

過點C作CD⊥AB，垂足為點D．

設BD=x海里，則AD=（121-x）海里，

在Rt△BCD中，則CD=x?tan53°≈在Rt△ACD中，則CD=AD?tan27°≈則解得，x=1，

即BD=1．在Rt△BCD中，則答：小島B和小島C之間的距離約為55海里.【題目點撥】此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是方向角含義、三角函數(shù)的定義，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構造直角三角形．21、（1）；（2）當x為160時w最大，最大值是2400元【分析】（1）根據(jù)“銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件”表示出減少的件數(shù)，銷量y=50-減少的件數(shù)；（2）根據(jù)“獲利w=單利潤×銷量”可列出函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結合自變量x的取值范圍即可得解.【題目詳解】解：（1）由題上漲的單價為x-140元所以y=50-（x-140）÷2×1=（2）根據(jù)題意得，w＝（x-100）（）＝∵a＝﹣＜0，∴當x＜170時，w隨x的增大而增大，∵該種玩具每件利潤不能超過進價的60%∴∴x≤160∴當x＝160時，w最大＝2400，答：當x為160時w最大，最大值是2400元．【題目點撥】本題考查一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質(zhì).解決此題的關鍵為：①根據(jù)題中的數(shù)量關系列出函數(shù)關系式；②能根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及自變量的取值范圍求最值.22、（1）4米；（2）（14+4）米．【分析】（1）作EH⊥OB于H，由四邊形MOHE是矩形，解Rt求得EH即可；（2）設ON＝OD＝m，作AK⊥ON于K，則四邊形AKOB是矩形，，OK＝AB＝2，想辦法構建方程求得m即可.【題目詳解】（1）如圖，作EH⊥OB于H．則四邊形MOHE是矩形．∴OM＝EH，在Rt中，∵∠EHF＝90°，EF＝4，∠EFH＝45°，∴EH＝FH＝OM＝米．（2）設ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．則四邊形AKOB是矩形，如圖，AK＝BO，OK＝AB＝2∵AB∥OD，∴，∴，∴OC＝，∴，在Rt△AKN中，∵∠1＝60°，∴AK，∴，∴m＝（14+8）米，∴MN＝ON﹣OM＝14+8﹣4＝（14+4）米．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用，軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用參數(shù)解決幾何問題.23、（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作FH⊥AD，過點F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當S△FAD最大時，點F到直線AD距離FH最大，求出直線AD的解析式，設F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分AP為對角線和AM為對角線兩種情況求解即可.【題目詳解】解：（1）∵拋物線x軸相交于點A（－1，0），B（3，0），∴設該拋物線對應的二次函數(shù)關系式為y=a(x+1)(x－3)，∵點D（2，3）在拋物線上，∴3=a×(2+1)×(2－3)，∴3=－3a，∴a=－1，∴y=－(x+1)(x－3)，即y=－x2+2x+3；（2）如圖1，作FH⊥AD，過點F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當S△FAD最大時，點F到直線AD距離FH最大，設直線AD為y=kx+b，∵A(－1，0)，D(2，3)，∴，∴，∴直線AD為y=x+1.設點F的橫坐標為t，則F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，∵S△FAD=S△AMF+S△DMF=MF(Dx-Ax)=×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)=－(t－)2+，∴即當t=時，S△FAD最大，∵當x=時，y=－()2+2×+3=，∴F(，)；（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點M(1，4).當AP為對角線時，如圖2，設拋物線對稱軸交x軸于點R，作PS⊥MR，∵∠PMS+∠AMR=90°，∠MAR+∠AMR=90°，∴∠PMA=∠MAR，∵∠PSM=∠ARM=90°，∴△PMS∽△MAR，∴，∴，∴MS=，∴OP=RS=4+=，∴n=；延長QA交y軸于T，∵PM∥AQ，∴∠MPO=∠OAM，∵∠MPS+∠MPO=90°，∠OAT+∠OAM=90°，∴∠MPS=∠OAT.又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，∴△PSM≌△AOT，∴AT=PM=AQ，OT=MS=.∵AM⊥AQ，∴T和Q關于AM對稱，∴T(0，-)；當AQ為對角線時，如圖3，過A作SR⊥x軸，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，∵