初三數(shù)學(xué)正弦、余弦和正切知識(shí)精講湘教版

wordword#/11初三數(shù)學(xué)正弦、余弦和正切知識(shí)精講湘教版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：正弦、余弦和正切［教學(xué)目標(biāo)］（一）知識(shí)與技能了解一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切的概念，能夠正確地應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形兩邊之比。熟記30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，會(huì)計(jì)算含有這三個(gè)特殊銳角的直角三角形的邊長，會(huì)由一個(gè)特殊銳角的正弦值、余弦值、正切值說出這個(gè)角。了解一個(gè)銳角的正弦值與它余角的余弦值之間的關(guān)系。會(huì)用計(jì)算器計(jì)算銳角的正弦值和余弦值。（二）過程與方法：經(jīng)歷探索銳角的正弦值、余弦值與正切值的過程，在探索中總結(jié)規(guī)律，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心。［教學(xué)重點(diǎn)］正弦、余弦、正切的定義。特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值?；ビ嘟侵g的正弦值、余弦值之間的關(guān)系。［教學(xué)難點(diǎn)］銳角的正弦值、余弦值、正切值的計(jì)算。綜合運(yùn)用正弦、余弦、正切的關(guān)系求直角三角形的邊。［主要內(nèi)容］1.正弦、余弦、正切的定義：記作sinA，（記作sinA，（2）在Rt△ABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦。記作cosA記作cosA，即cosA-NA的鄰邊二b斜邊（3）在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做NA的正切。記作tanA，即tanA-NA的對(duì)邊 aNA的鄰邊二b2.特殊角30°a、45°30°、60°的正弦值、余弦值、45° 60°sina1一2 亙22 2cosav3<2 122 2.、；3? atana1 <33當(dāng)銳角A確定后，這些比值都是固定值。如圖，在Rt△ABC中正切值。，，設(shè)BC=k，貝UAB=2k由勾股定理得AC-.??sin30°BCv3kkcos30°tan30°AB2kAC_33kAB—~2k'BCkAC—"3k一Q2V33用同樣的方法可求45°、60°互為余角的正弦、余弦之間的關(guān)系：由定義知：sinA-a,cosB-ac..sinA=cosB即sinA-cos（90°一A）同理：cosA-sin（90°一A）語言表達(dá)：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

比如：sin60°=cos30cos52°=sin38°同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2A+cos2A=1sinA 1tanA= ,tanA= cosA tan(90°—A)0°?90°間正弦值、余弦值、正切值的變化規(guī)律:0<sinA<1,0<cosA<1在0°?90°間的角:正弦值隨角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；余弦值隨角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；正弦值隨角度的增大（或減小）而增大（或減?。?。會(huì)用計(jì)算器求銳角的正弦值、余弦值、正切值?！镜湫屠}】例1.已知△ABC中，AC=7,BC=24,AB=25,求sinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB分析：根據(jù)正弦、余弦、正切的定義知，應(yīng)首先判斷ZABC是直角三角形。解：VAC=7,BC=24,AB=25AC2+BC2=72+242=625AB2=252=625???AC2+BC2=AB2...△ABC為直角三角形，NC=90°由三角函數(shù)定義得：sinA=aAC7cosA= =—AB25tanA=tanA=BC_24AC—T由互余角的關(guān)系得：7sinB=cosA=—2524cosB=sinA=——2517tanB= =——tanA24

例2,已知Rt^ABC中，NC=90°,sinA=1，求cosA,tanA分析：可用引進(jìn)參數(shù)法，也可利用同角的正弦、余弦關(guān)系求解。法一：如圖解：\*sinA=—13??設(shè)BC=5k，AB=13k由勾股定理得：AC=12kAC12k12?cosA= = =——AB13k13tanAtanA=BC_5k 5AC—12k—12法二：解：：sin2A+cos2A=1,sinA=—TOC\o"1-5"\h\z5 12?cos2A=1一sin2A=1一(一)2=(一)213 13cosA>0又NcosA>0- 4_12?cosA——13tanA=sinA_tanA=cosA12 1213變式訓(xùn)練：已知在變式訓(xùn)練：已知在Rt△ABC中，NC=90°,sinA=*，周長為60cm，求斜13邊c的長。提示：可引進(jìn)參數(shù)法。例3,計(jì)算：sin30°+2(sin45°+cos45°)一sin220°一cos220°sin260°+sin245°+1+tan45°— tan60°?cos30°分析：略 _ _解：(1)原式=1+1X(222+222)一(sin220°+cos220°)

1v2<2-1(2(2)原式=(且)2+(2)2+1+1-=3+2+2-444 331133112例4.已知銳角a滿足一2cos2a+V3sina-1=0,求a的值。分析：把條件式看作關(guān)于sina的一元二次方程，利用解方程求出sina,再確定a的值。解：:sin2a+cos2a=1二條件式子可化為：2-2cos2a+-『3sina-3二0即2sin2a+%3sina-3=0得(2sina-v3)(sina+<3)=0I0<sina<1,???sina+忑手0??2sina=、.3sina二亙2Vsin60°Vsin60°<3 ,2a為銳角??a=60°［練習(xí)］求適合條件的銳角：2sina=1,則a=2cosa=v：3,則a=2v3sin(a-10°)=3,則a=3tana=%3則。=答案：(1)30°(2)30°(3)70°(4)30°例5.如圖在RtAABC中，NC=90°,BC=5,AC=6。

(1)求sinA,sinB的值。(2)過點(diǎn)C作CD±AB于D,求cosZACD的值。分析：(1)利用正弦定義來解決。CD(2)求cosNACD，在Rt△ACD中求一較麻煩，但利用互余角的關(guān)系將ACNACD轉(zhuǎn)化為NB則非常簡便。解：(1)在Rt△ABC中，NC=90°,BC=5,AC=6丁AB2=AC2+BC2??AB=『62+52=.<61TOC\o"1-5"\h\z..人BC5 5*61?sinA= =—= \o"CurrentDocument"AB<61 61,?AC6 6.;61sinB==—= ABV61 61(2)VNACB=90°,ANA+NB=90°又CD±AB于D,?'.NACD+NA=90°NB=NACDtanB=1，BC="而，求AB的長。3??cosNtanB=1，BC="而，求AB的長。3例6.如圖在△ABC中，NA=30°,分析：根據(jù)條件知：解：過C點(diǎn)作CDXAB于D,設(shè)CD=x在Rt^ACD中，NA=30°CDAD.VAD=—=<3xv3丁CD在Rt△BCD中，tanB=—BD

.??BD=3x又BC2=CD2+BD2「?(v10)2=%2+(3X)2x=1:?AD—v13x—■v3BD=3x—3??AB=AD+BD=3+v;3【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）TOC\o"1-5"\h\z、填空題： _1一 21 一1,求值：_Xsin60°XJcos45°= 21 ^2.在RtAABC中，NC=90°,a=1,b=2,貝UcosA=。.tan10°*tan20°*tan30°*tan70°*tan80°= 。.AABC中，NC=90°,若sinA=|，則tanB=。■二 1~ 。 ? 。..(cos45 -2)2-Itan60 -sin30I=。.J3tan(80°-a)=1,則a=。.在RtAABC中，NC=90°,3a=V3b，則NA=。.已知等腰三角形ABC的腰長為4<3，底角為30°,則底邊上的高為周長為。ZAZA.ZB都是銳角，則NC的.在AABC中，若IsinA-——1+(——-cosB)2=0,22度數(shù)是（）75°90度數(shù)是（）75°90°105°120°.當(dāng)銳角A>45°時(shí)，sinA的值（）,工<2A.小于—v3C.小于—11,已知0,工<2A.小于—v3C.小于—11,已知0°<a<90B.大于D.大于豆<330°60°sina=cos30°，貝|a=45°（）D.無法確定12.下列結(jié)論中不正確的是sin48°37'<cos41°()20'Rt△ABC中，/C=90°RtAABC中，NC=90°,RtAABC中，NC=90°,，貝Usin2A+cos2A=1則tanB,sinB=cosB…bAC=b，則AB=—：sinB13.如圖CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)E反射后照射到B點(diǎn),若入射角a（入射角等于反射角），AC±CD,BDLCD,垂足為C、D,且AC=3,BD=6,CD=11,則tana=()A.11TD.11A.11TD.11V.如果NA為銳角，且cosA=1，則（）40°<A<0°<A<30°C.45°<A<60°30°<A<45°D.60°<A<90°.如圖RtAABC中，NACB=90°,CD±AB于D,若AC=4,BC=3,則UsinNACD=()4A.34A.3D.三、解答題：.計(jì)算：n二一。,。1)J]—sin45°)2—I2sin60°—sin30°I1 2 2tan30°2)—sin60+——cos45+sin30 ,cos30+ 2 2 1—tan230°16x.3.如圖RtAABC中，NC=90°,b=8,NA的平分線AD=-^―。求NB及a、c的值。.如圖在等腰AABC中，AB=AC,^AB=2BC,試求NB的正弦值和正切值。求AD的長。BC=12【試題答案】一、填空題：v54,T2.5.50°求AD的長。BC=12【試題答案】一、填空題：v54,T2.5.50°30°2<3,12+8<3、選擇題：C13.DB14.DB15.CC.Rt△ABC中，NC=90°,方程x2一3sinA?x+3sinA-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，斜邊為c，方程ex2-2x+c=0也有兩個(gè)相等的實(shí)根，求這個(gè)直角三角形的三邊的長。.如圖在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos/DAC。(1)求證：AC=BD。(2)若sinC=13，三、解答題：.解：(1)原式=.,'(―--^―)2一|2X<3——|V乙 乙 乙2-2A/32-2A/31x/J3貶、,尬1（2）原式=5義；-+與-義C2XxzJ3 3X——+ 工—1x/J3貶、,尬1（2）原式=5義；-+與-義C2XxzJ3 3X——+ 工—\o"CurrentDocument"2 11-(——)23"十杷十” I—I 十vJ4 2 43731 +—[6^3.解：在Rt^ADC中，AC=8,AD=^―又cosZDAC=ACAD16v,f3 23.,.ZDAC=30°又AD平分NBACAZBAC=60°,ZB=30°又b=8.*.c=16,a=8<3.解：如圖，過A點(diǎn)作ADLBC于DVAB=AC,AB=2BCBD=CD=-AB4設(shè)6。=2a,則8。=a,AB=4a在Rt^ABD中，AD=YAB2一BD2=，(4a)2-?2=JI5asinB-AD4av''T5ABnADtanB= BD4ay：15a19.解：?方程—3sinA?x+3sinA—l=。有兩個(gè)相等的實(shí)根??.(―3sin4)2-4(3sinA-1)=09sin2A-12sinA+4=0(3sinA-2)2=0??42..smA=—3又方程cx2-2X+c-0也有兩個(gè)相等的實(shí)根A(-2)