正項級數(shù)斂散性的判斷及其應用

正項級數(shù)斂散性的判斷及其應用摘要級數(shù)是高等數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容，而正項級數(shù)又是級數(shù)的重要組成部分,斂散性問題級數(shù)理論的一個基本問題，判別正項級數(shù)斂散性的方法很多.本文總結了正項級數(shù)的各種斂散性判別法,主要有比較判別法及其推廣、積分判別法及其推廣、導數(shù)判別法和一般項級數(shù)斂散性判別法;簡單介紹了它們強弱性關系,給出了典型例題驗證上述判別法的有效性.關鍵詞正項級數(shù)；判別法；斂散性TheConvergenceTestsandApplicationforSeriesofPositiveTerms!AbstractHigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanypaperhassummarizedavarietyofconvergencejudgemethodsforpositivetermsseries,includingcomparisonprincipleanditsextension,integratedjudgemethodanditsextension,derivatejudgemethodandjudgemethodsofgeneralseries,somefamoustestssuchasCauchyTest,D’AlembertTest,KummerTestandGaussTestcomefromComparisonprinciple;givenabriefintroductionoftheirweekandstrongrelationshipofconvergence,setexamplesforidentifyingtheeffectivenessofthesejudgemethods.Keywordspositivetermsseries;judgemethods;convergence1前言歷史上，人們曾把無窮個實數(shù)相加看成無窮個數(shù)的和.恰如有限個數(shù)的和一樣，這在直觀上容易被人接受.在《莊子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，萬世不竭”，把每天截下的那一部分的長度加起來：，從直觀上看，它的和是1，但是下面“無限個實數(shù)相加”的和是多少如果寫成其結果是0.如果寫成其結果是1.兩個結果完全不同.因此提出這樣的問題：“無限個數(shù)相加”是否存在“和”如果存在,“和”是多少十七八世紀的一些著名的數(shù)學家曾對此感到迷惑，并有許多爭論，并給出了這個級數(shù)“和”的不同結果.例如萊布尼茲認為這個“和”是0到1之間的一個數(shù).他論證說，這個級數(shù)前項和形成一個數(shù)列，其中0和1出現(xiàn)的機會相同，因此取它的平均數(shù)為這個級數(shù)的和.這一說法得到了著名數(shù)學家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做過如下論證：既然是一個數(shù)，記為，由于，即為，得.大數(shù)學家歐拉(Euler)也主張用等比公式：，把代入得到，他用同樣的討論得到其他的一些結果.例如把代入得，而這些結果現(xiàn)在看起來都是荒謬的.后來人們認識到“無窮多個數(shù)相加”，這是一個根本無法操作的過程，人們不知道怎樣把無窮多個數(shù)相加.經(jīng)過很長一段時間，數(shù)學家柯西(Cauchy)給出了無窮級數(shù)的嚴格定義，之后級數(shù)理論得到了充分地發(fā)展.無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)和數(shù)值計算的重要工具，我國古代數(shù)學家劉徵創(chuàng)立的“割圓術”對圓面積的近似計算已具有了初步的無窮級數(shù)的概念，無窮級數(shù)在自然科學與工程技術中具有廣泛的應用.級數(shù)是否存在和，即為判斷級數(shù)是否收斂的問題.級數(shù)的收斂性是級數(shù)首要的重要性質(zhì).因此對于一個給定的級數(shù)，首先應判斷它是否收斂.若數(shù)項級數(shù)各項符號都相同稱為同號級數(shù).對于同號級數(shù)，只須研究各項是正數(shù)組成的級數(shù)---正項級數(shù).定義在區(qū)間的函數(shù)項級數(shù)，當在內(nèi)任意取定一點時,便得到一個數(shù)項級數(shù).自然,對函數(shù)項級數(shù)的研究極大地依賴于對數(shù)項級數(shù)的研究，而正項級數(shù)是數(shù)項級數(shù)中最基礎的級數(shù)，研究數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)如絕對收斂、條件收斂，需要用到正項級數(shù)斂散性判別法，在函數(shù)項級數(shù)如冪級數(shù)收斂半徑求解，函數(shù)項級數(shù)一致收斂Weierstrass判別法(M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法)中也用到了正項級數(shù)斂散性.正項級數(shù)的定義和收斂的充要條件正項級數(shù)的定義如果級數(shù)中各項均有,這種級數(shù)稱為正項級數(shù).正項級數(shù)收斂的充要條件如果級數(shù)中，部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)M，對有.2比較判別法及其推廣比較判別法【1】設和是兩個正項級數(shù)，如果存在某個正數(shù)N，對一切n>N都有，那么若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.推論：比較判別法的極限形式：設和是兩個正項級數(shù).若，則（1）當時，和同時收斂或同時發(fā)散；（2）當時，若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（3）當，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.定理（達朗貝爾判別法或比值判別法）設為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；（2）若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散.推論（達朗貝爾判別法的極限形式）設為正項級數(shù)，且，則(1)當時，級數(shù)收斂；(2)當或時，級數(shù)發(fā)散.推論若為正項級數(shù)，則（1）當時，級數(shù)收斂；（2）當時，級數(shù)發(fā)散.例討論級數(shù)的斂散性.解令，則，所以,當時，即時，收斂，故原級數(shù)收斂；當時，即時，發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.例討論級數(shù)的斂散性.解令，，則.則，由推論得級數(shù)發(fā)散.定理（柯西判別法）設為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù),(1)若對一切，不等式成立，則級數(shù)收斂;(2)若對一切，不等式成立，則級數(shù)發(fā)散.推論（柯西判別法的極限形式）設為正項級數(shù)，且.則(1)當時，級數(shù)收斂；(2)當時，級數(shù)發(fā)散.定理設為正項級數(shù)，若，則當時，收斂;當時，發(fā)散.證明當時，取，使，則，.取，則，，由極限保號性得，，故，，而收斂，由引理知收斂；當時，由，對任意的當充分大時，有與，取，則，，對任意的當充分大時，有與，取，則當充分大時，有，，由引理知發(fā)散.例判斷正項級數(shù)的斂散性.解，故由達朗貝爾判別法無法判斷，而，，由定理得收斂.推論設為正項級數(shù)，若,當時，收斂，當時，發(fā)散.推論設為正項級數(shù)，若且，則當時，收斂；當時，發(fā)散.推論設為正項級數(shù)，且，若,則；若，則.3積分判別法 引理正項級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正整數(shù)，對一切正整數(shù)有.定理設為上非負遞減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散.例討論級數(shù)的斂散性.解由定理知級數(shù)與反常積分具有相同的斂散性，而，當時收斂，當時發(fā)散.故當時級數(shù)收斂，當級數(shù)時發(fā)散.定理設函數(shù)是單調(diào)遞減的正值函數(shù)，如果存在充分大的，當時，有，則當時，級數(shù)收斂；若，級數(shù)發(fā)散.證明當時，有，對任意正數(shù)，有，變量替換后得.取如下序列，，故上述積分變?yōu)楣视泄视兴园l(fā)散，由引理知發(fā)散.若，則,由比較判別法，收斂，由定理知收斂.推論設函數(shù)是單調(diào)遞減的正值函數(shù)，又設，則當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散.例討論級數(shù)的斂散性.解令，且，當，即，或當，時，，則級數(shù)收斂；當時，，則級數(shù)發(fā)散.4導數(shù)判別法定理（導數(shù)極限判別法）設為正項級數(shù)，是一連續(xù)實函數(shù)，若級數(shù)收斂，則.定理設為正項級數(shù)，是一連續(xù)實函數(shù)且在處二階可導，則級數(shù)收斂的充分必要條件是.證明必要性.由定理得.設，，由歸結原理得，取，當時，，即，而發(fā)散，由比較判別法，得發(fā)散;當，，由歸結原理得.對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，當時，，即，由比較判別法，得發(fā)散，與條件矛盾，故.充分性對于任意的有，于是由歸結原理，而收斂，故收斂.例判斷級數(shù)的斂散性.解級數(shù)為正項級數(shù)，為連續(xù)二階可導函數(shù)，且,由定理知發(fā)散.例判斷級數(shù)的斂散性.解級數(shù)為正項級數(shù)，為連續(xù)二階可導函數(shù)，且，由定理知收斂.5兩種一般項級數(shù)收斂性的方法阿貝爾判別法定理(阿貝爾判別法)若為單調(diào)有界數(shù)列，且收斂，則收斂.例討論級數(shù)的斂散性.解為單調(diào)遞減有界數(shù)列，且收斂，由阿貝爾判別法知級數(shù)收斂.例討論級數(shù)的斂散性.解數(shù)列單調(diào)有界，且收斂，由阿貝爾判別法知收斂.狄利克雷判別法定理(狄利克雷判別法)若數(shù)列為單調(diào)遞減，且，又級數(shù)的部分和有界，則收斂.例討論的斂散性.解.因為當時單調(diào)下降趨于零，又，，由狄利克雷判別法知級數(shù)收斂.而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散.判斷一般項級數(shù)收斂性的方法，也適用于正項級數(shù).若正項級數(shù)可以看成兩級數(shù)通項乘積的形式，則可利用上述兩種方法判斷之.6結束語級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)和數(shù)值計算的重要工具，無窮級數(shù)在自然科學與工程技術中具有廣泛的應用.而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性是級數(shù)重要性質(zhì).判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為，若不為，則發(fā)散，若為，則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散.若級數(shù)的一般項可以進行適當?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價式用等價判別法.當通項具有一定的特點時，則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如達朗貝爾判別法、柯西判別法或拉貝判別法等.同時，根據(jù)條件選擇積分判別法或?qū)?shù)判別法等.由此，我們可以得到正項級數(shù)的判別法是多種多樣的，每當一種判別法無法判斷時，就出現(xiàn)一種新的判別法來進行判斷，因此對正項級數(shù)的判別法的探討無窮無盡.正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點選擇適宜的方法進行判斷，能夠節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍.本文歸納正項級數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，收集了一些典型例題.正項級數(shù)收斂判別法也可用于判定負項級數(shù)及變號級數(shù)的絕對收斂性的判斷，也可以推廣到函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別中.參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006:6-16.[2]李鐵烽.正項級數(shù)判斂的一種新的比值判別法[J].北京：數(shù)學通報,1990,(1):46-47.[3]龍艷.關于正項級數(shù)收斂性判斷的一個推廣[J].長春師范學院學報,2009,28(6):1-3.[4]馮江浪.關于一些特殊正項級數(shù)斂散性的判別法[J].中國科技信息,2009,(1):25.[5]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006:448-452.[6]劉玉璞.導數(shù)在正項級數(shù)斂散性判定中的應用[J].高等數(shù)學研究，1994,(2)：13-14.致謝四年時光飛逝，大學即將畢業(yè)，在這里我要向數(shù)學系的老師同學們，尤其是我的指導老師王樹澤老師表示誠摯的感謝！在寫作過程中您對我進行了細心地指導，悉心地點撥，不