空間向量基本定理（解析卷）

空間向量基本定理1、了解空間向量基本定理及其意義.2、會用基底表示空間向量3、掌握空間向量的正交分解．4、掌握用基向量解決立體幾何中簡單問題的通法重點：掌握空間向量基本定理難點：用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。【問題】觀察如圖所示的平行六面體，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，請運用空間向量的線性運算知識，用a，b，c表示向量eq\o(AC1,\s\up6(→))，表示唯一嗎？此時這三個向量a，b，c共面嗎？知識點一空間向量基本定理(1)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.(2)基底：如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc,x，y，z∈R}．這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．【探究1】空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底？【答案】不共面的三個向量【探究2】基底與基向量的概念有什么不同？【答案】基底是指一組向量，即{a，b，c}，而基向量是指基底中某個向量，即a，b，c都叫做基向量?！咎骄?】空間的基底唯一嗎？【答案】不唯一，不共面的任意三個向量都可以作為基底【探究4】為什么空間向量基本定理中x，y，z是唯一的？【答案】x，y，z可轉(zhuǎn)化為向量模的比值關(guān)系1.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.2.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)空間向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空間四點,若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.()(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.()知識點二空間向量的正交分解知識點2正交分解【思考】如圖，正方體的棱長為3，向量e1、e2、e3分別為棱AB、AD、AD1上的單位向量，{e1，e2，e3}能不能作為空間的一個基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量eq\o(AB1,\s\up6(→))嗎？(1)單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：把一個空間向量分解為的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．【答案】（1）兩兩垂直1（2）三個兩兩垂直知識點三用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立考點一空間向量基底的概念例1（2022·重慶八中模擬預(yù)測）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由空間向量基底的定義即可得出答案.【詳解】選項A：令，則，，A正確；選項B：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項C：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項D：因為，所以不能構(gòu)成基底．故選：A.1.判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助，進(jìn)行判斷．2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系數(shù)法，即設(shè)出該向量在新基底下的表示式，轉(zhuǎn)化為在原基底下的表示式，對比系數(shù).【對點演練】1、（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知，，是不共面的三個向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】由不共面的三個向量能構(gòu)成一組基底判斷.【詳解】A.因為=，則三個向量共面，所以三個向量不能構(gòu)成一組基底；B.因為=，則三個向量共面，所以三個向量不能構(gòu)成一組基底；C.假設(shè)，，共面，則必存在x，y，有，因為，，是不共面，則，不成立，則三個向量不共面，所以三個向量能構(gòu)成一組基底；D.因為，則三個向量共面，所以三個向量不能構(gòu)成一組基底；故選：C2.（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，∴與共面，故A，B錯誤；∵，∴與共面，故C錯誤；∵是基底，∴不存在使成立，∴與不共面，故可以與構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.故選：D.3.（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以向量，，均與向量，共面．故選：C考點二空間向量基底的運用例2（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，，故選：C1.空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時，一般要結(jié)合圖形，運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時，通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.【對點演練】1、（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由已知，所以，，故選：D.2、（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，所以A錯誤因為，所以，所以,故選：D3、（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，因為為與的交點，所以也為與的中點，因此.故選：D.4、（2022·江蘇連云港·高二期中）在正方體中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A考點三空間向量的正交分解例3．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量，是空間的另一個基底，則用該基底表示向量____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由空間向量分解的唯一性，，列出方程組求解即可【詳解】由題意，不妨設(shè)由空間向量分解的唯一性：故，解得則故答案為：【對點演練】1、（2023·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的表示為【答案】【解析】設(shè)，所以，解得，所以2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）若是一個單位正交基底，且向量，，______．【答案】【解析】【分析】由條件可得，，利用向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)可得答案.【詳解】由是一個單位正交基底，則，故答案為：3.（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.考點四用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題例4（2023·廣東中山·高二?？茧A段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點，且，，，(1)求（用向量表示）；(2)求證：點E，F(xiàn)，G，H四點共面．【解析】（1）∵∴（2）連接∵分別是的中點，∴.又∵，∴，∴，則四點共面.【對點演練1】（2023·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.(1)判斷三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).【解析】（1）由題知，∴，即，∴共面.（2）由（1）知，共面且基線過同一點M，∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi).【對點演練1】（2023·廣東廣州·高二廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【解析】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以，故，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，所以，，所以，設(shè)異面直線AG和CE所成角為，則應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).一、選擇題1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)四點共面結(jié)論：若四點共面，則且，【詳解】若，，，四點共面，則，則故選：D．2.（2023·江蘇連云港·高二江蘇省新海高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若是空間的一個基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A選項，，故三向量共面，A錯誤；對B選項，若共面，則，解得，故三向量共面，B錯誤，對C選項，，故三向量共面，C錯誤，對D選項，若向量共面，則無解,故向量不共面，故D正確,故選：D3.（2023·高二課時練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，即，又，所以.故選：D4．（2023·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，是空間的一個單位正交基底，向量，，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在，，下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】可設(shè)向量，，，由此把向量，，分別用坐標(biāo)表示，列方程組解出x，y，z，即可得到的坐標(biāo)．不妨設(shè)向量，，；則向量，，．設(shè)，即，∴解得即在，，下的坐標(biāo)為．故選：C．5.（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】以為頂點作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．【詳解】如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選：C．6．（多選）（2023·高二課時練習(xí)）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以可以得出，，，四點共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：AC．7、（多選）（2022·福建福州·高二期中）如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（

）A． B．C．A，P，三點共線 D．A，P，M，D四點共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量運算判斷AB選項的正確性，根據(jù)三點共線、四點共面的知識判斷CD選項的正確性.【詳解】，A選項錯誤.，B選項正確.則是的中點，，，則不存在實數(shù)使，所以C選項錯誤.，由于直線，所以四點共面，所以D選項正確.故選：BD8．（多選）（2021·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且（，），則，的值可能為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，所以由平面向量基本定理可知：，化簡得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時，，所以選項A不可能；當(dāng)，時，，所以選項B不可能；當(dāng)，時，，所以選項C可能；當(dāng)，時，，所以選項D可能，故選：CD9．（多選）（2022·浙江寧波·高二期末）若，，是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為，則（

）A．的取值范圍是B．能構(gòu)成空間的一個基底C．“”是“P，A，B，C四點共面”的充分不必要條件D．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合空間向量相關(guān)知識逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】因，，是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為，則三棱錐是側(cè)棱長為1的正三棱錐，如圖，作平面于點，連接，則，，，中，由余弦定理得，于是得，A不正確；因，，是不共面的，由空間向量基底的意義知，B正確；假定P，A，B，C四點共面，依題意，存在唯一實數(shù)對使得，即，而，由空間向量基本定理知，此方程組無解，則有P，A，B，C四點不共面，“”是“P，A，B，C四點共面”的不充分不必要條件，C不正確；，D正確.故選：BD二、填空題10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）正方體中，點是上底面的中心，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算，利用表示出，由此可得的值.【詳解】，，，，.故答案為：.11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）四面體OABC的所有棱長都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點，則___________.【答案】【解析】【分析】取定空間的一個基底，用基底表示，，再計算空間向量數(shù)量積作答.【詳解】四面體OABC的所有棱長都等于，則此四面體是正四面體，不共面，，因E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點，則，，所以.故答案為：三、解答題12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A?B?C三點不共線，O為平面ABC外一點.(1)若，判斷??三個向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；(2)若，判斷M是否在平面ABC上；(3