初二數(shù)學(xué)(下)知識點總結(jié)與拓展

初二數(shù)學(xué)（下）知識點總結(jié)與拓展第十六章分式一．知識框架二．知識概念1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。2.分式有意義的條件：分母不等于03.約分：把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分。4.通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。5.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式.約分時,一般將一個分式化為最簡分式.6.分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。7.分式的四則運算：1.同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變，把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c2.異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為：a/b±c/d=ad±cb/bd3.分式的乘法法則:兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd4.分式的除法法則:(1).兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc；(2).除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數(shù):a/b÷c/d=a/b*d/c8.分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.9.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).三、拓展知識點（方法+技巧）：1.分式是分數(shù)的“代數(shù)化”，其性質(zhì)與運算是完全類似的，類比分數(shù)學(xué)分式是學(xué)習(xí)分式的重要方法。2.分式的運算是以分式的基本性質(zhì)、通分和約分的概念、運算法則為基礎(chǔ)，以整式的變形、因式分解為工具。分式的加減運算是分式運算中的重點與難點，怎樣合理地通分是化解這一難點的關(guān)鍵，恰當(dāng)通分的基本策略與技巧有：分步通分；分組通分；先約分再通分；換元后通分等。3.當(dāng)一個分式的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，就可以將分式化為整式部分與分式部分的和，這種變形叫拆分變形，這在分式運算中有非常廣泛的運用。4.分式的化簡求值：先化簡后求值是解代數(shù)式化簡求值問題的基本策略，分式的化簡求值通常分為有條件和無條件兩類。給出一定的條件并在此條件下求分式的值的問題稱為有條件的分式化簡求值，解這類問題，既要瞄準目標，又要抓住條件，既要依據(jù)條件逼近目標，又要能根據(jù)目標變換條件，不但要經(jīng)常用到整式化簡求值的知識、方法，而且還要常常用到如下技巧策略：（1）適當(dāng)引入?yún)?shù)；（2）拆項變形或拆分變形；（3）整體帶入；（4）取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系等。第十七章反比例函數(shù)一.知識框架二．知識概念定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成反比例函數(shù)解析式的特征：⑴等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1.⑵比例系數(shù)⑶自變量的取值為一切非零實數(shù)。⑷函數(shù)的取值是一切非零實數(shù)。反比例函數(shù)的圖像⑴圖像的畫法：描點法列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）描點（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線）⑵反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交。⑶反比例函數(shù)的圖像是是軸對稱圖形（對稱軸是或）。⑷反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線（）上任意引軸軸的垂線，所得矩形面積為。4．反比例函數(shù)性質(zhì)：如下表：的取值圖像所在象限函數(shù)的增減性一、三象限在每個象限內(nèi)，值隨的增大而減小二、四象限在每個象限內(nèi)，值隨的增大而增大5.反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對對應(yīng)值或圖像上一個點的坐標即可求出）6．“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個變量必成反比例關(guān)系。三、典型例題：【例1】如果函數(shù)的圖像是雙曲線，且在第二，四象限內(nèi)，那么的值是多少？【解析】有函數(shù)圖像為雙曲線則此函數(shù)為反比例函數(shù)，（）即（）又在第二，四象限內(nèi)，則可以求出的值【答案】由反比例函數(shù)的定義，得：解得時函數(shù)為【例2】在反比例函數(shù)的圖像上有三點，，，，，。若則下列各式正確的是（A）A．B．C．D．【解析】可直接以數(shù)的角度比較大小，也可用圖像法，還可取特殊值法。解法一：由題意得，，，所以選A解法二：用圖像法，在直角坐標系中作出的圖像描出三個點，滿足觀察圖像直接得到選A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函數(shù)相交于點（），那么該直線與雙曲線的另一個交點為（-1,1）【解析】【例4】如圖，在中，點是直線與雙曲線在第一象限的交點，且，則的值是__4___.解:因為直線與雙曲線過點,設(shè)點的坐標為.則有.所以.又點在第一象限,所以.所以.而已知.所以.第十八章

勾股定理一.知識框架

二.知識概念勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

2.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

3.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）三.應(yīng)用勾股定理易犯的錯誤：（1）忽視題目中的隱含條件例1在Rt△ABC中,a、b、c分別為三條邊,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求邊c的長.誤解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽視了題目中∠B=90°,b是斜邊的隱含條件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c2=b2-a2=42-32=7(cm).（2）忽視定理成立的條件例2在邊長都是整數(shù)的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的長.誤解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:這種解法受“勾3股4弦5”思維定勢的影響,見題中有BC=3,AC=4,就認為AB=5,而忘記了“勾3股4弦5”是在直角三角形的條件下才成立,而本題中沒有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三條邊之間的關(guān)系來解。勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)。在學(xué)習(xí)本章時要在理解勾股定理的前提下，學(xué)會利用這個定理解決實際問題。四.拓展——勾股定理的一些證明方法（了解，拓展思維）：【證法1】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等.即，整理得.【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于.∴.∴.【證法3】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于.∴.∴.【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一個直角梯形，它的面積等于.∴.∴.【證法5】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積∴，即.【證法6】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90o，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即.同理可證，ΔCDB∽ΔACB，從而有.∴，即.第十九章

四邊形一．知識框架二．知識概念1.平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

5.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。7.矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相等。AC=BD

8.矩形判定定理：eq\o\ac(○,1).有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。eq\o\ac(○,2).對角線相等的平行四邊形是矩形。

eq\o\ac(○,3).有三個角是直角的四邊形是矩形。9.菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

10.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

11.菱形的判定定理：eq\o\ac(○,1).一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。eq\o\ac(○,2.)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

eq\o\ac(○,3.)四條邊相等的四邊形是菱形。12.S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對角線）13.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。14.正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

15.正方形判定定理：（1）鄰邊相等的矩形是正方形。（2）有一個角是直角的菱形是正方形。

16.梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。17.直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形18.等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。19.等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

20.等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。三、拓展——四邊形常見輔助線做法（考試重點）：1..平行四邊形中常用輔助線的做法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.2.梯形中常用輔助線的做法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。第二十章數(shù)據(jù)的分析一．知識框架二．知識概念1.加權(quán)平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)的計算公式。權(quán)的理解:反映了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程度。2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)