《旋轉(zhuǎn)》中的雙等腰模型(專項(xiàng)練習(xí))

專題23.10《旋轉(zhuǎn)》中的雙等腰模型(專項(xiàng)練習(xí))

一、解答題

1.如圖，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角AA3E和等腰直角AACD.

使AE=AB,AD=AC，N^4E=NC4D=90°,連接BD、CE,可以通過(guò)全等三角形

的知識(shí)證得BD與CE相等.

(1)如圖，銳角A43C中分別以AB、AC為邊向外作等腰ZVIBE和等腰△AC。，AE=AB,

AD=AC，ZBAE=ZCAD=90°,連接BD、CE,試猜想BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

(2)如圖，在中AABC,ZACB=45°,以AB為直角邊，A為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角

△ABD,連接CD,若AC=4i,BC=3,求CD的長(zhǎng).

(3)如圖，在四邊形中ABCD,/4。。=60。,8。=15,48=8,4。=?！?,求BD的最

大值.

D

2.［發(fā)現(xiàn)］:(1)如圖1.在△ABC中，AB=AC9N8AG90。，過(guò)點(diǎn)A作A”_1_8C于點(diǎn)兒

求證：AH=—BC.

2

［拓展］:(2)如圖2.在AA8C和△AOE中，AB=AC,AD=AE,且N84C=ND4E=90。，點(diǎn)

D、B、C在同一條直線上，A”為AABC中BC邊上的高，連接CE.則NOCE的度數(shù)為

,同時(shí)猜想線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

［應(yīng)用］:(3)在圖3、圖4中.在AABC中，AB=AC,且/BAC=90。，在同一平面內(nèi)有一點(diǎn)

P,滿足PC=1,PB=6,且NBPC=90。，請(qǐng)求出點(diǎn)A到8P的距離.

3.△ABC中ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)，

以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.

圖1圖2

（1）觀察猜想:如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),AC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為；

（將結(jié)論直接寫在橫線上）

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，不

需證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.

4.在中，==在直線4?上，且A/N2=AM2+8N2.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)",N在線段ABti時(shí)，求證：ZMCN=45°.

圖2

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在84的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)N在線段A8上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成

立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖，已知RMABC中，AB=AC=2,點(diǎn)。為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合）,以

A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形AOE（點(diǎn)A,D,E按逆時(shí)針順序排列），連結(jié)CE.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①求證：BD=CE；

②請(qǐng)?zhí)接懰倪呅蜛DCE的面積是否有變化；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在直線8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出CQ,C8與CE之間的數(shù)量關(guān)系.

6.感知：如圖①，已知正方形ABC。的邊CO在正方形OER7的邊OE上，連結(jié)AE、CG,

易證△AED^ZXCGD.（不需要證明）

D

圖①圖②圖③

探究：將圖①中正方形OEFG繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在8c邊上，如圖②.連

結(jié)AE、CG,證明：AE^CG.

應(yīng)用：如圖③，正方形ABCD中,AD=3，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,B￡=1,DE=DF,NEDF=90°.直

接寫出點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離.

7.如圖，已知C4=C8,CF=CE,NACB=/FCE=90。，且A、F、E三點(diǎn)共線，AE與

CB交于點(diǎn)、D.

(1)求證：4/+A￡2=A"

(2)若AC=歷，BE=3,則CE=.

8.已知：如圖1,AAOB和ACOD都是等邊三角形.

(1)求證：①AC=BD；②NAPB=60。；

(2)如圖2,在AAOB和ACOD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,則AC

與BD間的等量關(guān)系為_,NAPB的大小為

B1圖2

9.在AABC中，AB=4C,點(diǎn)。是直線上一點(diǎn)(不與8、C重合)，以AO為一

邊在AO的右側(cè)作A4)￡，使=ZDAE=/BAC,連接CE.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上，如果NBAC=90°,則4CE=度.

(2)設(shè)NBAC=a,4BCE=/3.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)Z)在線段6C上移動(dòng)時(shí)，a、夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)

論.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，夕、夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

10.如圖，己知AM=CN,8在MN的垂直平分線上，NAMB=NCNB,NMBN=90。.證

明：△48C為等腰直角三角形.

11.已知如圖所示，直線y=x+2交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)A,尸是線段AB(不包括

A，B)上一動(dòng)點(diǎn)，以為底邊在直線AB的左側(cè)作等腰直角三角形△上8尸，G為AE的

中點(diǎn)，連結(jié)EG,OG,OE,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷AGOE的形狀并證明.

12.已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC,DA=DE,連

接EC,取EC的中點(diǎn)M,連接BM和DM.

(1)如圖1,如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系

是________

(2)將圖1中的AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,

并說(shuō)明理由.

13.探究：

⑴如圖①，在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90,作CM平分NACB交AB于點(diǎn)M,點(diǎn)

D為射線CM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接DE

交射線CB于點(diǎn)F,連接BD、BE

填空：

①線段BD、BE的數(shù)量關(guān)系為.

②線段BC、DE的位置關(guān)系為.

推廣：

(2)如圖②，在等腰三角形ABC中，頂角NACB=a,作CM平分NACB交AB于點(diǎn)M,點(diǎn)D

為4ABC外部射線CM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度得到線段CE,

連接DE、BD、BE請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由.

應(yīng)用：

(3)如圖③，在等邊三角形ABC中，AB=4.作BM平分/ABC交AC于點(diǎn)M,點(diǎn)D為射線

BM上一點(diǎn)，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將線段BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BE,連接DE交射線

BA于點(diǎn)F,連接AD、AE.當(dāng)以A、D、M為頂點(diǎn)的三角形與△AEF全等時(shí)，請(qǐng)直接寫出

DE的值.

14.己知AACB為等腰直角三角形，點(diǎn)P在BC上，以AP為邊長(zhǎng)作正方形APEF,

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求NEBP；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求NEBP.

15.在RtAABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到AE.

(1)連接EC,如圖①，試探索線段BC,CD,CE之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)連接DE,如圖②，求證：BD2+CD2=2AD2

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=VI5，CD=1,則AD

的長(zhǎng)為____￡.(直接寫出答案)

圖①圖②圖⑤

16.如圖，AEB尸為等腰直角三角形，點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)，四邊形A8CC是正方形.

(1)求證：AABEgACBF；

⑵CF與AE有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

17.如圖所示，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,。、￡分別是A3、AC邊的

中點(diǎn).將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0。<1<180。)，得到AAB'C(如圖所示).

(1)探究。3'與EC'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(2)當(dāng)。夕〃A石時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

18.已知RSOAB和RSOCD的直角頂點(diǎn)0重合，/AOB=NCOD=90。，且OA=OB,

OC=OD.

(1)如圖1,當(dāng)C、D分別在OA、0B上時(shí)，AC與BD的數(shù)量關(guān)系是ACBD(填

或AC與BD的位置關(guān)系是ACBD(填“〃”或“_L”)；

(2)將Rt^OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D在OA上，如圖2,連接AC,BD,求證：

AC=BD；

(3)現(xiàn)將RtaOCD繞點(diǎn)。順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3,連接AC,BD,猜想AC與BD的數(shù)

量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明.

（1）連結(jié)5E,CD,求證：BE=CD；

（2）如圖所示，將84BZ）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AAB'。.

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為度時(shí)，邊AD'落在AE上；

②在①的條件下，延長(zhǎng)DD交CE于點(diǎn)P,連結(jié)8。'，8'.當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)

量關(guān)系時(shí)，與△CP￡>'全等？并給予證明.

20.如圖，AAPB中，AB=2,NAPB=90'，在AB的同側(cè)作正^ABD、正AAPE和

21.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，AABC與AADE是等邊三角形，且點(diǎn)B,D，E在同一直線上，連接CE,求

N8EC的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系.

（2）拓展探究：

如圖②，AABC與都是等腰直角三角形，N84C=NZME=90。，且點(diǎn)8,D,

E在同一直線上，AFLBE于點(diǎn)F,連接CE,求ZBEC的度數(shù)，并確定線段AE,BF,

CE之間的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖，AAOB,△COD是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AB上,

(1)求證：△AOCgz^BOD；

(2)若AD=3,BD=1,求CD.

23.如圖，△ABC中，AB=AC=1,NBAC=45。，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE,CF相交于點(diǎn)D,

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng).

D'

3C

參考答案

1.(1)BD=CE,證明見(jiàn)解析；(2)如；(3)23.

【分析】

(1)由等腰三角形的性質(zhì)解得AE=AB,A￡>=AC,NBAE=NC4￡>,繼而可證

NEAC=NBAD及AEAC^BAD(SAS),再由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解題；

(2)過(guò)A作AE_LAC交8C于點(diǎn)E，連接。E，先證明4c是等腰直角三角形，得到

AE=AC，NDAE=NBAC，再證明絲ABAC(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得到

DE=BC=3,ZDEA=ZBCA=45°,接著在等腰直角三角形E4C中，由勾股定理解得

EC2=AC2+AE2=2AC2.最后在RtADEC^,由勾股定理即可解得CD的長(zhǎng)；

(3)先證明△AC。為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，ACCD,ZACD=60°

將VBC4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到?D,連接BE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

DE=AB=8,BC=EC=\5,繼而證明ABCE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到

BE=BC=75,最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題即可.

【詳解】

解：(1)石和△AC。是等腰三角形，

AE=AB,AD=AC,NBAE=ZCAD,

ZBAE+ZBAC=ZCAD+ABAC,

即：ZEAC=NBAD，

在△E4C中4BAD中

AE=AB

<ZEAC=NBAD,

AC=AD

絲ABAZXSAS),

CE=BD：

(2)如圖(1)所示，過(guò)A作A￡J_AC交BC于點(diǎn)E,連接。石，

D

_______Ac

"圖⑴

-.?ZACfi=45°,AE±AC,

.-.Z￡4C=90o,

.?.△E4c是等腰直角一角形，

AE=AC,

又?.?△A3。是等腰直角三角形，

/.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ABAD=ZEAC=90°<

：.ZBAD+ZBAE=ZEAC+ZBAE,

即：ZDAE=ZBAC，

在△D4E和△區(qū)4c中

AD^AB

<NDAE=ABAC,

AE^AC

:.ADAE包BAC(SAS),

DE=BC=3,NDEA=NBCA=45°,

在等腰直角三角形E4C中，ZAEC=45°，

ZDEC=ADEA+ZAEC=90°,

由勾股定理得：EC2=AC2+AE2=2AC2-

在Rt/XOEC中，由勾股定理得：

CD=yjDE2+EC2=V9+4=V13；

(3)?.?AO=SZADC=60°,

AACD為等邊三角形,

AC=CD,ZACD=60°,

如圖（2）所示，將VBC4繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△￡1◎□，連接8E,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：DE=AB=8,BC=EC=15

NBCE=6（）。，

???ABCE是等邊三角形，

BE=BC=",

又;.BE+DENBD,即8。43石+?！?15+8,

即30W23,

二3。的最大值為23.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.（1）證明見(jiàn)解析；（2）NOCE的度數(shù)為90。，CE+2AH=CD,理由見(jiàn)解析；（3）之或

2

7

2'

【分析】

發(fā)現(xiàn)：根據(jù)同角的余角相等可得NCAH=NB,根據(jù)AAS證明三角形全等，再根據(jù)全等三角

形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得結(jié)論：

拓展：證明AADB絲△AEC,即可得/DCE的度數(shù)為90。，線段AH、CD、CE之間的數(shù)量

關(guān)系；

應(yīng)用：如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AH1BP于點(diǎn)H,連接AP,過(guò)A作AD垂直于AP,交PB「點(diǎn)D,

可得△APC0Z\ADB,得BD=CP=1,根據(jù)DP=BP-BD=6-1=5,AH_LDP,即可得點(diǎn)A到BP

的距離；同理如圖4,過(guò)點(diǎn)A作AHLBP于點(diǎn)H,

連接AP,將^APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到△ADB,可得DP=BP+BD=6+1=7,進(jìn)而可得

點(diǎn)A到BP的距離.

【詳解】

解：發(fā)現(xiàn)：（1）證明:

VAH1BC,NBAC=90。，

.??ZAHC=90°=ZBAC.

.?./BAH+/CAH=90。，ZBAH+ZB=90°.

NCAH=/B,

在△ABH和^CAH41.

NCAH=NB

<NAHC=NBHA,

AB=CA

.,.△ABH絲ZXCAH.(AAS).

；.BH=AH,AH=CH.

AAH=—BC.

2

拓展：/DCE的度數(shù)為90。，

線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+2AH=CD,

理由如下：

VZDAB+ZBAE=90°,ZEAC+ZBAE=90°,

AZDAB=ZEAC,

TAD=AE,AB=AC,

.'.△ADB^AAEC(SAS),

AZABD=ZACE,

'：AB=ACfNBA090。

AZABC=ZACB=45°,

，NABD=135。，

JZDCE=90°；

YD、B、C三點(diǎn)共線，

.'.DB+BC=CD,

VDB=CE,AH=—BC,

.'.CE+2AH=CD.

57

應(yīng)用：點(diǎn)A到BP的距離為：一或一.

22

理由如下：

如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AH_LBP于點(diǎn)H,連接AP,作NPAD=90。，交BP于點(diǎn)D,

AZBAC=ZDAP=90°,

AZBAD=ZCAP,

ZBDA=ZAPC=90°+ZAPD,

.'.△APC^AADB(AAS),

ABD=CP=1,

.\DP=BP-BD=6-I=5,

VAH±DP,

,15

，AH二一DP二一；

22

如圖4,過(guò)點(diǎn)A作AH1.BP于點(diǎn)H,

作NPAD=90。，交PB的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)D,

AZBAD=ZCAP,

VZBAC=90°,ZBPC=90°,

.'.ZACP+ZABP=180°,

/.ZACP=ZABD,

VAB=AC,

.,.△APC^AADB(AAS),

.1.BD=CP=1

；.DP=BP+BD=6+1=7.

VAH±DP,

17

.,.AH=—DP=-.

22

57

綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為：一或一.

22

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形綜合題，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

3.(1)CD+CF=0AC；(2)不成立，CD-CF=V2AC；理由見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NDAF=90。,AD=AF,利用同角的余角相等可得NBAD=/CAF,

利用SAS可證明ABAD絲ZXCAF,可得CF=BD,即可得出BC=CD+CF,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)可得BC=0AC,進(jìn)而可得答案；

(2)同(1)可證明△BAD絲aCAF,可得BD=CF,即可得出CD=BC+CF,根據(jù)等腰直角

三角形的性質(zhì)可得BC=0AC,可得CD-CF=0AC,即可得答案.

【詳解】

(I)???四邊形ADEF是正方形，

ZDAF=90°,AD=AF,

?,.ZCAF+ZDAC=90°,

VZBAC=90°,

/.ZBAD+ZDAC=90o,

；./BAD=/CAF,

AB^AC

在小BAD和小CAF中，＜/BAD=ZCAF,

AD=AF

.,.△BAD^ACAF,

；.CF=BD,

；.CD+CF=CD+BD=BC,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.BC=V2AC,

.-.CD+CF=V2AC.

故答案為：CD+CF=0AC

(2)不成立，CD-CF=V2AC.理由如下：

同(1)可證△BADgZ\CAF,

；.CF=BD,

；.CD=BC+BD=BC+CF,

；BC=0AC,

；.CD-CF=&AC.

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

4.(1)證明見(jiàn)解析；(2)成立，證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)將AACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"，得到ABCM',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性

質(zhì)證明&VBM'為直角三角形，可證明MN=M'N,利用全等三角形的判定(SSS)可證

明ACMN三ACM'N(SSS),即可證得NMCN=|NMCM'=45°；

(1)仿照(1)中方法將ACM4繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACDB,證明M)BN為直角三

角形，再證DN=MN,進(jìn)而證明ACMNMACZ)N(SSS)即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖1,AC=BC,ZACB=90°,

將/SACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到XBCM',

則八4。/三△NCM',

ZACM=NBCM',CM=CM',AM=BM',

連接MW,

NC4M=NC7W45。，

4M'BN=ZCBM'+ZCBA=90°，

.?.ANBM'為直角三角形，

NM12=BN2+BM'2=BN2+AM2,

又,；MN?=AM?+BN?，

:.MN=M'N.

CM=CM'

在△CMN和ACM'N中，MC=M'N,

CN=CN

\CMNs^CM'N(SSS),

：.ZMCN=ZM'CN,

：.NMCN=-NMCM'=45°,

2

即NMCN=45";

(2)如圖2,AC=BC,ZACB=90°，

將ACM4繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到XCDB,

ACMA=ACDB,

CM=CD,AM=BD,ZCAM=ZCBD=135°,

/.NDBN=ZCBD-ZCBA=90°.

；.ADBN為直角三角形,

DN2=BD2+BN2=AM2+BN"

又MN?=AM、BN?，

：.DN=MN,

CM=CD

在ACMN和ACDN中,CN=CN,

MN=DN

ACMN豈ACDN(SSS),

ZMCN=4DCN=-NMCD=45°,

2

NMCN=4S.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,

熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)△ACM構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)

鍵.

5.(1)①見(jiàn)解析；②四邊形AOCE的面積不變；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，CB=CE+

CD；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)-，CB=CE-CD；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，CB=CD-CE

【分析】

(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,從而得

出/BAD=/CAE,然后利用SAS即可證出△BADgZ^CAE,從而得出BD=CE；

②根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出SAABC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

SABAD=SACAE,然后根據(jù)S四以杉ADCE=SACAE+SAADC和等量代換即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)D的位置分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)（1）①中證全等的方法和全

等三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）①..,△ABC和△ADE都是等腰宜角三角形

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°

ZBAD+ZDAC=90°,ZCAE+ZDAC=90°

.\ZBAD=ZCAE

在^BAD和4CAE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD^AE

/.△BAD^ACAE

；.BD=CE；

②；己知RtAABC中，AB=AC=2,

SAABC=—ABAC=2

2

,/△BAD^ACAE

?'?SABAD-SACAE

??S樽邊彩ADCE=SACAE+SAADC=SABAD+SAADC=SAABC=2

四邊形AOCE的面積不變；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如下圖所示

由（1）①的結(jié)論知BD=CE

；.CB=BD+CD=CE+CD；

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如下圖所示

E

,?'△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=90°

.,.ZBAD-ZDAC=90°,ZCAE-ZDAC=90°

/.ZBAD=ZCAE

在4BAD和4CAE中

AB^AC

ZBAD=ZCAE

AD=AE

.'.△BAD^ACAE

BD=CE

,\CB=BD-CD=CE-CD；

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如下圖所示

VAABC和小ADE都是等腰宜角三角形

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°

.".ZBAD=ZDAC-90°,ZCAE=ZDAC-90°

?,.ZBAD=ZCAE

在4BAD和ACAE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD^AE

.".△BAD^ACAE

.,.BD=CE

ACB=CD-BD=CD-CE.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，CB=CE+CD；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，CB=CE—CD；

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，CB=CD-CE.

【點(diǎn)撥】此題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形的面積公

式，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想和三角形

的面積公式是解決此題的關(guān)鍵.

6.探究：證明見(jiàn)解析；應(yīng)用：點(diǎn)尸與點(diǎn)C的距離為所.

【分析】

探究：結(jié)合旋轉(zhuǎn)模型，利用“邊角邊”證明△曲名△CGD即可得出結(jié)論；

應(yīng)用：連接FC,根據(jù)前序問(wèn)題中的方法證明△AED^/\CFD,從而得到CF=AE,即在R。AED

中求解AE即可.

【詳解】

探究：證明：在正方形ABCO和正方形。及G中，

AD=CD,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°

：.ZADE=/CDG，

：.^AED^^CGD,

，AE=CG；

應(yīng)用：連接尸C,

,/ZEDF=ZADC=90°,

：.ZADE=ZCDF,

y.'：AD=CD,DE=DF,

CF=AE,

在R/AAEO中，AE7AB'BE?二曬，

.?.點(diǎn)尸與點(diǎn)c的距離為

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握基本的旋轉(zhuǎn)模型，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

求解問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

7.(1)見(jiàn)解析；(2)V2

【分析】

(1)如圖1中，欲證明4尸=8E,只要證明△ACF絲AiBCE即可.

(2)如圖1中，由AACF四△BCE,推出NAFC=/CEB,由NCFE=NCEF=45。，推出

NAFC=NCEB=135。，推出NAE8=90。，由AC=8C=后，推出BC=0AC=V^,

在RgAEB中，AE=[AB?-BE?=4^^=5，推出石尸=2,由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

(1)證明：如圖中，

YZACB=ZFC￡=90°,

二ZACF=ZBCE,

在A4(:尸和48CE中，

CA=CB

<ZACF=NBCE,

CF=CE

：.AACF^ABCE(SAS),

：.AF=BE,

:./CAF=NCBE,

'：ZCAE+ZEAB+ZABC=90°,

：.ZEAB+ZABC+ZCBE=90°,

二ZAEB=90°,

在RtAAEB中，BE?+AE^=AB2

：.AF，1+AEr=AB-,

(2)VAACF^A^CE,

/.NAFC=NCEB,

'：ZCFE=ZCEF=45°,

：.ZAFC=ZCEB=\35°9

：.NA仍=90。，

AC=BC=Vn，

?*-AB=5/2AC=J34，

在中，AE=^AB2-BE2=734-9=5*

VAF=B￡=3,

:?EF=2,

：.CE=^LEF=^.

2

故答案為：y/2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練

掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析；(2)AC=BD,a

【分析】

(I)①根據(jù)△AOB和ACOD都是等邊三角形，求出NAOC=NBOD,根據(jù)SAS推出

△AOC絲△BOD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD；

②由AAOC絲△BOD,可得NCAO=NDBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和可知

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,推出/APB=/AOB即可；

(2)根據(jù)NAOB=NCOD=a,求出/AOC=NBOD,根據(jù)SAS推出△AOC色△BOD,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD,ZCAO=ZDBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和可知

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,推出NAPB=NAOB即可.

【詳解】

證明：（1）①?.,△AOB和ACOD都是等邊三角形,

.\OA=OB，OC=OD,ZAOB=ZCOD=60°,

ZAOC-ZBOD,

在^AOC和^BOD中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

/.△AOC^ABOD(SAS),

；.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

②設(shè)AC與BO交于E,

VAAOC^ABOD,

AZCAO=ZDBO,

,/ZAEO=ZBEP,

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,

.,.ZAPB=ZAOB=60°.

Ri

(2)AC=BD,ZAPB=a,

理由如下：VZAOB=ZCOD=a,

.*.ZAOC=ZBOD,

在小AOC和4BOD中，

OA=OB

,NAOC=NBOD,

OC=OD

.,.△AOC^ABOD,

；.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

設(shè)AC與BO交于E,

VZAEO=ZBEP,

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,

/APB=NAOB=a,

故答案為AC=BD,a.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形旋轉(zhuǎn)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握三角形旋轉(zhuǎn)，

三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵.

9.(I)90；(2)①a+尸=180。，理由見(jiàn)解析；②a=理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/ABC=NACB=45。，由“SAS”可證△BAD絲Z\CAE,可

得/ABC=/ACE=45。，可求/BCE的度數(shù)；

(2)①由“SAS”可證△ABD絲4ACE得出/ABD=NACE,再用三角形的內(nèi)角和即可得出

結(jié)論：

②由“SAS”可證△ADB^AAEC得出NABD=NACE,再用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)

論.

【詳解】

(1)VAB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=ZACB=45°,

：/DAE=/BAC,

；./BAD=/CAE,

在4BAD和4CAE中

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

.".△BAD^ACAE(SAS)

/.ZABC=ZACE=45°,

ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

故答案為:90：

(2)①a+4=180。.

理由：VZBAC=ZDAE,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBAD=NCAE.

在△人8口與^ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZC4￡,

AD=AE

.'△ABD絲△ACE(SAS),

；./B=/ACE.

ZB+ZACB=ZACE+ZACB.

VZACE+ZACB=p,

.\ZB+ZACB=p,

；a+NB+/ACB=180。，

o

.'.a+P=l80;

②當(dāng)點(diǎn)。在射線SC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=(3.

理由如下：

?；ZDAE=/BAC，

；?ZDAB=ZEAC,

在4ABD^AACE中，

"AB=AC

"NBAD=NCAE,

AD=AE

(SAS),

ZABD=ZACE,

,/ZABD=ABAC+ZACB，ZACE=ZBCE+ZACB,

；?ABAC=ZABD-ZACB，ZBCE=ZACE—ZACB,

:.NBAC=ZBCE,即a=￡.

【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定

理，以及三角形外交的性質(zhì)，證明△ABD/4ACE是解本題的關(guān)鍵.

10.見(jiàn)解析

【分析】

由題意先證明△ABMgACBN(SAS)的長(zhǎng)AB=CB,ZABM=ZCBN,則NCBN+NABN

=/ABM+/ABN=NMBN=90。，即NABC=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】

證明：\?點(diǎn)B在MN的垂直平分線上，

，BM=BN,

AM=CN

在^ABM和^CBN中，＜NAMB=Z.CNB,

BM=BN

.,.△ABM^ACBN(SAS),

.?.AB=CB,ZABM=ZCBN,

ZCBN+ZABN=ZABM+ZABN=ZMBN=90°,

即NABC=90。，

/.△ABC為等腰直角三角形.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定以及線段垂直平分線的

性質(zhì)，由題意先證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

11.AGOE為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)EG到“，使G"=￡G,連結(jié)AH，OH,山條件證明AAGH，進(jìn)一步可

得AHAO三AEBO,所以可證AEO”為等腰直角三角形，又EG=GH，所以AGOE為

等腰直角三角形.

【詳解】

△GOE為等腰直角三角形

證明：延長(zhǎng)EG到“，使GH=EG,連結(jié)AH,OH,如圖，

???G為AF的中點(diǎn)，

，AG=FG,

又/AGH=/FGE,

.?.△AGH也ZXFGE,

；.EG=HG,AH=FE,

由y=x+2可得，AO=BO=2,

VEF=EB,

AAH=EB

\HAO^^EBO

.*.EO=HO,ZBOE=ZHOA,

ZBOE+ZEOA=90°,

，ZHOA+ZAOE=90°,

...△HOE是等腰直角三角形，

又EG=GH,

所以AGOE為等腰直角三角形.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)，正確利用全等三角形的

判定是解題關(guān)鍵.

12.1）BM=DM，BM工DM；（2）成立，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半：得出BM=DM='EC,再利用/1=/2,

2

N3=/4,NBMD=2（ZI+Z3）,即可得出答案；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)首先得出/8=NBAD,再利用SAS證明△ABD絲ZiCBF,進(jìn)而得Hl

BD=BF,ZABD=ZCBF,ZDBF=ZABC=90°,即可得出BM與DM的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)

系.

【詳解】

(1)如圖1；

?；M是EC的中點(diǎn)，

,,.BM=-EC,DM=-EC,(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，

22

；.DM=BM.

；M是EC的中點(diǎn)，

；.MC」EC,

2

；.BM=MC=DM,

,,.Z1=Z2,N3=N4,

VZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

，/BMD=2(Z1+Z3),

???△ABC等腰直角三角形，

ZBCA=45°,

.\ZBMD=90°,

；.BM=DM且BMJ_DM；

故答案為：BM=DM且BMJ_DM.

(2)成立.

理由如下：延長(zhǎng)DM至點(diǎn)F,使MF=MD,連接CF、BF、BD.

圖2

CM=EM

?；<NCMF=NEMD

DM=MF

.,.△EMD^ACMF(SAS),

；.ED=CF,ZDEM=Z1.

VAB=BC,AD=DE,且NADE=/ABC=90。，

；./2=/3=45。，N4=N5=45°.

ZBAD=Z2+Z4+Z6=90°+Z6.

?/Z8=360°-Z5-Z7-Z1,Z7=180°-Z6-Z9,

AZ8=360°-45°-(1800-Z6-Z9)-(Z3+Z9),

=360。-45。-180°+Z6+Z9-45°-Z9=90°+Z6.

N8=NBAD.

在△ABD和ZkCBF中，

CF=AD

?/-N8=NBAD,

AB=BC

.,.△ABD^ACBF(SAS),

；.BD=BF,ZABD=ZCBF.

/DBF=NABC=90。.

：MF=MD,

；.BM=DM且BM_LDM.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)，正確利用全等三角形的

判定得出4ABD^ACBF是解題關(guān)鍵.

13.(1)①BD=CE；②BDJ_CE；⑵結(jié)論:(1)中的結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析；(3)滿足條件

的DE的值為迪或4G.

3

【解析】

【分析】

①由CA=CB,ZACB=90°,CM平分/ACB,得出/ECF=/DCF=45。，易證△CBD^ACBE,

即可得出BD=BE；

②由CD=CE即可得出BC±DE.

(2)由CA=CB,NACB=a,CM平分/ACB,得出/ECF=NDCF=^a,易證△CBD^ACBF,

2

即可得出BD=BE,再由等腰三角形的性質(zhì)得出BC1DE.

(3)分兩種情況，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及三角函數(shù)即可得出.

【詳解】

⑴如圖①中，

①

VCA=CB,ZACB=90°,CM平分/ACB,

?,.ZACM=ZBCM=45°,

,/ZECD=90°,

ZECF=ZDCF=45°,

VCD=CE,CB=CB,

.,.△CBD^ACBE(SAS),

；.BD=BE,

VCD=CE,

；.BC垂直平分線段DE,

ABCIDE.

故答案為BD=CE,BD1CE.

(2)結(jié)論：(1)中的結(jié)論仍然成立.

理由：如圖②中,

VCA=CB,ZACB=a,CM平分NACB,

AZACM=ZBCM=-a,

2

ZECD=a,

工ZECF=ZDCF=-a,

2

VCD=CE,CB=CB,

AACBD^ACBF(SAS),

ABD=BE,

VCD=CE,

ABC垂直平分線段DE,

???BC1DE.

(3)如圖③中,

當(dāng)AAFE咨ZiAMD時(shí)，AF=AM,

VZAFD=ZAMD=90°,

VAD=AD,

.'.RtAADF^RtAADM(HL),

AZDAF=ZDAM=30°,

.*.ZDBA=ZDAB=30o,

???DA=DB,

VDF±AB,

AZBDF=60°,BF=AF=2,

,:BD=BE,

???△BDE是等邊三角形，

DF=EF=BF?tan30°=,

3

DE=2EF=^i.

3

如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D在AM的延長(zhǎng)線時(shí)，易證AF=AM=2,DE=2DF=46.

圖。-1

綜上所述，滿足條件的DE的值為生叵或4G.

3

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握性質(zhì)定理.

14.(1)135°；(2)45°

【分析】

(1)過(guò)E作CB垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,可證△ACP^APEM,得出EM=PC,AC=PM,

得出BM=EM,得出NEBM=45。，求得/EBP；

(2)類比(1)的方法同樣過(guò)E作CB垂線，垂足M,最后得出BM=EM,得出/EBM=45。

得出結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖,

圖①

過(guò)E作CB垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

???四邊形APEF是正方形，

ZAPE=90°,AP=PE,

ZAPC+ZPAC=ZAPC+ZEPM=90°,

ZPAC=ZEPM,

在4ACP和小PEM中，

ZPAC=ZEPM

<NC=NM,

AP=PE

.,.△ACP^APEM,

；.AC=MP,PC=EM,

：AC=BC,

BC=MP,

；.PC=BM,

；.BM=EM,

NEBM=45°,

；.NEBP=135°.

(2)如圖,

A

圖②

作EM_LCB,垂足為M,

；四邊形APEF是正方形，

/.ZAPE-900,AP=PE,

ZAPC+ZPAC=ZAPC+ZEPM=90°,

；./PAC=NEPM,

在△ACP和APEM中，

ZPAC=ZEPM

<4C=NM,

AP=PE

.,.△ACP^APEM,

；.AC=MP,PC=EM,

VAC=BC,

ABC=MP,

；.PC=BM,

；.BM=EM,

/./EBM=45。.

【點(diǎn)撥】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，利

用三角形全等的證明方法得出三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.(1)BC=DC+EC,理由見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)指

【分析】

(1)根據(jù)本題中的條件證出4BAD^ACAE(SAS),得至BD=CE,再根據(jù)條件即可證出結(jié)

果.

(2)由(1)中的條件可得NDCE=NACE+NACB=90。，所以CE2+CD2=ED2,可推出

BD2+CD2=￡￡)2,再根據(jù)勾股定理可得出結(jié)果.

(3)作AEJ_AD.使AE=AD,連接CE,DE,可推出△BADgZMZAE(SAS),所以BD=CE=VI5,

再根據(jù)勾股定理求得DE.

【詳解】

解：(1)結(jié)論：BC=DC+EC

理由：如圖①中，

VZBAC=ZDAE=90°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD=/CAE,

在^BAD和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

AD^AE

.二△BAD絲Z\CAE(SAS);

BD=CE,

，BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下：連接CE,

圖②

由(1)得，ABAD^^CAE,

；.BD=CE,ZACE=ZB,

ZDCE=ZACE+ZACB=90°,

.".CE2+CD2=ED2,

即：BD2+CD2=ED2;

在RtAADE中,AD?+AE2=ED2,又AD=AE,

.1.ED2=2AD2:

?,.BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的長(zhǎng)為癡（學(xué)生直接寫出答案）.

作AE1.AD,使AE=AD,連接CE.DE,

,/ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=NCAE,

在ABAD與△CAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE.

AABAD^ACAE(SAS),

BD=CE=-s/f3，

???ZADC=45°,ZEDA=45°,

AZEDC=90°,

.?.DE2=CE2-CD2=(V13)2/2=|2,

；.DE=2G

ZDAE=90°,AD2+AE2=DE2-

AD=瓜.

【點(diǎn)撥】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬

于中考?jí)狠S題.

16.（1）見(jiàn)解析；（2）CFLAE,理山見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=BF,ZEBF=90°,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出

AB=BC,ZABC=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到NEBA=NCBF,最后根據(jù)SAS證明結(jié)果；

(2)延長(zhǎng)CF,交AE于點(diǎn)G,根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得出NAEB+NBFG=180。，再根據(jù)四邊形內(nèi)

角和得出NEGF+/EBF=180。，從而可得NEGF=90。，即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：(1)為等腰直角三角形，

；.BE=BF,ZEBF=90°,

則NEBA+NFBA=90°,

???四邊形ABCD為正方形，

；.AB=BC,ZABC=90°,則NABF+NCBF=90°,

.,.ZEBA=ZCBF,

又；BE=BF,AB=BC,

.,.△ABE絲△C8F(SAS)；

(2)延長(zhǎng)CF,交AE于點(diǎn)G,

由(1)得：ZCFB=ZAEB,

?.*ZCFB+ZBFG=180°,

.,.ZAEB+ZBFG=180°,

，ZEGF+ZEBF=180°,

?:NEBF=90°,

ZEGF=90°,

ACFIAE.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，