2023北京西城初三（上）期末數學試卷含答案

2023北京西城初三（上）期末

數學

滿分100分，考試時間120分鐘.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.二次函數y=（x-2）2+3的最小值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的文化底蘊，是中華民族文化的一個組成部分，在中國傳統(tǒng)社會中，扇面形狀

的設計與日常生活中的圖案息息相關，下列扇面圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是

（）

3.下列事件中是隨機事件的是（）

A.明天太陽從東方升起

B.經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈

C.平面內不共線的三點確定一個圓

D.任意畫一個三角形，其內角和是540°

4.如圖，在O。中，弦AB，CD相交于點P,乙4=45°,ZAPD=SO°,則的大小是（）

A.35°B.45°C.60°D.70°

5.拋物線＞=-2/+1通過變換可以得到拋物線y=-2（x+lp+3,以下變換過程正確的是（）

A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

D.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

6.要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都只賽一場），計劃安排15場比賽，如果設邀請

x個球隊參加比賽，那么根據題意可以列方程為（）

A.2x=15B.X（X+1）=15C.x（x-l）=15D.~^=15

7.如圖，在等腰4WC中，NA=120°,將繞點C逆時針旋轉a（0°<a<90°）得到ACDE,當

點A的對應點。落在BC上時，連接3E,則的度數是（）

()

7788

A.—<攵<2B.—<攵<2C.2<Z<—D.2Vz<—

6633

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.一元二次方程16=0的解是.

10.已知。。的半徑為5,點P到圓心。的距離為8,則點尸在。O（填“內”“上”或“外”）.

11.若關于x一元二次方程d+3x+c=0有兩個相等的實數根，則。的值為.

12.圓心角是60。的扇形的半徑為6,則這個扇形的面積是.

13.點M（3,〃z）是拋物線y=Y-%上一點，則加的值是，點M關于原點對稱的點的坐標是

14.已知二次函數滿足條件：①圖像象過原點；②當x>l時，）'隨x的增大而增大，請你寫出一個滿足上

述條件的二次函數的解析式：.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點A（夜,0）為圓心，1為半徑畫圓，將?4繞點。逆時針旋轉

。（0。＜&＜180。）得到。A,使得OA與＞軸相切，則a的度數是

16.如圖，是。。的直徑，C為。。上一點，且A3L0C,2為圓上一動點，M為”的中點，連

接CM，若。0的半徑為2,則CM長的最大值是

三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-23題5分，第24-26

題，每題6分，第27-28題，每題7分）

17.解方程：X2-4X+2=0

18.已知：點A,13,。在。。上，且N84C=45°.

求作：直線/，使其過點C,并與相切.

作法：①連接OC；

②分別以點8,點C為圓心，。。長為半徑作弧，兩弧交于外一點。；

③作直線co.

直線co就是所求作直線/.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面證明.

證明：連接08,BD，

OB=OC=BD=CD，

...四邊形OBOC菱形，

?.?點A,B,C在。0上，且4847=45°,

；.NB0C=0（）（填推理的依據）.

四邊形OBDC是正方形，

AZOCD=9（）0,即0CLCD,

V。。為半徑，

...直線8為。0的切線（）（填推理的依據）.

19.已知二次函數y=x?-2x-3.

（1）將丁=尤2-2%-3化成曠=。（萬一〃）2+左的形式，并寫出它的頂點坐標；

（2）在所給的平面直角坐標系中畫出此函數的圖象；

（3）當-l<x<2時，結合圖象，直接寫出函數值V的取值范圍.

20.如圖，AB是O0的一條弦，點C是A3的中點，連接OC并延長交劣弧AB于點。，連接。8,

DB，若AB=4,8=1,求△80。的面積.

21.在學習《用頻率估計概率》時，小明和他的伙伴們設計了一個摸球試驗：在一個不透明帆布袋中裝有

白球和紅球共4個，這4個球除顏色外無其他差別，每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機摸出

1個球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回，在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計算機模擬這個摸

球試驗，下圖顯示的是這個試驗中摸出一個球是紅球的結果.

紅球頻數八

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750

0.748

0.746

0.744

2__!——!——：——!——__!——!——!——!------>

010002000300040005000600070008000900010000摸球次數/次

（1）根據所學的頻率與概率關系的知識，估計從這個不透明的帆布袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是

,其中紅球的個數是;

(2)如果從這個不透明的帆布袋中同時摸出兩個球，用列舉法求摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是

白球的概率.

22.如圖，在四邊形ABC。中，AC,是對角線，將點B繞點C逆時針旋轉60。得到點E，連接

AE，BE,CE.

(1)求NC8E的度數；

(2)若AACD是等邊三角形，且NA5C=3()°,AB=3,BD=5,求BE的長.

23.已知關于x的方程x--2mx+m'—9=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)設此方程的兩個根分別為為，々，且玉＞/，若2芯=々+5,求機的值.

24.如圖，在。中，AB^AC,NB4C=90°,點。是AC上一點，以。為圓心，Q4長為半徑作

圓，使。。與8c相切于點。，與AC相交于點E.過點8作8E〃AC,交。的延長線于點尸.

(1)若AB=4,求。。的半徑；

(2)連接30,求證：四邊形5EEO是平行四邊形.

25.跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一，如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳經空中飛行后落在

著陸坡5C上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里04表示起跳點A到地面

。8的距離，0C表示著陸坡的高度，。8表示著陸坡底端5到點。的水平距離，建立如圖所示的平面

直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿

足函數關系：y^--x2+bx+c,已知。4=70m,OC=60m,落點P的水平距離是40m,豎直高度

是30m.

(1)點A的坐標是，點尸的坐標是;

1

(2)求滿足的函數關系y=--V9+bx+c；

16

(3)運動員在空中飛行過程中，當他與著陸坡豎直方向上的距離達到最大時，直接寫出此時的水平距

離.

26.在平面直角坐標系中，拋物線>=改2+版+4。。0)的對稱軸為直線％=「，且

3Q+2Z?+C=0.

(1)當c=0時，求f的值；

(2)點(―2,y),(1,%)，(3,%)在拋物線上，若a>c>(),判斷當與力的大小關系，并說明理

由.

27.如圖，在AABC中，AC=BC，ZACB=90°,ZAPB=45°,連接CP,將線段CP繞點。順時針旋

轉90。得到線段CQ,連接AQ.

(1)依題意，補全圖形，并證明：AQ=BP.

(2)求NQAP度數；

(3)若N為線段AB的中點，連接NP,請用等式表示線段NP與CP之間的數量關系，并證明.

28.給定圖形W和點尸，Q,若圖形W上存在兩個不重合的點M,N,使得點P關于點M的對稱點與

點。關于點N的對稱點重合，則稱點P與點。關于圖形W雙對合.在平面直角坐標系X。)，中，已知點

4(-1,-2),5(5,-2),C(-l,4).

(1)在點。(~4,0),￡(2,2),E(6,0)中，與點。關于線段AB雙對合的點是；

(2)點K是x軸上一動點，0K的直徑為1.

①若點A與點T(o,r)關于OK雙對合，求t的取值范圍；

②當點K運動時，若&48c上存在一點與0K上任意一點關于G)K雙對合，直接寫出點K橫坐標Z的

取值范圍.

參考答案

第一部分選擇題

一、選擇題(共16分，每題2分)

1.【答案】A

【解析】

【分析】根據二次函數的性質解答即可.

【詳解】二次函數丫=(x-2)2+3,

當x=2時，最小值是3,

故選A.

【點睛】本題考查的是二次函數的最值，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

2.【答案】C

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果

旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐

一判斷即可.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對

稱圖形的定義.

3.【答案】B

【解析】

【分析】根據隨機事件的定義，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A.明天太陽從東方升起，是必然事件，故本選項不符合題意；

B.經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，故本選項符合題意；

C.平面內不共線的三點確定一個圓，是必然事件，故本選項不符合題意；

D.任意畫一個三角形，其內角和是540。，是不可能事件，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握必然事件指在一定條件

下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在

一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關鍵.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根據三角形的外角的性質可得NC+NA=NAPD，求得/C,再根據同弧所對的圓周角相等，即

可得到答案.

【詳解】解：?.?NC+ZA=ZAP￡）,ZA=45°,ZA叨=80°,

ZC=ZAPD-ZA=80°-45°=35°，

，N3=NC=35。，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角定理及三角形的外角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由平移前后的解析式，結合平移法則即可得解；

【詳解】解：拋物線y=-2/+l通過先向左平移1個單位，再向上平移2個單位可以得到拋物線

y=-2（x+l『+3,

故選擇：D

【點睛】本題考查拋物線的平移.熟練掌握二次函數平移規(guī)律是解題的關鍵.

6.【答案】D

【解析】

【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），X個球隊比賽總場數=；x（x-l）,由此可得出方

程.

【詳解】解：設邀請X個隊，每個隊都要賽（X-1）場，但兩隊之間只有一場比賽,

,g一0X（X-1）

由題意得一:一=15.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關鍵是讀懂題意，得到總場數與球

隊之間的關系.

7.【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性質和三角形內角和定理，得NABC=NACB=30°,根據旋轉的性質，得

BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形內角和定理得

NCBE=NCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ABED=NBEC-NCED.

【詳解】解：=AB=AC,ZA=120°,

.-.ZABC=ZACB=30°,

由旋轉得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30。,

：.NCBE=NCEB=1(180°-30°)=75°,

ABED=NBEC-NCED=75°-30°=45°,

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質和三角形內角和定理，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根據表中數據得出對稱軸4-1,進而得到拋物線與x軸的交點，利用交點式得到

24S

y=a(x+3)(x-l),從而得到二次函數表達式為y=——§x+2,根據當時，直線

Q

丁=女與該二次函數圖像有兩個公共點，可得2<%<§.

一5+3

【詳解】解：由(一5,機)、(3,m)可得拋物線對稱軸x=—=

又由仁,())、(1,0)以及對稱軸x=_1可得玉=-3,

二.(—3,0)、(1,0),則設拋物線交點式為y=。(工+3乂X-1),

y=62(x+3)(x-l)=n(x2+2x-3^=ax2+2ax-3a與y=ax2+&+2(4。0)對比可得一3〃=2,

解得Q=---，

3

2.4

二二次函數表達式為y=一§%2一§x+2,

:當芯=一|時，y=H河ElTX

當x=0時，y=2；

9Q

當％=-1時，y=--(-i+3)(-i-i)=-,

7Q5

?.?一<2〈一，當一己<x<0時，直線y=A與該二次函數圖像有兩個公共點，

632

：.2<k<-,

3

故選：C

【點睛】本題考查二次函數圖像與性質，掌握二次函數表達式的求法是解決問題的關鍵.

第二部分非選擇題

二、填空題(共16分，每題2分)

9.【答案】xi--4,X2—4

【解析】

【分析】直接運用直接開平方法進行求解即可.

【詳解】解：方程變形得：/=16,

開方得:x=±4,

解得：xi=-4,X2=4.

故答案為：x\--4,%2—4

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握直接開平方法是解答本題的關鍵.

10.【答案】外

【解析】

【分析】點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為，點尸到圓心的距離OP=d,則有一：①點尸在圓外

od>r；②點尸在圓上0d=r；③點P在圓內=4<r,由此即可判斷；

【詳解】解：：r=5,d=8,

:.d>r,

???點P在。0外，

故答案為：外.

【點睛】本題考查點與圓的位置關系，記住：①點P在圓外Od>r；②點P在圓上="=尸；③點P在

圓內=d<r是解題的關鍵.

9

11.【答案】-

4

【解析】

【分析】根據判別式△=()求解即可.

【詳解】解：：一元二次方程d+3x+c=0有兩個相等的實數根，

?*-A=32—4c=0>

解得c=；9

4

__9

故答案為：一.

4

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判別式△=b2-4ac：當△>(),方程有兩個不相

等的實數根；當△=(),方程有兩個相等的實數根；當△<(),方程沒有實數根.

12.【答案】6兀

【解析】

2

【分析】根據扇形的面積公式5=竺二計算，即可得出結果.

360

【詳解】解：該扇形的面積S=60"x6=67r.

360

故答案為67t.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵.

13.【答案】①.6?.（-3,-6）

【解析】

【分析】將“（3,相）代入二次函數解析式，得出M（3,6）,根據關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分

別互為相反數，即可求解.

【詳解】解：???點M（3,加）是拋物線y=V-%上一點，

??加=32—3=6,

.?.”（3,6）,

.??點M關于原點對稱的點的坐標是（-3,-6）,

故答案為：6,（-3,-6）.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，關于原點對稱的點的坐標特征，求得點M（3,6）是解題的關鍵.

14.【答案】丁=/一2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據二次函數的圖像與性質可以得出各系數的取值范圍，舉一例即可.

【詳解】解：圖像過原點，

二可以設解析式為：y=?x（x-xj,

?.?當x>i時，了隨x的增大而增大，

■-a>Q,開口向上，且對稱軸x=￡wi,

即玉42,

二可以設二次函數為

y=ax（x-xj,滿足°>0,西42均可.

故答案不唯一，如：y=X2-2x.

【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質，掌握二次函數的圖像與各系數間的關系是解題的關鍵.

15.【答案】45°或135°

【解析】

【分析】分析可知：A在以。為圓心，、歷為半徑的圓上運動，分情況討論，當A轉到A'時，

。4'=&，作軸與點B,利用勾股定理可知03=1,進一步可求出旋轉角度為45。；當A轉到

A"時，0尺=叵，作軸與點C,利用勾股定理可知0。=1,進一步可求出旋轉角度為135°.

【詳解】解：：A（、/Io）,將OA繞點。逆時針旋轉a（0°<a<180。）得到。4

...A在以。為圓心，、歷為半徑的圓上運動，

當A轉到A，時，。4'=正，作A3_Ly軸于點8,

由勾股定理可得：y/A'O2-A'B2=7^22-12=1,

OB=

二△的'為等腰直角三角形，

二NBOA=45°,乙4。4'=45°,即旋轉角度為45°；

當A轉到A"時，。4"=夜，作ACJ_x軸于點C,

由勾股定理可得：oc=dA"。？一A"C?=7V22-12=b

...△OCA"為等腰直角三角形，

二NCQ4"=45°,/4。4"=180°-45°=135°,即旋轉角度為135。；

故答案為：45°,135°

【點睛】本題考查圓與切線，旋轉，等腰直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是掌握切線的性質，旋轉,

理解A在以。為圓心，V2為半徑的圓上運動.

16.【答案】V5+l##l+V5

【解析】

【分析】連接。河，PB，取A。中點。，連接C。、DM、PB,A3是。。的直徑，可推出

ZA尸8=90°和“U/O?AAPB,由此可知NAP3=NAMO=90°,則M在以AO為直徑的圓上，當

CM與。點重合時，CM最大，根據AB_LOC求出CO長代入即可.

【詳解】解：連接,PB，

C

VAB是。。的直徑，

...ZAPB=90°,

為"的中點，。為A3的中點，

^AMO?&APB,

二ZAPB-ZAMO=90°,

取A。中點。，連接CD、DM,

...M在以A。為直徑的圓上，

?.?三角形兩邊之和大于第三邊，且。0的半徑為2,

/?DM=1，

...當CM與。點重合時，CM最大，

：.CM=CD+DM,

,：AB1OC,

CD=大2。+『=小>

/.CM=y/5+1>

故答案為石+1.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是90。及三角形的中位線的性質，熟練掌握數形結合思想是解題關

鍵.

三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-23題5分，第24-26

題，每題6分，第27-28題，每題7分）

17.【答案】%,=2+72,x2=2-72；

【解析】

【分析】選用配方法可解此方程.

【詳解】解：x2-4x+2=0

x2-4x+4-2=0

（x-2）2=2

x-2=y/2或x-2=-y/2

解得：Xj=2+^2,x2=2—V2

故答案為％=2+0，%=2-夜.

【點睛】本題考查了選用適當的方法解一元二次方程.

18.【答案】（1）見解析；

（2）90。；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線

【解析】

【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；

（2）根據圓周角定理和切線的判定定理填空.

【小問1詳解】

解：補全圖形，如圖所示；

【小問2詳解】

90。；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

19.【答案】（1）y=（x—l）2—4,（1,-4）

（2）見解析（3）-4<y<0

【解析】

【分析】（1）運用配方法將原解析式化為頂點式即可：

（2）根據（1）所得的頂點式解析式，利用五點作圖法直接畫出圖像即可；

（3）根據函數圖像確定當-1<x<2時對應的y的取值范圍即可.

【小問1詳解】

y=x2-2x-3

——2x+1—1-3

=(X-1)2-4.

【小問2詳解】

列表如下:

【點睛】本題主要考查了二次函數的頂點式、二次函數的圖象、二次函數的性質等知識點，準確畫出二次

函數的圖象成為解答本題的關鍵.

20.【答案】1

2

【解析】

【分析】設。。的半徑為x，由垂徑定理得出BC,用含x的式子表示。。，再根據勾股定理列方程解得半

徑的長，即可求解.

【詳解】解：設=則。B=x.

???點。是AB的中點，。。過圓心

.-.0C1AB.

8=1,

/.==OC=OD—CD=x—l.

2

在RtABCO中，OB1=OC2+BC2，

x2=(x-l)2+22.

解得，X=—

2

:.S△BRUOD=-2ODBC=~2.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據垂徑定理判斷出0C是A3的垂直平分線是解題的關鍵.

21.【答案】（1）0.75,3

⑵T

【解析】

【分析】（1）根據圖表中的頻率分布可估計概率，再利用總數乘以概率可得紅球個數；

（2）列出表格，利用概率公式計算.

【小問1詳解】

解：由圖表可知：摸出紅球的頻率分布在0.75上下，

則可估計隨機摸出一個球是紅球的概率是0.75,

紅球的個數是：4x0.75=3,

故答案為：0.75,3；

小問2詳解】

由（1）可知帆布袋中有3個紅球和1個白球.

列表如下：

白紅1紅2紅3

白白，紅1白，紅2白，紅3

紅1紅1,紅2紅1,紅3

紅2紅2,紅3

紅31~

可以看出，從||況布袋中同時摸出兩個球，所有可能出現的結果共有6利即

（白，紅1）,（白，紅2）,（白，紅3）,（紅1,紅2）,（紅1,紅3）,（紅2,紅3）,且這些結果出現的可

能性相等，其中摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球（記為事件A）共有3種結果，即（白，紅

1）,（白，紅2）,（白，紅3）,

31

所以P（A）=-=—.

62

【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出〃，再從中選

出符合事件A或8的結果數目然后根據概率公式求出事件A或8的概率.也考查了利用頻率估計概

率.

22.【答案】（1）60°

(2)4

【解析】

【分析】(1)根據旋轉的性質得到C3=CE,NBCE=60。，進而證明ABCE為等邊三角形，即可得到答

案；

(2)首先證明△ACEMAOCB,之后在RSABE中根據勾股定理得到BE的長.

【小問1詳解】

解：???將點8繞點C逆時針旋轉6()。得到點E，

：.CB=CE,/BCE=6()。，

.?.△BCE是等邊三角形，

:.ZCBE=O)°.

【小問2詳解】

解：是等邊三角形，

:.AC^DC,ZACD=60。,

:.ZACE=NDCB,

又?；CB=CE,

：*AACE=ADCB,

AE=BD，

?;BD=5,

:.AE-5.

?.?NCBE=60°,ZABC=30°,

：.ZABE=90°,

二在RSABE中，BE=yjAE2-AB2-

\-AB=3,

:.BE=4.

【點睛】本題主要考查旋轉的性質，等邊三角形的判定性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，掌握

相關定理是解題的關鍵.

23.【答案】(1)見解析；

(2)-4.

【解析】

【分析】(1)根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△>0,由此可證出此方程有兩個不相等的實數根；

(2)解方程，再由%>々，2西=々+5,即可得到關于的一元一次方程，解之即可得出結論.

【小問1詳解】

證明：A=(-2/M)--4xlx^；n2-9)

=4M-4m2+36

=36>0.

...方程有兩個不相等的實數根.

【小問2詳解】

解:解方程，得行整L亨,

?.?x}>x2f

「?M="2+3,x2=m-3.

?/2%]=九2+5,

/.2(m+3)=771-3+5.

/.m=-4.

【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數的關系，解題的關鍵是掌握根的判別式、根與系數的關系的表

達式，并會熟練計算.

24.【答案】(1)472-4；

(2)見解析.

【解析】

【分析】(1)連接QD,由。。與相切于點4與相切于點。，得到NQOC=90°,OD=DC,

由切線長定理得：BD=AB=4,由勾股定理求出8c=40，即可得到。。的半徑.

(2)連接AO,交0B于點H,由AE是。。的直徑，得到NADE=90°.根據AB與。。分別相切

于點A,D,證得NA/7O=9()0.得到。8〃￡尸.即可證得四邊形BFEO是平行四邊形.

【小問1詳解】

解：連接0。，如圖.

F

?.?在中，AB^AC,ZR4C=90。，

二。。與AB相切于點A,ZACB=45°.

?.?0。是。。的半徑，。。與5c相切于點。，

OD±BC.

：.ZODC=9Q°,OD=DC.

,:AB=4，

二由切線長定理得：BD=AB=4,由勾股定理得：8c=40.

,OD=DC=4y/2-4-

，。。的半徑是4血—4.

【小問2詳解】

證明：連接AO,交0B于點H,如圖.

二ZAT>E=90°.

,/AB,與。。分別相切于點A,D,

：.BD=AB,ZABO=ZDBO.

：.OB±AD.

二ZAHO^90°.

ZAHO=ZADE.

：.OB//EF.

BF//AC，

/.四邊形5EEO是平行四邊形.

【點睛】此題考查了圓的切線的性質定理，切線長定理，直徑所對的圓周角是直角，平行四邊形的判定定

理，熟記各定理是解題的關鍵.

25.【答案】⑴A（0,70）,P（40,30）；

13

（2）y=----x2+—x+70；

162

（3）18m

【解析】

【分析】⑴04=70m,落點尸的水平距離是40m,豎直高度是30m,即可得到點A、P的坐標；

（2）用待定系數法求解即可；

（3）由OC=60m,先求出直線的表達式，作軸交拋物線和直線8c于點〃、N,用含未

知數"?的式子表示MN,再根據二次函數的性質進行判斷即可.

小問1詳解】

解：?.?Q4=7（）m,落點P的水平距離是40m,豎直高度是30m,

.-.4（0,70）,P（40,30）；

【小問2詳解】

解：把A（0,70）,「（40,30）代入）=--5-%2+笈+￡;

70=c

、’30=——x402+40b+c'

16

3

h——

解得，\2,

c=70

/.y=--—x2+—x+70；

162

【小問3詳解】

解：OC=60m,

設直線BC的表達式為y=-+60（&n0）,

把P（40,30）代入，得30=4（M+60，

3

解得，k=——,

4

3。

.,y-——x+60,

設M（加,—：加2+1機+70）到BC豎直方向上的距離最大,

作MN〃y軸交拋物線和直線BC于點

M、N,

OBX

N（加，一（加+60）,

MN=---m2+—m+70-f——m+60|

162I4）

1,9

=-----m+—m+10

164

=-^（/n2-36w+182-182）+10

（m-18）2+—+10

16v）4

I

<0,

.??當利=18時，MN最大,即水平距離為18m時，運動員與著陸坡3C豎直方向上的距離達到最大.

【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，待定系數法求解析式，二次函數圖象的性質，熟練掌握知識點

是解題的關鍵.

3

26【答案】⑴z

（2）3VM

【解析】

b

【分析】（1）由3。+沙+c=（）,c=0,可得3。+沙=0,根據對稱軸為直線x=——即可求解；

2a

（2）根據3a+2b+c=0,求得對稱軸x=「=的范圍，再將點（-2,y）根據對稱性轉化到對稱軸右側,

再根據a>c>0得拋物線開口向上，丫隨x的增大而增大，即可得出答案.

【小問1詳解】

當c=0時，得3。+2力=0,

2a2a4

【小問2詳解】

?「3a+2Z?+c=(),

.3Q+C

/.b=-------,

2

3。+。

b73a+cc3

...t-----=-----———------=-----

2a2a4。4a4

a>c>0,

:點(-2,y,)關于直線x=t的對稱點的坐標是(2/+2,%),

—<2f+2<4.

2

/.l<3<2r+2.

,.-a>0,

，當時，y隨x的增大而增大.

必〈必<M?

【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要涉及到二次函數的開口方向、對稱性以及增減性，熟知二次函

數的基本性質是解決函數問題的關鍵.

27.【答案】(1)畫圖和證明見解析；

(2)135°(3)CP=6NP，證明見解析.

【解析】

【分析】(1)先根據題意畫出對應的圖形，只需要利用SAS證明ABC%AACQ即可證明AQ=BP；

(2)連接QP,如圖所示.先由等腰直角三角形的性質得到/。。q=/。尸。=45。.再證明

乙4尸。=ZCPB.由全等三角形的性質得到ZCQA=NCPB.則可以推出ZAPQ+ZPQA=45°,利用

三角形內角和定理即可得到NQ4P=180°-NAPQ-/PQA=135°；

(3)如圖所示，延長PN至K,使得NK=PN,連接AK.證明^ANK^BNP.得到

NKAN=NPBN,AK=BP，則進一步證明NK4P=135°.得到NK4P=NQAP.由

此證明AK4尸也AQAP,得到KP=QP.在等腰直角△PCQ中，CP=CQ,則KP=QP=&CP,

即可證明CP=

【小問i詳解】

補全圖形，如圖所示.

證明：：線段CP繞點C順時針旋轉90。得到線段CQ,

CP=CQ,/PCQ=90。

ZACB=90°,

：.NBCP=ZACQ,

'：AC=BC，

：.△BCP^AACQ(SAS