第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.由偏導(dǎo)數(shù)定義知,所謂f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),就是將y看作常數(shù),將

f(x,y)看作一元函數(shù)來定義的.

注

因此,在實(shí)際計(jì)算時(shí),求f'x

(x,y)時(shí),只須將y看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.

求f'y

(x,y)時(shí),只須將x看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(diǎn)(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)

可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).

(3)先算f(x,y0),再算f'x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),

f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解

把看作常量，對(duì)求導(dǎo)數(shù),得

把看作常量，對(duì)求導(dǎo)數(shù),得第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月證原結(jié)論成立．第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月不存在．第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月證第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：１.２.求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月３.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月4.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月yxzoz=f(x,y)M0

即f'x

(x0,y0)表示y=y0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對(duì)x的斜率.T1

1

:z=f(x,y0)

1y0x0第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月yxzoz=f(x,y)M0

2

2

:z=f(x0,y)類似得

f'y

(x0,y0)的幾何意義.

如圖

即f'y

(x0,y0)表示x=x0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對(duì)y的斜率.x0T2

第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

從幾何上看,f'x

(x0,y0)存在.只保證了一元函數(shù)

f(x,y0)在x0連續(xù).

也即y=y0與z=f(x,y)的截線

1在M0=(x0,y0,z0)是連續(xù)的.

同理,f'y

(x0,y0)存在.只保證了x=x0與z=f(x,y)的截線

2在M0連續(xù).而曲面z=f(x,y)在M0連續(xù)，是指第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

換句話說,當(dāng)(x,y)

從任何方向,沿任何曲線趨于(x0，y0)時(shí),f(x,y)的極限都是f(x0，y0).顯然,上邊兩個(gè)條件都不能保證它成立.第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)