第三章 矩陣的初等變換與與線性方程組

第三章矩陣的初等變換與用消元法解線性方程組，§1矩陣的初等變換1.互換兩個(gè)方程；2.以非零數(shù)乘某個(gè)方程；

3.一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程.例1解線性方程組①←→②,×③對(duì)方程組用到三種變換：線性方程組②?2①,×②，③+5②③?2①定義1下述三種變換稱為矩陣的初等行變換:1.對(duì)調(diào)兩行;2.以非零數(shù)乘某行的所有元素;3.把矩陣某行的所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去.初等列變換.初等變換.如果矩陣A經(jīng)初等變換得到矩陣B,下述形狀的矩陣叫做行階梯形矩陣任何矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變成行階梯形矩陣.那么稱矩陣A與

B

等價(jià).記為A～B.B1是矩陣A經(jīng)初等行變換得到的階梯形矩陣.例2用初等行變換把矩陣～～～解A變成行階梯形矩陣.稱B2為行最簡(jiǎn)形矩陣.～再作初等行變換B1又可以變?yōu)槿魏尉仃嚳偪梢越?jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變成行最簡(jiǎn)形矩陣.對(duì)B2再作初等列變換又可得任何m×n矩陣A

都可經(jīng)過(guò)初等變換化為形如的矩陣．稱矩陣F為A的標(biāo)準(zhǔn)形.例3用初等行變換將矩陣變成行最簡(jiǎn)形矩陣.解A～～～～§2矩陣的秩

定義2在m×n矩陣A中任取

k個(gè)行與

k

個(gè)列,

定義3如果矩陣A中有一個(gè)k

階子式D≠0，零矩陣的秩規(guī)定為0.數(shù)k

稱解在A中有一個(gè)2階子式且A的所有的所以R(A)=2.3階子式都等于零，稱為矩陣A的一個(gè)

位于這且所有的k+1

則稱D為A的一個(gè)最高階非零子式.階子式都等于0,

為矩陣A的秩，矩陣A的秩記成R(A).些行與列交叉處的元素而得的

k

階行列式,

k

階子式.據(jù)定義3可知，

解在A中有一個(gè)3階子式且A中所有的4階子式都等零，所以R(A)=3.行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數(shù).Dr相應(yīng)的一個(gè)r階子式Mr

,因而若把矩陣A的第i行乘數(shù)k≠0得矩陣B，且Mr=Dr

,或Mr=?Dr,那么B中存在一個(gè)且Mr=Dr

或Mr=kDr

.與Dr相應(yīng)的一個(gè)r階子式Mr,設(shè)R(A)=r，且A的某個(gè)r階子式Dr≠0.當(dāng)A對(duì)調(diào)第i行,第j行得矩陣B時(shí).在矩陣B中存在一個(gè)與定理1若A～B，則R(A)=R(B).證明先證明,如果矩陣A經(jīng)一次初等行變換得矩陣B，那么

R(A)≤R(B).我們也可以證明，如果把矩陣A的第j行的k倍加到第i行得到矩陣B,

那么矩陣B中必有一個(gè)r階子式Mr≠0.因而因而這樣，我們就證明了，如果矩陣A經(jīng)一次初等行變換得矩陣B,

則有R(B)=R(A).由矩陣經(jīng)一次初等行變換秩不變，類似的可以證明，經(jīng)有限次初等列變換總之，若A～B，則R(A)=R(B).則R(A)≤R(B)成立.所以也應(yīng)有R(B)≤R(A).

若矩陣A經(jīng)一次初等行變換得矩B，那么矩陣B也可以這樣，我們就證明了，若矩陣A經(jīng)一次初等行變換得矩陣B,

變換矩陣的秩也不變.經(jīng)一次初等行變換得矩陣A,即可知經(jīng)有限次初等行矩陣的秩也不變.

例3

求下列矩陣的秩求矩陣A的秩1.根據(jù)矩陣秩的定義.2.根據(jù)定理1.用初等變換把矩陣A化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數(shù)（定義3）.解用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.Ar1←→r2～r2-2r1r2←→r3～r3+4r2因此，R(A)=3.矩陣A的秩=此行階梯形矩陣的秩（據(jù)定理1

）．例4求下述矩陣的秩解用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣.Ar1←→r3r2-2r1r3-2r1～～因此，R(A)=2.線性方程組稱為n元齊次線性方程組.A稱為方程組的系數(shù)矩陣．于是，這個(gè)齊次方程組可以記為§3線性方程組的解記

定理2

n

元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要

證必要性設(shè)方程組Ax=0有非零解.假設(shè)R(A)=n，根據(jù)Cramer法則，D所對(duì)應(yīng)的n個(gè)方程構(gòu)成的齊次線性方程組從而原方程組Ax=0也只有零解，矛盾.充分性設(shè)R(A)=r＜n,那么A1

只含r個(gè)非零行，用反證法來(lái)證明條件是系數(shù)矩陣A的秩R(A)<

n

.R(A)<n.故R(A)<n.對(duì)A施行初等行變換得到行階梯形矩陣A1.那么在A中應(yīng)有一個(gè)n階子式|D|≠0.只有零解，不妨設(shè)為于是齊次線性方程組Ax=0與這個(gè)方程組有n-r>0個(gè)自由未知量,也有非零解.同解.把它改寫(xiě)成因此有非零解.故Ax=0例1

3元齊次線性方程組是否有非零解？解由r2-r1r3-3r1

r4-r1r3-r2

r4-2r2因?yàn)镽(A)=2＜3所以此齊次線性方程組有非可知R(A)=2.～～零解.解用初等行變換化系數(shù)矩陣可知，有非零解.R(A)=2<3.性方程組有非零解.～～

n元非齊次線性方程組A稱為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣,B稱為增廣矩陣.記于是，Ax=b這個(gè)非齊次方程組可以記為其中

定理3

n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條證明必要性則B可化成行階梯形矩陣件是R(A)=R(B),假設(shè)R(A)<R(B)，其中B=(Ab)為非齊次線性方程組用反證法,設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，要證R(A)

=R(B).Ax=b的增廣矩陣.于是得到與原方程組Ax=b同解的方程組：因?yàn)樗忻芊匠?=1，所以這個(gè)方程組無(wú)解，這與原方程充分性設(shè)R(A)=R(B)=r.則B1中含r個(gè)非零行.用初等行變換化增廣矩陣B為組有解矛盾.故R(A)=R(B).

行階梯形矩陣B1，不妨設(shè)B1為B1對(duì)應(yīng)的方程組為這個(gè)方程組有解.它與原方程組Ax=b同解，所以非齊次線性方程組Ax=b有解.由上述證明還可以知道，

n

元非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是

R(A)=R(B)=n.

例3判斷下列非齊次線性方程組是否有解解用初等行變換化其增廣矩陣～～由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即R(A)≠R(B)，因此方程組例4a,b取何值時(shí)，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多個(gè)解？無(wú)解.解用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形矩陣，～（1）當(dāng)a≠?1時(shí)，R(A)=R(B)=4,（2）當(dāng)a=?1，b≠0時(shí)，R(A)=2,而R(B)=3,（3）當(dāng)