專題05函數(shù)的概念及其表示

專題05函數(shù)的概念及其表示№專題05函數(shù)的概念及其表示№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議函數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條主線，因此在高考中不可能沒有函數(shù)，可以說函數(shù)占據(jù)了高考題試卷的全部。函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，在理解了函數(shù)的概念之后，我們才能對與函數(shù)有關(guān)的題目迎刃而解，理解函數(shù)的三要素，函數(shù)定義域是高考必考的內(nèi)容，分段函數(shù)也是高考的一個重點(diǎn)考點(diǎn)。預(yù)計(jì)2024年的高考函數(shù)的定義域，值域，解析式還是會出題，一般在選擇或者填空題中出現(xiàn)，分段函數(shù)的考察比較靈活，各種題型都可以涉及到。集合復(fù)習(xí)策略：1.理解函數(shù)的概念及其表示，掌握函數(shù)的“三要素”；函數(shù)的表示方法：解析法，圖象法，列表法；3.掌握分段函數(shù)的定義以及它的應(yīng)用。→?考點(diǎn)精析←一、函數(shù)的概念及其表示1．函數(shù)的概念：設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）與之相對應(yīng)，那么就把這對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)，記作f:A→B或y=f(x)，x∈A.此時(shí)，x叫做自變量，集合A叫做哈數(shù)的定義域，集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.2．函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系.3．函數(shù)的表示方法：解析法，圖象法，列表法.4．常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y=ax(a>0且a≠1)，y=sinx，y=cosx的定義域均為R.(6)y=logax(a>0，a≠1)的定義域?yàn)閧x|x>0}.(7)y=tanx定義域?yàn)?5．抽象函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，從而解得x的范圍，即為f[g(x)]的定義域.(2)若f[g(x)]的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n確定g(x)的范圍，即為f(x)的定義域.二、分段函數(shù)及其應(yīng)用1.分段函數(shù)的概念：如果函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，那么這種函數(shù)叫做分段函數(shù)；2.分段函數(shù)的考察，主要是求函數(shù)值，求最值，解不等式求范圍，求未知參數(shù)的范圍?！?真題精講←1．（2023·山東德州·三模）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可排除A、B選項(xiàng)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢，得到時(shí)，，可排除C選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，都可其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A、B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢，可得時(shí)，，可排除C選項(xiàng).故選：D.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，而，且，即函?shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，排除選項(xiàng)CD；而當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)B符合要求.故選：B3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)中的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、B，又時(shí)，，所以，所以，故排除C；故選：D4、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知則f(7）=______.（3）(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．（4）、(2018南京、鹽城、連云港、徐州二模）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．【答案】（1）02eq\r(2)－3；（2）6（3）log23（4）[－4,2]【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，取等號，此時(shí)f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號，此時(shí)f(x)min＝0.∴f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.（2）∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.（3）當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.（4）當(dāng)x≤0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為eq\f(1,2)x＋1≥－1，解之得x≥－4，此時(shí)－4≤x≤0；當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為－(x－1)2≥－1，解之得0<x≤2，綜上所述，不等式f(x)≥－1的解集為[－4,2]．→?模擬精練←1．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D．2．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，滿足以下條件：①，其中，：②.則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，又，所以，令，則，即.所以，，，，，累加得：，所以.故選：D3．（2021·浙江高三其他模擬）函數(shù)在上的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用定義判斷的奇偶性，再代入特殊值檢驗(yàn)，即可得答案.【解析】設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A、C，又當(dāng)x=1時(shí)，，排除D.故選：B4．（2021·廣東珠海市·高三二模）函數(shù)的圖像為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性可以排除兩個選項(xiàng)，再由f(1)的正負(fù)即可得解.【解析】因，即函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而排除選項(xiàng)B，C，又，顯然選項(xiàng)D不符合此條件，A符合要求.故選：A5．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且，函?shù)的最小值為2，則（

）A．12 B．24 C．42 D．126【答案】D【詳解】解：方法一令，有，則滿足，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，方法二：抽象出特殊函?shù)，其滿足題目要求，從而快速求得答案，故選：D6．（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考三模）函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的x，均滿足：，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】令，得，代入，得，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，所以，所以，代入，得，所以，又當(dāng)時(shí)，也符合題意，所以.當(dāng)不為正整數(shù)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證也滿足，故為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有.所以，故A正確；，故B正確；所以，，故C不正確；所以，令，則，所以，所以，所以，故D正確.故選：ABD7．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）函數(shù)的值域是______．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，由，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?．（2021·北京清華附中高三其他模擬）函數(shù)的定義域是_____________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接列出式子即可求解.【解析】，，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.9．（2021·北京北大附中高三其他模擬）若函數(shù)的定義域是，則的值域是___________.【答案】【分析】先分離常數(shù)將函數(shù)解析式化為，結(jié)合的范圍，先得出分母的范圍，由反比例函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可得答案.【解析】由當(dāng)時(shí)，，所以，則所以，即的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸?專題訓(xùn)練←1．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【解析】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.2.【2020云南高三一模】設(shè)，則f[f(11)]的值是（）A．1 B．e C． D．【答案】B【解析】由分段函數(shù)解析式可得：，則，故選B.3.【2020山東省青島第五十八中學(xué)高三一?！恳阎瘮?shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【解析】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立；當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足,且,即,解得,故選BCD4、(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是從定義域A到值域B的一個函數(shù)，求a，k的值；(2)下列各選項(xiàng)給出的兩個函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有A．與 B．與 C．與 D．與【答案】．【解析】(1)(定義法)由對應(yīng)法則1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷是相同函數(shù)．（2）對于，函數(shù)與的解析式不同，表示相同函數(shù)；對于，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于，函數(shù)的定義域?yàn)?，，，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是相同函數(shù)．故選：．5．（2021·福建高三三模）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足不等式，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于對稱，求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【解析】解：∵，∴，∴函數(shù)關(guān)于對稱，又，∵，∴，∴恒成立，則是增函數(shù)，∵，∴，∴，得，故選：A.【點(diǎn)睛】根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，需靈活應(yīng)用基本不等式求最值，綜合性強(qiáng)，屬中檔題.6、下列各對函數(shù)中是同一函數(shù)的是()．A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0B．f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.【答案BD【解析】①函數(shù)g(x)＝2x－x0＝2x－1，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)；②f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|與g(x)＝|2x＋1|的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)的對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)．7.【2020江蘇省高三月考】已知函數(shù)，若，則的值是_____.【答案】【解析】由時(shí)，是減函數(shù)可知，當(dāng)，則，所以，由得，解得，則.故答案為2.6．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【解析】，故，故答案為：2.9、(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解答】(1)(換元法)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，代入得f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.10、已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2