完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件

現(xiàn)代控制理論在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈上的應(yīng)用§1自動(dòng)導(dǎo)引(尋的制導(dǎo))導(dǎo)彈的最佳導(dǎo)引規(guī)律§2卡爾曼濾波器在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用現(xiàn)代控制理論在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈上的應(yīng)用§1自動(dòng)導(dǎo)引(尋的制導(dǎo))導(dǎo)彈1§1自動(dòng)導(dǎo)引(尋的制導(dǎo))導(dǎo)彈的最佳導(dǎo)引規(guī)律§1.1建立導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型§1.2導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程的建立§1.3線性二次型問題的解法§1.4不考慮彈體慣性的最佳導(dǎo)引規(guī)律§1.5完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律§1自動(dòng)導(dǎo)引(尋的制導(dǎo))導(dǎo)彈的最佳導(dǎo)引規(guī)律§1.12

在這一節(jié)應(yīng)用最佳控制理論來研究自動(dòng)導(dǎo)引的空-空或地-空導(dǎo)彈的最佳導(dǎo)引規(guī)律問題，首先建立導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)有的自動(dòng)導(dǎo)引（尋的制導(dǎo)）的空-空或地-空導(dǎo)彈中，大都采用比例導(dǎo)引法。

§1.1建立導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型美“麻雀”遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈

地|空導(dǎo)彈在這一節(jié)應(yīng)用最佳控制理論來研究自動(dòng)導(dǎo)引的空-空或地3

比例導(dǎo)引法：

導(dǎo)彈和目標(biāo)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖11-1。D為導(dǎo)彈，M為目標(biāo)，為導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度，為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度，R為導(dǎo)彈至目標(biāo)的距離，DH為一基準(zhǔn)方向。DT為目求視線，q為DM與DH之間的夾角，稱為目標(biāo)視線角。完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件4

按比例導(dǎo)引法導(dǎo)引時(shí)，在彈上裝有紅外線或無線電導(dǎo)引頭，用來測量目標(biāo)視線角q的角速度。無線電導(dǎo)引頭紅外線導(dǎo)引頭按比例導(dǎo)引法導(dǎo)引時(shí)，在彈上裝有紅外線或無線5導(dǎo)引頭的輸出信號(hào)與成比例，將此信號(hào)輸給導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀，經(jīng)過放大變換后，控制舵面偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)彈產(chǎn)生橫向控制力，改變導(dǎo)彈速度向量的方向。導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀自動(dòng)駕駛儀導(dǎo)引頭的輸出信號(hào)與成比例，將此信號(hào)輸給導(dǎo)6比例導(dǎo)引：就是使導(dǎo)彈的速度向量的旋轉(zhuǎn)角速度正比于目標(biāo)視線DM的旋轉(zhuǎn)角速度，即N為比例系數(shù)，稱為導(dǎo)航比。對(duì)一般的導(dǎo)彈來說N=3~6。比例導(dǎo)引的實(shí)質(zhì)是使導(dǎo)彈向這減少的方向運(yùn)動(dòng)，抑制視線DM旋轉(zhuǎn)，也就是導(dǎo)彈的相對(duì)速度對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，保證導(dǎo)彈向著前置碰撞點(diǎn)飛行。比例導(dǎo)引的優(yōu)點(diǎn)：1.實(shí)現(xiàn)起來方便2.彈道比較平直，導(dǎo)彈的過載比較小比例導(dǎo)引：就是使導(dǎo)彈的速度向量的旋轉(zhuǎn)角速度正7§1.2導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程的建立

導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系是非線性的，應(yīng)把導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)于理想彈道線性化，得出導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程。設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖11-2。

§1.2導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程的建立導(dǎo)彈與目標(biāo)8

在平面內(nèi)任選oxy固定坐標(biāo)，導(dǎo)彈的速度向量與oy軸成角，目標(biāo)速度向量與oy軸成，導(dǎo)彈與目標(biāo)的連線DM與oy軸成q角，設(shè)，，q都比較小。并且假定導(dǎo)彈和目標(biāo)都是等速飛行，即都是不變值。用相對(duì)坐標(biāo)變量比較方便。

9

設(shè)x為導(dǎo)彈與目標(biāo)在ox軸方向上的距離偏差，y為導(dǎo)彈與目標(biāo)在oy軸方向上的距離偏差，即：（11-2）（11-3）（11-4）（11-5）由于設(shè)和很小，因此，則（11-6）（11-7）設(shè)x為導(dǎo)彈與目標(biāo)在ox軸方向上的距離偏差，y為導(dǎo)彈與目10

以表示x，則

式中表示目標(biāo)的橫向加速度，表示導(dǎo)彈的橫向加速度，分別以表示，則

導(dǎo)彈的橫向加速度為一控制量?？刂菩盘?hào)加給舵機(jī)，舵面偏轉(zhuǎn)后彈體產(chǎn)生攻角，而后產(chǎn)生橫向過載。以表示x，則式中表示目標(biāo)11

如果忽略舵機(jī)及彈體的慣性，設(shè)控制量的單位與加速度的單位相同，則可用控制量ｕ來表示－即令與是式(11-10)變成可得導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程如果忽略舵機(jī)及彈體的慣性，設(shè)控制量的單位與加速度的單位相同12寫成矩陣形式，可得式中給出時(shí)刻，的初值可把導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程用圖來表示，如圖11-3。

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)學(xué)方框圖寫成矩陣形式，可得式中給出時(shí)刻，13如果不考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)，則為零，式（11-4）變少考慮式（11-7），該式可寫成

為導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的接近速度，設(shè)為導(dǎo)彈與目標(biāo)的遭遇時(shí)刻，則在某一瞬間t導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離y可用下式表示如果不考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)，則為零，式（11-4）變少考慮式（14對(duì)導(dǎo)彈控制來說，最根本的要求是脫靶量越小越好，因此應(yīng)選擇最佳的控制u，使得下列指標(biāo)函數(shù)為最小。然而，當(dāng)要求一個(gè)反饋形式的控制時(shí)，按上式列出的問題往往很難解。所以我們以時(shí)的值作為脫靶量，要求時(shí)刻x值越小越好。另外舵偏角受到限制，導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)能承受的最大過載也受到限制，所以控制信號(hào)u應(yīng)該受到限制，因此，選擇下列形式的二次型指標(biāo)函數(shù)對(duì)導(dǎo)彈控制來說，最根本的要求是脫靶量越小越好，因15即應(yīng)有最佳控制理論，可求出使J為最小的U式中即應(yīng)有最佳控制理論，可求出使J為最小的U式中16不考慮舵機(jī)慣性，但考慮導(dǎo)彈二次振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)方程的列寫問題，如以舵偏角作為導(dǎo)彈的輸入，作彈體的輸出，則彈體的傳遞函數(shù)為式中不考慮舵機(jī)慣性，但考慮導(dǎo)彈二次振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，導(dǎo)彈運(yùn)17如把式（11-10）中前的負(fù)號(hào)移至控制信號(hào)u中，假定舵偏角等于控制信號(hào)u，則考慮了彈體環(huán)節(jié)之后的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方框圖可用圖11-4來表示如把式（11-10）中前的負(fù)號(hào)移至控18其方程為式中，如寫成矩陣形式其方程為式中，如寫成矩陣形式19則給出時(shí)刻，的初值，的初值可取零值。如不考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)，則指標(biāo)函數(shù)與前面一樣，即則給出時(shí)刻，的初值20式中下面將要討論不考慮彈體慣性和考慮彈體慣性的最佳導(dǎo)引規(guī)律。由于系統(tǒng)是線性的，指數(shù)函數(shù)是二次型的，因此球最佳控制規(guī)律是一個(gè)求解線性二次型的問題。下一節(jié)將介紹線性二次型問題的解法。式中下面將要討論不考慮彈體慣性和考慮彈體慣性的21§1.3線性二次型問題的解法設(shè)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中X-n維狀態(tài)向量，u-m維控制向量沒，A-矩陣，B-矩陣，指標(biāo)函數(shù)為§1.3線性二次型問題的解法設(shè)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為22C和Q為非負(fù)矩陣，R為正定矩陣。給定初始條件，求最佳控制u，使J為最小。對(duì)于線性二次型問題，可用變分法、極大值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃或其它方法求得最佳控制式中P滿足下列黎卡提矩陣微分方程P的終端條件為C和Q為非負(fù)矩陣，R為正定矩陣。給定初始條件23因此求解線性二次型問題的關(guān)鍵是求黎卡提矩陣微分方程，黎卡提矩陣微分方程使一個(gè)非線性微分方程，但它是一個(gè)很特殊的非線性矩陣微分方程，可以把它分解成兩個(gè)線性矩陣微分方程。如果設(shè)W和Y的終端條件為為n階單位矩陣，C如（11-2）式所示。因此求解線性二次型問題的關(guān)鍵是求黎卡提矩陣微分方程，24

則黎卡提矩陣微分方程的解為可以證明確實(shí)滿足方程（11-27）以乘（11-30）式等號(hào)兩邊，可得對(duì)上式求t的導(dǎo)數(shù)得則黎卡提矩陣微分方程的解為可以證明25把（11-28）和（11-29）式代入（11-31）式得由于對(duì)所有都是非奇異的，所以必須即把（11-28）和（11-29）式代入（11-31）26因此W和Y滿足黎卡提方程（11-27）。下面再看看是否滿足終端條件的問題。因而終端條件也滿足的下面求W和Y。將（11-28）和（11-29）寫成則因此W和Y滿足黎卡提方程（11-27）。下面再看27而

根據(jù)W和Y的終端條件，可得則而根據(jù)W和Y的終端條件，可得則28如果F為常數(shù)矩陣，則式中的拉氏變換

的拉氏反變換。將（11-35）式代入（11-33）式，可得W（t）和Y（t）。把W和Y代入（11-30）式代入（11-26）式，可得最佳控制如果F為常數(shù)矩陣，則式中29§1.4、不考慮彈體慣性的最佳導(dǎo)引規(guī)律當(dāng)不考慮彈體慣性，而且假定目標(biāo)不機(jī)動(dòng)，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程為指標(biāo)函數(shù)式中§1.4、不考慮彈體慣性的最佳導(dǎo)引規(guī)律當(dāng)不考慮30給出時(shí)刻，的初值，用極大值原理來求最佳控制。由于A、B和Q都為常數(shù)矩陣，故用拉氏變換法求，其中。先算矩陣F：給出時(shí)刻，的初值31的拉氏反變換式中因，則

32所以所以33的拉氏反變換下面計(jì)算W和Y的拉氏反變34因此因此35下面求把和代入的式子中，可得最佳控制下面求把和代入36如在指標(biāo)函數(shù)中，不考慮導(dǎo)彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度項(xiàng)，則可令

變成以除上式得分子和分母如在指標(biāo)函數(shù)中，不考慮導(dǎo)彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度項(xiàng)，則可令37為了使脫靶量為最小，應(yīng)選取，則根據(jù)圖11-2可得當(dāng)q比較小時(shí)，則為了使脫靶量為最小，應(yīng)選取，則根38將上式代入（11-48），可得在（11-51）中，u的單位是加速度的單位米/秒平方，把u與導(dǎo)彈速度向量的旋轉(zhuǎn)角速度聯(lián)系起來，則將上式代入（11-48），可得在（11-51）中，u的單位是39從（11-51）和（11-52）式可看出，不考慮彈體慣性時(shí)，最佳導(dǎo)引規(guī)律是比例導(dǎo)引，其導(dǎo)航比為，這也證明比例導(dǎo)引是一鐘很好的導(dǎo)引方法，最佳導(dǎo)引規(guī)律的形成可用圖（11-5）來表示。圖（11-5）最佳導(dǎo)引規(guī)律方框圖從（11-51）和（11-52）式可看出，不考慮彈體慣40§1.5完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律完全考慮彈體二階振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，假定目標(biāo)不機(jī)動(dòng)師，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程為式中U為舵偏角§1.5完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律41給出時(shí)刻，的初值。一般導(dǎo)彈在發(fā)射后很短時(shí)間內(nèi)是不控制的，因此可假定的初值為零，即的初值為零指標(biāo)函數(shù)為在指標(biāo)函數(shù)中不考慮導(dǎo)彈的相對(duì)速度項(xiàng)，也不考慮項(xiàng)，則同時(shí)給出時(shí)刻，的初值42用極大值原理來求最佳控制，由于A、B和Q都為常數(shù)矩陣，故用拉氏變換法計(jì)算其中，先計(jì)算矩陣F用極大值原理來求最佳控制，由于A、B和Q都為常數(shù)矩陣，故用拉43完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件44求的拉氏反變換是很麻煩的，在此略去推導(dǎo)過程。在推導(dǎo)過程中，假定導(dǎo)彈的阻尼系數(shù)求的拉氏反變換是很麻煩的，在此略去推導(dǎo)45這樣使推導(dǎo)工作得到一些簡化，一般彈體的自然阻尼系數(shù)小于0.1，這樣的彈體是很難控制的，所以比較合理的方案是在彈上設(shè)置人工阻尼裝置。因此，一般導(dǎo)彈上都有阻尼回路，以增大導(dǎo)彈的有效阻尼系數(shù)，彈體是二階振蕩環(huán)節(jié)，最好的阻尼系數(shù)應(yīng)等于，所以彈上加了阻尼回路后，應(yīng)盡量設(shè)法使其有效阻尼系數(shù)等于或接近該值。據(jù)推導(dǎo)結(jié)果，可得最佳控制這樣使推導(dǎo)工作得到一些簡化，一般彈體的自然阻尼系數(shù)小于0.146把上式得分子乘以，除以，分子和分母同乘以3，則可得在上式中同時(shí)考慮到則把上式得分子乘以，除以47從上式可看出，考慮到彈體的二階振蕩環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性后，最佳導(dǎo)引規(guī)律的主項(xiàng)是變系數(shù)比例導(dǎo)引，另外加上航跡角角速度和角加速度的反饋。一般導(dǎo)引頭都有盲區(qū)距離，當(dāng)導(dǎo)引頭接近目標(biāo)100~200米時(shí)，導(dǎo)引頭停止工作。沒有信號(hào)輸出，導(dǎo)彈按無控飛行。導(dǎo)引頭也不是一下子就停止工作，使逐步地從正常工作過度到完全停止工作，導(dǎo)引頭從逐步開始停止工作到遭遇目標(biāo)的時(shí)間大約為0.5秒左右，所以在導(dǎo)彈整個(gè)控制飛行階段，可按（11-57）式計(jì)算最佳控制信號(hào)，把（11-57）改寫成下列形式從上式可看出，考慮到彈體的二階振蕩環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性后，最48在前面我們列寫狀態(tài)方程時(shí)，規(guī)定是舵偏角，因此在前面我們列寫狀態(tài)方程時(shí)，規(guī)定是舵偏角49圖11-6表示考慮導(dǎo)彈動(dòng)態(tài)特性后的最佳導(dǎo)引方框圖圖11-6表示考慮導(dǎo)彈動(dòng)態(tài)特性后的最佳導(dǎo)引方框圖50下面以例說明反饋系數(shù)的變化趨勢。設(shè)米/秒，米/秒，。這些系數(shù)的計(jì)算結(jié)果如圖11-7所示，越來越大。下面以例說明反饋系數(shù)的變化51因此在最佳控制從圖中可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈離目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí)，這些系數(shù)的變化比較緩慢，當(dāng)導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)，這些系數(shù)中，雖然導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程是常系數(shù)方程，但最佳控制中的狀態(tài)反饋系數(shù)都是的函數(shù)。是導(dǎo)彈從t時(shí)刻開始遭遇目標(biāo)時(shí)還需要繼續(xù)飛行的時(shí)間，也可叫剩余飛行時(shí)間，因此彈上應(yīng)有雷達(dá)和計(jì)算機(jī)，用雷達(dá)測出導(dǎo)彈至目標(biāo)的相對(duì)距離R和接近速度。計(jì)算機(jī)根據(jù)R和算出剩余飛行時(shí)間并進(jìn)一步算出所以實(shí)現(xiàn)最佳控制的設(shè)備比較復(fù)雜。

因此在最佳控制從圖中可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈離目標(biāo)較遠(yuǎn)52在不考慮彈體慣性時(shí)，得到的最佳導(dǎo)引規(guī)律與目前采用的比例導(dǎo)引法一致，因此，從現(xiàn)代控制理論的觀點(diǎn)來看，比例導(dǎo)引是一種比較好的導(dǎo)引方法?？紤]到導(dǎo)彈的二節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的特性后，最佳導(dǎo)引規(guī)律的主要項(xiàng)是，這是變系數(shù)比例導(dǎo)引。當(dāng)導(dǎo)彈距離目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí)，

基本上不隨時(shí)間而變，因此這一段看作常系數(shù)比例導(dǎo)引。當(dāng)導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)，隨時(shí)間變化比較劇烈，因此這一段完全是變系數(shù)比例導(dǎo)引。在導(dǎo)引規(guī)律中，另外二項(xiàng)是和和隨時(shí)間變化的趨勢與相似。前面已提過，導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系是非線性的，導(dǎo)彈上還有許多非線性元件，導(dǎo)彈的速度是隨時(shí)間而變的，因此在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)時(shí)還應(yīng)當(dāng)考慮到上述各因素。在不考慮彈體慣性時(shí)，得到的最佳導(dǎo)引規(guī)律與目前采用53§2卡爾曼濾波器在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用§2.1卡爾曼濾波器的功能§2.2在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中引入卡爾曼濾波器的方法§2.3廣義卡爾曼濾波器方程的推導(dǎo)§2.4卡爾曼濾波器初始條件的選取§2.5應(yīng)用實(shí)例§2.6觀測噪聲數(shù)學(xué)模型的健模方法§2卡爾曼濾波器在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用§2.1卡54§2.1卡爾曼濾波器的功能

自卡爾曼濾波器問世以來，在科學(xué)和工程上的到了廣泛應(yīng)用，它的本質(zhì)優(yōu)點(diǎn)在于：1.可以用少數(shù)幾個(gè)觀測量來獲得所有狀態(tài)變量的最佳估計(jì)值及它們的估值方差；2.在采用自適應(yīng)濾波器后，可以根據(jù)戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的不同工作條件自動(dòng)改變?yōu)V波器參數(shù)，使其性能最佳。古典的維納濾波器本質(zhì)上只適用于定常線性系統(tǒng)；§2.1卡爾曼濾波器的功能自卡爾曼濾波器553.卡爾曼濾波器以明確形式把系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性引入了濾波器的數(shù)學(xué)模型，因而充分利用了所論對(duì)象的驗(yàn)前知識(shí)，從而提高了估值準(zhǔn)確度；4.采用遞推算法，減少了對(duì)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量的要求，便于實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)濾波。

70年代以來，隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，特別是微處理和微計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，卡爾曼濾波器已在控制工程、生產(chǎn)過程自動(dòng)化、通訊、導(dǎo)航以及航空、航天技術(shù)等方面得到了廣泛的應(yīng)用，成為一種較為滿意的估值方法。3.卡爾曼濾波器以明確形式把系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性引入了濾波器的數(shù)56§2.2在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中引入卡爾曼濾波器的方法就戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)而言，卡爾曼濾波器主要應(yīng)用在以下三方面：1.導(dǎo)引頭信號(hào)處理和參數(shù)估計(jì)；2.制導(dǎo)指令的形成；3.適應(yīng)式自動(dòng)駕駛儀中彈體氣動(dòng)力特性的估計(jì)與回路增益的計(jì)算；§2.2在尋的制導(dǎo)系統(tǒng)中引入卡爾曼濾波器的方法57以雷達(dá)半主動(dòng)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而論，由于雷達(dá)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，雷達(dá)半主動(dòng)導(dǎo)引頭輸出的，代表導(dǎo)彈——目標(biāo)視線角速度的電信號(hào)上，一般都混雜有測量噪聲。這是，制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)者的任務(wù)是：一、設(shè)法測取和分析這些噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，并且用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法描述它；二、設(shè)法抑制這些噪聲，求取有用信號(hào)的最佳估計(jì)（最佳濾波估值），以消弱它對(duì)導(dǎo)彈精度的影響；三、對(duì)最佳控制問題和最佳估值問題加以綜合考慮，分析主要的非線性因素對(duì)濾波和控制的影響。以雷達(dá)半主動(dòng)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而論，由于雷達(dá)目標(biāo)的運(yùn)58§2.3

廣義卡爾曼濾波器方程的推導(dǎo)推導(dǎo)卡爾曼濾波器方程的原始依據(jù)是被濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程。所謂系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是由描寫被濾波系統(tǒng)狀態(tài)變量演化過程的一組微分方程和差分方程構(gòu)成。系統(tǒng)的觀測方程，則表示系統(tǒng)中的觀測量和系統(tǒng)狀態(tài)變量間的關(guān)系。§2.3廣義卡爾曼濾波器方程的推導(dǎo)推導(dǎo)卡59戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)方程，一般都是高階的變系數(shù)方程。在制導(dǎo)裝置的部件中，在彈體動(dòng)力學(xué)方程中，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，都含有非線性環(huán)節(jié)。因此系統(tǒng)的狀態(tài)方程都是復(fù)雜的非線性方程，用它們來導(dǎo)出卡爾曼濾波器方程是很困難的。對(duì)于制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)者而言，如果要解決的問題是簡單的信號(hào)過濾問題，則可用一種較簡單的辦法，即多項(xiàng)式動(dòng)力學(xué)的方法。完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件60多項(xiàng)式動(dòng)力學(xué)這一術(shù)語，意思是說，若忽略模型（即系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型）的不準(zhǔn)確性，則制導(dǎo)系統(tǒng)中每個(gè)信號(hào)，都可用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法寫成t的（m-1）次多項(xiàng)式每個(gè)的所需的微分階數(shù)，可以通過對(duì)該量的變化規(guī)律的分析得到。一般而言，m應(yīng)該盡可能低一些，以使卡爾曼濾波器簡單一些；同時(shí)，又必須足夠高，以便能跟蹤該兩的主要變化規(guī)律。例如，對(duì)雷達(dá)半主動(dòng)導(dǎo)引頭構(gòu)成的尋的制導(dǎo)系統(tǒng)，一般都采用比例導(dǎo)引律，用導(dǎo)彈——目標(biāo)視線角速度信號(hào)，形成制導(dǎo)指令，理論和實(shí)驗(yàn)都表明，在絕大部分攻擊飛行時(shí)間內(nèi)，此信號(hào)為一緩變信號(hào)，故可用足夠的精確度假設(shè)多項(xiàng)式動(dòng)力學(xué)這一術(shù)語，意思是說，若忽略模型（即61式中，代表導(dǎo)彈——目標(biāo)視線旋轉(zhuǎn)角速度。為了將（64）改寫為狀態(tài)方程的形式，假設(shè)，這樣，有：令狀態(tài)矢量為則上述方程組可寫為（64）（65）式中，代表導(dǎo)彈——目標(biāo)視線旋轉(zhuǎn)角速度。為了將（64）改62式中和方程（65）相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為由于當(dāng)時(shí)故得所以，我們可以把方程（65）離散化，得到狀態(tài)差分方程式中和方程（65）相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為由于當(dāng)63考慮到原設(shè)（64）的不準(zhǔn)確性，可在方程（65）的右端加上一個(gè)誤差修正項(xiàng)，用表示，一般稱為模型噪聲，此時(shí)，可將狀態(tài)方程寫成為：式中狀態(tài)變量中僅有，即可觀測，故觀測方程為：式中，而表示觀測量中的噪聲分量，可用一階或二階差分方程表示，方程（66）及（67）即構(gòu)成了被濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程組。（66）（67）考慮到原設(shè)（64）的不準(zhǔn)確性，可在方程（65）的右端加上一個(gè)64對(duì)跟蹤空中目標(biāo)的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，正如我們后面將要討論的那樣，可用下述非常來表示導(dǎo)引頭的輸出噪聲：或式中下標(biāo)“k”活“k-1”表示時(shí)間序號(hào)，為常系數(shù)，而則表示零均值高斯白噪聲在k時(shí)刻的取值，還假設(shè)：對(duì)跟蹤空中目標(biāo)的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，正如我們后面將要討論的那樣，可65式中E(.)代表對(duì)某量求數(shù)學(xué)期望運(yùn)算.而則代表對(duì)某量求方差的運(yùn)算(下同),上標(biāo)“T”代表對(duì)矩陣或矢量求轉(zhuǎn)置的運(yùn)算，利用以上假設(shè)條件，我們即可導(dǎo)出所需的卡爾曼濾波器方程，以后我們將會(huì)看到，和方程（11-68a)對(duì)應(yīng)的卡爾曼濾波器方程，只是我們所導(dǎo)出的方程在時(shí)的一個(gè)特殊情況。在一般文獻(xiàn)中，卡爾曼濾波器方程都是針對(duì)觀測噪聲為白噪聲的情況導(dǎo)出的。對(duì)與觀測噪聲為有色噪聲的情況，推導(dǎo)卡爾曼濾波器方程的方法有兩種：擴(kuò)大狀態(tài)變量的維數(shù)；此時(shí)，將有色噪聲的表達(dá)式也寫入到狀態(tài)變量方程組中去，從而使觀測方程中除狀態(tài)變量之外的觀測噪聲等效為白噪聲，這樣就可利用觀測噪聲為白噪聲時(shí)的推導(dǎo)方法。式中E(.)代表對(duì)某量求數(shù)學(xué)期望運(yùn)算.而則代662.量測求差法即改變觀測矢量，此時(shí)，引入一個(gè)新的觀測量，使得對(duì)此新觀測量列寫的新的觀測方程中，等效的觀測早聲仍未白噪聲。由于擴(kuò)大狀態(tài)變量維數(shù)的結(jié)果，將會(huì)使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的階數(shù)增大，這不僅會(huì)增大計(jì)算量，而且會(huì)使計(jì)算卡爾曼濾波器增益矩陣遇到求異成為不可能，所以是不希望的。工程上應(yīng)用量測求差法較為方便。對(duì)噪聲模型為（11-68b）的情況，引入新觀測量如下：式中即為方程（11-68b）中之系數(shù)，利用方程（11-66）可以求得2.量測求差法式中即為方程（11-68b）中之67將此式和方程（11-68b）一起代入新觀測量的表達(dá)式，整理可得其中方程（11-69）即為新的觀測方程，而為等效的觀測噪聲，它的方差為其中將此式和方程（11-68b）一起代入新觀測量的表達(dá)式，整理可68此時(shí)觀測噪聲和模型噪聲是相關(guān)的，其相關(guān)局矩陣為

參照觀測噪聲為白噪聲時(shí)導(dǎo)出的卡爾曼濾波器方程，可以假設(shè)最佳估計(jì)值由下述方程給出：式中上標(biāo)”^”表示取得最佳估值，而“”則表示用時(shí)刻及其以前的觀測值對(duì)時(shí)刻所作的預(yù)報(bào)估值。上式在形式上是用序列對(duì)所作的預(yù)報(bào)估值，但實(shí)際上是用序列

對(duì)所作的濾波估值，因而可將視為此時(shí)觀測噪聲和模型噪聲是相關(guān)的，其相關(guān)局矩陣69為了求出估值方差，需先求出因而，由定義可得若設(shè)則得記為了求出估值方差，需先求出因而，由定義可得若設(shè)則得70并將增益矩陣之下標(biāo)“k-1”改為“k”，則有這便是觀測噪聲為二階模型（11-68b）時(shí)的卡爾曼濾波器方程組，將三個(gè)方程聯(lián)立求解，即可由觀測序列{}求出狀態(tài)矢量的最佳估計(jì)值。式（11-70）表示，最佳估值由預(yù)報(bào)估值加上新息修正項(xiàng)組成，其中代表新息序列。即為卡爾曼濾波器的增益矩陣，由（11-70）式算出。并將增益矩陣之下標(biāo)“k-1”改為“k”，則有這便71（11-71）代表估值誤差協(xié)方差矩陣的算法，其中第一項(xiàng)表示上一時(shí)刻的協(xié)方差矩陣至當(dāng)前時(shí)刻的傳播，第二項(xiàng)則為模型噪聲所附加上的方差分量，它在求取最佳估值的過程中始終是存在的。第三項(xiàng)則表示由于對(duì)估值實(shí)行最佳化處理使估值誤差協(xié)方差陣減小的部分，它代表了最佳化處理帶來的好處.在觀測噪聲為（11-68a）時(shí)，即，則有式中（11-71）代表估值誤差協(xié)方差矩陣的算法，其中第一項(xiàng)72它和文獻(xiàn)中給出的觀測噪聲為一階馬爾柯夫過程時(shí)的濾波器方程是一致的，對(duì)于定常線性系統(tǒng)而言，在這組方程中的參數(shù)稱為信噪比，它對(duì)濾波器性能有重要影響，因而在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)應(yīng)仔細(xì)加以考慮。它和文獻(xiàn)中給出的觀測噪聲為一階馬爾柯夫過程時(shí)的濾波器方程是一73§2.4卡爾曼濾波器初始條件的選取為了保證最佳估值的無偏性，要求初始條件用下式選取：并應(yīng)給出所需的觀測量的驗(yàn)前估計(jì)值。在觀測噪聲取為一階模型（11-68b）時(shí)，應(yīng)給出；而在使用二階模型（11-68b）時(shí)，則應(yīng)給出及兩者?？柭鼮V波器接入制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)，它的初始條件的計(jì)算和制導(dǎo)系統(tǒng)開始工作時(shí)，載機(jī)和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。對(duì)于我們的問題，因?yàn)椤?.4卡爾曼濾波器初始條件的選取為了保證最佳估值的無偏74而及皆和導(dǎo)彈捕獲并且開始跟蹤目標(biāo)之后，載機(jī)相對(duì)于目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，即和此時(shí)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)情況，載機(jī)對(duì)目標(biāo)瞄準(zhǔn)的誤差有關(guān)。目標(biāo)的初始機(jī)動(dòng)和載機(jī)的初始瞄準(zhǔn)誤差都是隨機(jī)量（離散的或連續(xù)的），因而一般來說，將和這些隨機(jī)量的數(shù)學(xué)期望有關(guān)，而則和它們的方差或協(xié)方差有關(guān)。而及皆和導(dǎo)彈捕獲并且開始跟蹤目標(biāo)之后，載機(jī)相75對(duì)飛行目標(biāo)而言，目標(biāo)初始機(jī)動(dòng)的分布率一般都取圖（11-8）的形狀，圖中縱坐標(biāo)為目標(biāo)機(jī)動(dòng)出現(xiàn)的概率，橫坐標(biāo)為該概率所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)初始機(jī)動(dòng)加速度，此曲線可用數(shù)學(xué)函數(shù)形式表示如下：圖11-8空中目標(biāo)初始機(jī)動(dòng)的典型概率對(duì)飛行目標(biāo)而言，目標(biāo)初始機(jī)動(dòng)的分布率一般都取圖（11-8）的76一般來說，對(duì)定常線性系統(tǒng)而言，初始條件的選取對(duì)濾波的穩(wěn)態(tài)狀況沒有影響，只影響濾波的過渡過程，但在空對(duì)空導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)中，由于飛行時(shí)間不長（10~25秒），因而濾波過渡過程可能要占整個(gè)制導(dǎo)飛行時(shí)間的相當(dāng)大的一部分，對(duì)飛行的初始階段將有直接影響，也將會(huì)影響飛行中段的制導(dǎo)過程。這樣，就有必要對(duì)它加適當(dāng)考慮，具體的設(shè)置方法，可通過載機(jī)的火力控制系統(tǒng)來對(duì)導(dǎo)彈設(shè)置適當(dāng)?shù)某跏紬l件。一般來說，對(duì)定常線性系統(tǒng)而言，初始條件的選取對(duì)77§2.5

應(yīng)用實(shí)例（一）空對(duì)空導(dǎo)彈尋的制導(dǎo)系統(tǒng)的方框圖尋的制導(dǎo)的空對(duì)空導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)的一般方框圖如（11-9）所示?！?.5應(yīng)用實(shí)例（一）空對(duì)空導(dǎo)彈尋的制導(dǎo)系統(tǒng)的方78

對(duì)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而言，一般都采用比例導(dǎo)引規(guī)律形成制導(dǎo)指令，所以，尋的導(dǎo)引頭主要用于測量導(dǎo)彈——目標(biāo)視線角速度信號(hào)，信號(hào)處理電路可以是相敏檢波器、比較器、乘法器或其他低頻電路，用以形成制導(dǎo)指令。執(zhí)行機(jī)構(gòu)可以使液壓或氣壓舵機(jī)，亦可用電動(dòng)伺服機(jī)構(gòu)。彈體環(huán)節(jié)由導(dǎo)彈空氣動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)成，它是系統(tǒng)的控制對(duì)象，在用鉸鏈力矩反饋的舵機(jī)中，應(yīng)有角反饋。角反饋信號(hào)代表了導(dǎo)引頭的位標(biāo)器部分和彈體運(yùn)動(dòng)的耦合，而導(dǎo)彈軌跡角則是導(dǎo)彈——目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的輸入量。對(duì)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而言，一般都采用比例導(dǎo)引規(guī)律形成制79對(duì)于雷達(dá)半主動(dòng)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而言，其導(dǎo)引頭輸出的、代表導(dǎo)彈——目標(biāo)視線角速度的電信號(hào)上，一般都混有噪聲。這種噪聲來源有：1.來自外部的噪聲主要是由目標(biāo)反射回來的雷達(dá)回波中，由于目標(biāo)的隨機(jī)角運(yùn)動(dòng)，使此回波信號(hào)在幅度上隨機(jī)起伏，并引起等效的目標(biāo)反射中心的隨機(jī)飄移，因而使導(dǎo)引頭測得的角信號(hào)產(chǎn)生閃爍對(duì)于雷達(dá)半主動(dòng)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)而言，其導(dǎo)引頭輸出的802.來自制導(dǎo)裝置內(nèi)部的噪聲主要是電子器件的熱噪聲，伺服機(jī)構(gòu)噪聲等。由于這些噪聲的存在，使雷達(dá)型導(dǎo)引頭測得的視線角速度信號(hào)上帶有隨機(jī)誤差，并最終影響導(dǎo)引準(zhǔn)確度。因此，必須抑制這些噪聲，提高導(dǎo)引準(zhǔn)確度，減少終點(diǎn)脫靶量。完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件81（二）卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的大致步驟如下：建立觀測噪聲的數(shù)學(xué)模型，即用方程來表示雷達(dá)導(dǎo)引頭輸出信號(hào)中的噪聲成分；導(dǎo)出卡爾曼濾波器方程，并給出相應(yīng)的初始條件算法；進(jìn)行卡爾曼濾波計(jì)算，選取最佳參數(shù)；將卡爾曼濾波器接入制導(dǎo)系統(tǒng)，通過全系統(tǒng)聯(lián)試來修改卡爾曼濾波器及制導(dǎo)系統(tǒng)兩者的參數(shù)，使整個(gè)系統(tǒng)的導(dǎo)引準(zhǔn)確度最高。（二）卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的大致步驟如下：82在雷達(dá)導(dǎo)引頭已初步研制完成的情況下，獲得雷達(dá)導(dǎo)引頭輸出噪聲模型的直接方法，就是利用此雷達(dá)導(dǎo)引頭，對(duì)真實(shí)的空中目標(biāo)進(jìn)行空中或地面跟蹤試驗(yàn)。在試驗(yàn)過程中記錄雷達(dá)導(dǎo)引頭輸出的視線角速度信號(hào)，此信號(hào)為有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的迭加，即實(shí)驗(yàn)信號(hào)Y（t）為為了建立V（t）的數(shù)學(xué)模型，首先要設(shè)法剔除其中的非隨機(jī)成分，這可以根據(jù)具體情況，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈプ?。譬如，在試?yàn)中若基本保持常值，則易于導(dǎo)出此式之左端正好是我們建立卡爾曼濾波器觀測噪聲數(shù)學(xué)模型時(shí)所需的零均值噪聲。在雷達(dá)導(dǎo)引頭已初步研制完成的情況下，獲得雷達(dá)導(dǎo)引83試驗(yàn)與計(jì)算表明，雷達(dá)導(dǎo)引頭輸出的噪聲信號(hào)，一般為一階或二階平穩(wěn)自回歸模型，典型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)隨k的變化規(guī)律，分別如圖（11-10）及（11-11）所示。試驗(yàn)與計(jì)算表明，雷達(dá)導(dǎo)引頭輸出的噪聲信號(hào)，一般84由曲線可看出隨k的增大而減少，但呈振蕩狀，總不會(huì)恒保持在某一數(shù)值范圍內(nèi)，我們稱這種曲線“呈拖尾狀”。相反，對(duì)偏自相關(guān)函數(shù)而言，在k=3時(shí)，某值驟減到極小的數(shù)值，而且此后各值總保持在某一個(gè)很小的數(shù)值范圍內(nèi)，我們稱此曲線在k=3處“截尾”。根據(jù)下段所述準(zhǔn)則，可判定它為二階平穩(wěn)自回歸模型AR（2）。對(duì)于這種噪聲模型，所導(dǎo)出的卡爾曼濾波器方程和方程（11-70）、（11-71）及（11-72）相同。在一個(gè)實(shí)例中，用實(shí)測的導(dǎo)引頭噪聲作為卡爾曼濾波器的輸入信號(hào)，對(duì)濾波器的濾波效果進(jìn)行了計(jì)算。由曲線可看出隨k的增大而減少，但呈振蕩狀85計(jì)算所使用的程序框圖如圖11-12所示。計(jì)算所使用的程序框圖如圖11-12所示。86在信噪比為0.1時(shí)，典型的濾波曲線如圖11-13所示，計(jì)算表明，濾波器輸出信號(hào)的方差和觀測信號(hào)的方差相比，減少了71.2%在信噪比為0.1時(shí)，典型的濾波曲線如圖11-187將這個(gè)濾波器接入圖（11-10）所示的制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)，需將原有的RC濾波器去掉。

但是，由于最佳估值問題和最佳控制問題是相互關(guān)聯(lián)的，因而必須從最佳隨機(jī)控制的觀點(diǎn)，重新考慮整個(gè)尋的制導(dǎo)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的選取。將這個(gè)濾波器接入圖（11-10）所示的制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)88

按照隨機(jī)最佳控制理論，在下述條件下，最佳估值器和最佳控制器的設(shè)計(jì)（即卡爾曼濾波器和最佳導(dǎo)引規(guī)律的設(shè)計(jì)）無相互關(guān)聯(lián)，可獨(dú)立進(jìn)行設(shè)計(jì)：1.所考慮的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)；2.作用于系統(tǒng)上的隨機(jī)輸入量符合正態(tài)的或高斯的分布濾；3.最佳指標(biāo)選為二次型性能指標(biāo)，形如完全考慮彈體動(dòng)態(tài)特性的最佳導(dǎo)引規(guī)律課件89式中——系統(tǒng)工作開始計(jì)終結(jié)時(shí)刻；X——狀態(tài)矢量；U——作用于系統(tǒng)控制對(duì)象上的控制信號(hào)或控制函數(shù)：S，Q——非負(fù)定矩陣；R——正定矩陣；所求得的最佳控制函數(shù)U，應(yīng)能使J達(dá)到最小。除了有時(shí)第二個(gè)條件可放寬以外，這些條件都是必備的。式中——系統(tǒng)工作開始90對(duì)于我們所考慮的系統(tǒng)，顯然不是線性系統(tǒng)，因?yàn)樵诜糯笃骱投鏅C(jī)中存在著飽和非線性特性，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)環(huán)節(jié)中存在著正弦和余弦函數(shù)等。另外，作用在系統(tǒng)上的有些隨機(jī)輸入量，也不符合正態(tài)分布規(guī)律。例如，雷達(dá)目標(biāo)回波信號(hào)中的振幅噪聲已知為瑞利分布，而目標(biāo)機(jī)動(dòng)的典型概率分布為圖11-8所示的曲線，也不是高斯分布。因而，原則上不能將最佳估值問題和最佳控制問題分割開。這樣，我們單獨(dú)設(shè)計(jì)的卡爾曼濾波器，就不能原封不動(dòng)地搬到制導(dǎo)系統(tǒng)中去，必須對(duì)濾波器本身及導(dǎo)引規(guī)律兩者都作適當(dāng)?shù)膮f(xié)調(diào)和改動(dòng)，否則將不能有效地提高制導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)引準(zhǔn)確度。對(duì)于我們所考慮的系統(tǒng)，顯然不是線性系統(tǒng)，因?yàn)樵?1但是從純理論的角度去處理這一問題的話，將會(huì)遇到很大的困難。因?yàn)槲覀兠媾R的是一個(gè)高階的非線性協(xié)調(diào)。工程上較實(shí)用的方法是試驗(yàn)方法，即用制導(dǎo)系統(tǒng)的仿真試驗(yàn)來對(duì)最佳估值器和最佳控制規(guī)律進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。但是從純理論的角度去處理這一問題的話，將會(huì)遇到92由于原有的系統(tǒng)是模擬式制導(dǎo)系統(tǒng)，而卡爾曼濾波器是一個(gè)數(shù)學(xué)部件，故在將卡爾曼濾波器接入制導(dǎo)系統(tǒng)之后，即形成一個(gè)數(shù)字——模擬混合系統(tǒng)。在進(jìn)行仿真試驗(yàn)時(shí)，現(xiàn)有的模擬式部件都在模擬式電子計(jì)算機(jī)上用排題的方法實(shí)現(xiàn)，而卡爾曼濾波器本身則在數(shù)字計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)。在模擬式計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算機(jī)之間還要加上適當(dāng)?shù)臄?shù)字/模擬及模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換裝置及相應(yīng)的接口程序，以實(shí)現(xiàn)模擬式計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算機(jī)之間的信息交換和運(yùn)行控制。由于原有的系統(tǒng)是模擬式制導(dǎo)系統(tǒng)，而卡爾曼濾波器是93

對(duì)于此混合式制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，也使用蒙特-卡羅（Monte-Carlo）方法，即使用足夠多的隨機(jī)輸入量樣本，在某些初始條件和參數(shù)下進(jìn)行足夠多次的運(yùn)算，求取狀態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)平均值。這樣一來，如果原來測取的噪聲樣本不夠長，就應(yīng)根據(jù)已建立起來的噪聲的數(shù)學(xué)模型，產(chǎn)生足夠長的噪聲樣本。對(duì)于此混合式制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，也使用蒙94其具體方法如下：1.用某種方法，例如乘同余法。產(chǎn)生在區(qū)間[0，1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)R（i）；2.用下述方法，利用已得的均勻分布隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)樣本：式中S為和有關(guān)的常系數(shù)。3.用代入已建立的噪聲的數(shù)學(xué)模型中，產(chǎn)生所需的AR（2）時(shí)間序列：這即是方程（11-68b）的代換式。其具體方法如下：95對(duì)于我們的例子，用上述方法進(jìn)行了混合仿真試驗(yàn)。在適當(dāng)?shù)剡x取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)之后，得到了較滿意的結(jié)果。由噪聲分量產(chǎn)生的脫靶距離，和具有RC濾波器的模擬式制導(dǎo)系統(tǒng)的蒙特-卡羅模擬結(jié)果相比，大約可減少一半，典型的制導(dǎo)系統(tǒng)混合仿真試驗(yàn)曲線如圖11-14所示。

對(duì)于我們的例子，用上述方法進(jìn)行了混合仿真試驗(yàn)。在96由圖可以看出，用卡爾曼濾波器所得到的視線角速度的最佳估值，比采用RC濾波器的模擬器的模擬式系統(tǒng)得到的視線角速度的變化規(guī)律，更靠近于確定性制導(dǎo)系統(tǒng)，即只有初始條件作為唯一輸入量的原模擬式制導(dǎo)系統(tǒng)，而確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果說明，它的終點(diǎn)脫靶量近視為零。為了進(jìn)一步改善濾波器的性能，一般可采用適應(yīng)式卡爾曼濾波器。在這種濾波器中，要用某種方法在線、實(shí)時(shí)地對(duì)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性的變化加以預(yù)測和估計(jì)，據(jù)此修改噪聲模型，并相應(yīng)地改變?yōu)V波器及導(dǎo)引規(guī)律諸參數(shù)。由圖可以看出，用卡爾曼濾波器所得到的視線角速度97§2.6觀測噪聲數(shù)學(xué)模型的建模方法建立觀測噪聲數(shù)學(xué)模型所用的方法，即是一般的線性隨機(jī)時(shí)間序列的分析方法，亦即近年來出現(xiàn)的建立ARMA模型的方法。它的基本思想和基本方法如下。對(duì)于很廣泛一類平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間序列若其數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)計(jì)平均值為零（在它不為零時(shí)，可取原序列與它的數(shù)學(xué)期望之差作為序列），總可以用下述三個(gè)差分方程之一來描述：§2.6觀測噪聲數(shù)學(xué)模型的建模方法建立觀測98其中及為的算子多項(xiàng)式。稱為后移算子，即n為正整數(shù)。這樣，上述算子多項(xiàng)式可寫為

其中p和q為正整數(shù)，稱為模型的階數(shù)。規(guī)定為零均值高斯白噪聲。方程（11-79）稱為自回歸模型。若的最高冪次為p，則稱為p階自回歸模型。其中及為的算99若方程的全部根都位于復(fù)平面z上的單位圓內(nèi)，則由方程（11-79）所得到的隨機(jī)序列，一定是平穩(wěn)隨機(jī)序列。這時(shí)，我們稱方程（11-79）所代表的模型為p階平穩(wěn)自回歸模型，簡記為AR（P）模型。方程（11-80）稱為滑動(dòng)平均模型。若中的最高冪次為q，則稱它為q階滑動(dòng)平均模型。若在方程中，其全部根都的全部根都在復(fù)平面z上的單位圓內(nèi)，則稱此方程所代表的模型為可逆滑動(dòng)平均模型。若方程100因?yàn)樵跐M足這個(gè)條件時(shí)，方程（11-80）存在可逆解為一個(gè)的無窮多項(xiàng)式，而在滿足上述條件時(shí)，這個(gè)無窮多項(xiàng)式可寫成有理分式的形式。此模型簡記為MA（q）。同理，稱方程（11-81)代表的模型為自回歸與滑動(dòng)平均混合模型。若這個(gè)方程左右兩邊的算子多項(xiàng)式所構(gòu)成的方程：分別滿足上述條件，即它們的根全部在復(fù)平面ｚ上的單位圓內(nèi)，且階數(shù)分別為ｐ和ｑ，則稱方程（11-81）所代表的模型為p階平穩(wěn)自回歸與q階可逆滑動(dòng)平均混合模型，簡記為ARMA（p，q)。因?yàn)樵跐M足這個(gè)條件時(shí)，方程（11-80）存在可逆解101問題在于：記錄到一個(gè)隨機(jī)序列的樣本之后，究竟是不是平穩(wěn)序列？如果是平穩(wěn)隨機(jī)序列，它屬于上述三類中的哪一類？P和q如何確定？諸系數(shù)及和的方差（數(shù)學(xué)期望已知為零）如何求出？這些問題即是建立噪聲的數(shù)學(xué)模型時(shí)需要解決的主要問題。（一）平穩(wěn)性判別和預(yù)處理：一般來說，一個(gè)物理隨機(jī)過程，如果它賴以發(fā)生的物理系統(tǒng)的環(huán)境條件和參數(shù)在系統(tǒng)的全部工作時(shí)間內(nèi)保持不變，則可把該過程視為平穩(wěn)隨即過程。但是這種看法并不嚴(yán)格。在實(shí)際問題中，還必須根據(jù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算，從數(shù)值上檢驗(yàn)它的平穩(wěn)性。問題在于：記錄到一個(gè)隨機(jī)序列的樣本之后，究竟是不是平穩(wěn)序列？102

檢驗(yàn)的具體方法是：選取一個(gè)長樣本序列中足夠長的幾段，計(jì)算各段的均、方差及相關(guān)函數(shù)，看這些量是否相等或近視相等。如果它們近視相等，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)序列在所檢驗(yàn)的時(shí)間區(qū)間上是平穩(wěn)的。在確認(rèn)了隨機(jī)序列的平穩(wěn)性之后，還應(yīng)對(duì)該序列進(jìn)行預(yù)處理，即剔出這個(gè)隨機(jī)序列中所包含的非隨機(jī)量，使它僅包含隨機(jī)噪聲。然后，還需去掉此噪聲的常值數(shù)學(xué)期望。檢驗(yàn)的具體方法是：選取一個(gè)長樣本序列中足夠長的103（二）計(jì)算隨機(jī)序列的自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)及偏相關(guān)函數(shù)：對(duì)零均值隨機(jī)序列定義為此序列的自協(xié)方差函數(shù)的一個(gè)估值，m一般可取為序列長度n的1/4~1/10。由平穩(wěn)序列的性質(zhì)可知定義（二）計(jì)算隨機(jī)序列的自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)104為該序列的自相關(guān)函數(shù)的一個(gè)估值。易于看出如果要用序列中某時(shí)刻t之前的k個(gè)值的線性組合來逼近t時(shí)刻之值，形如：并且存在一組系數(shù)