細(xì)長壓桿的臨界力公式-歐拉公式

10.2細(xì)長壓桿的臨界力公式—?dú)W拉公式一、兩端鉸支壓桿的臨界力圖9—4為兩端受壓桿件，人們經(jīng)過對不同長度（l）,不同截面（I）,不同材料（E）的壓桿在內(nèi)力不超過材料的比例極限時(shí)發(fā)生失穩(wěn)的臨界力Per研究得知：兀2EIPer= （9—1）l2式中：兀一圓周率；E—材料的彈性摸量；l—桿件長度；I—桿件截面對行心主軸的慣性矩。圖9-4圖9-4當(dāng)桿端在各方向的約束情況相同時(shí)，壓桿總是在抗彎剛度最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)，所以（9-1）式中的慣性矩應(yīng)取截面最小的形心慣性矩Imin瑞士科學(xué)家歐拉（L.Eular）早在18世紀(jì)，就對理想細(xì)長壓桿在彈性范圍的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。從理論上證明了上述（9-1）式是正確的，因此（9-1）式又稱為計(jì)算臨界力的歐拉公式。、桿端支承對臨界力的影響a）b）（c）（d）a）b）（c）（d）圖9-5工程上常見的桿端支承形式主要有四種，如圖9-5所示，歐拉進(jìn)一步研究得出各種支承情況下的臨界力。如一端固定，一端自由的桿件，這種支承形式下壓桿的臨界力，只要在（9-1）式中以21代替l即可。

兀2EIPr=T2lX同理，可得兩端固定支承的臨界力為P兀2EI

兀2EIPr=T2lX同理，可得兩端固定支承的臨界力為P兀2EI

cr—G.51Aa)b)一端固定，一端鉸支壓桿的臨界力為P兀2EI

cr (0.7/)2c)式(a),(b),(c)和(9-1)可歸納為統(tǒng)一的表達(dá)式Pcr兀2EI9-2)式中卩1稱為壓桿計(jì)算長度，卩稱為長度系數(shù)，幾種不同桿端支承的各卩值列于表9—1中,卩反映了桿端支承情況對臨界力的影響。表9-1各種桿端支承壓桿的長度系數(shù)圖丨桿端支承情況臨界力PerTT2EI22EI(T)T2EI桿端支承情況臨界力PerTT2EI22EI(T)T2EI(075722EI(077^2計(jì)算長度長度系數(shù)II 121 0.512 0.50.7'0.7例9.1圖示軸心受壓桿，截面面積為10mmx20mm。已知其為細(xì)長桿，彈性模量E=200GPa,試計(jì)算其臨界力。

cr單位：mm圖9-6cr單位：mm圖9-6解：由桿件的約束形式可知：卩=0.7臨界力：Pcr兀2臨界力：Pcr兀2EI兀2x200xl03x1.67x103（山）2- （0.7x2.5x103）2二1076.2N二1.076kNhb320x103I一 一 一1.67x103mm4miny1212三、臨界應(yīng)力和柔度在臨界力的作用下，細(xì)長壓桿橫截面上的平均應(yīng)力叫做壓桿的臨界應(yīng)力，用b表示。cr若壓桿的橫截面面積為A，則臨界應(yīng)力為：P 兀2EIb=—crcrA （址）2.A由式-7=i2可知：兀2E.b= i2cr（世）2.令9-3）人= 9-3）i于是臨界應(yīng)力的公式為9-4）九稱為壓桿的柔度或長細(xì)比，它綜合反映了壓桿的長度、支承情況、截面形狀與尺寸等因素，是一個(gè)無量綱的量。四、歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是在材料服從胡克定律的條件下導(dǎo)出的，因此，壓桿的臨界力只適用于應(yīng)力小于比例極限的情況。其條件可表示為：兀2EG二 ＜Qcr 九2.p若用柔度來表示，則歐拉公式的適用范圍為："k2E九n九= （9-5）p◎'p式中九為Q二◎時(shí)的柔度值。pcrp工程中把九'九的壓桿稱為細(xì)長桿（或大柔度桿），只有細(xì)長桿才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算p壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。九的大小與材料的力學(xué)性能有關(guān)，不同材料的九值不同。如Q235鋼，若取ppE二200GP.,q二200Mpa，代入上式可得九二100，這意味著由Q235鋼制成的壓桿，pp只有在九＞100時(shí)才可以應(yīng)用歐拉公式。例9.2有一長l=4.5m的壓桿，截面為20a工字鋼，一端固定，一端鉸支，材料為Q235鋼。E二2x105Mpa。如圖9-7所示，試計(jì)算壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。查型鋼解：（1）計(jì)算九查型鋼壓桿一端固定，一端鉸支，卩=0.7o1、I為形心主慣性矩，1二I。yz min y表得：i=2.12cm，I=158cm4，A=35.6cm2oyy卩0.7x4500故九= = =148.6＞九=100 壓桿為細(xì)長桿。i21.2 p計(jì)算Pcr

Pcr兀2Pcr兀2El(P)2兀2X2.1X105X158X104(0.7X4.5X103)2=330.04X103N=330.04kN計(jì)算bcrbcr=92.7MpaP=330.04x103bcr=92.7MpaT=35.6x102例9.3一中心受壓木柱，長l=8,矩形截面，bxh=120mmx200mm,柱的支承情況是:在最大剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)（中心軸為y軸）兩端鉸支，如圖9-8（a）所示，在最小剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)（中心軸為z軸），兩端固定，如圖9-8（b）所示，木材的彈性模量E=10GPa,九p=110，試求木柱的臨界應(yīng)力和臨界力。m8m8解：（1）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的柔度i=2=聖0=57.7mmy<12v12在此平面內(nèi)，柱子兩端為鉸支，R=1。九=巴=1x8x103=139yi57.7y2）計(jì)算最小剛度平面的柔度i= =-120=34.6mmz<12 \12在此平面內(nèi)，柱子兩端固定，所以卩=0.5。pli0pli0.5X8X103=115.634.6（3）討論計(jì)算結(jié)果表明，木柱的最大剛度平面內(nèi)柔度九比最小剛度平面內(nèi)柔度九大，故木柱將yz在最大剛度平面內(nèi)失穩(wěn)。（