空間向量基本定理導(dǎo)學(xué)案高二數(shù)學(xué)系列（人教A版2019選擇性）

第一章空間向量與立體幾何

1.2空間向量基本定理導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)了解空間向量基本定理及其意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；掌握空間向量的正交分解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點難點重點：掌握空間向量基本定理難點：用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點1：設(shè)，，是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點．對于任意一個空間向量，設(shè)為在，所確定的平面上的投影向量，則．又向量，共線，因此存在唯一的實數(shù)，使得，從而而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得 ．知識點2：如果，，是空間三個兩兩垂直的向量，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得 ．我們稱，，分別為向量在，，上的分向量．知識點3：如果三個向量，，不共面，那么所有空間向量組成的集合就是．這個集合可看作由向量，，生成的，我們把叫做空間的一個基底(base)，，，都叫做基向量(basevectors)．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．知識點4：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個向量，，，使．像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．1.已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運算和相等向量的概念計算，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：D.2．下列說法正確的是（

）A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行．B．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．C．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線．D．若三個向量、、兩兩共面，則三個向量、、一定共面．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念以及空間向量基本定理分析判斷.【詳解】對于A：若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯誤；對于B：根據(jù)空間向量基本定理可知，此時、、應(yīng)是空間三個不共面的向量，故B錯誤；對于C：反證：若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，這與向量、所在的直線是異面直線相矛盾，故C正確；對于D：若三個向量、、兩兩共面，則三個向量、、不一定共面，例如、、所在的直線為三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯誤；故選：C.3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ACD【分析】利用空間向量基底的定義，逐一判斷各選項中的3個向量是否共面作答.【詳解】構(gòu)成空間的一個基底，對于A，因為，因此向量，，共面，A不能；對于B，向量與不共線，又向量不能用和表示，即向量，，不共面，B能；對于C，因為，因此，，共面，C不能；對于D，因為，因此，，共面，D不能.故選：ACD4.已知關(guān)于向量的命題，（1）是，共線的充分不必要條件；（2）若，則存在唯一的實數(shù)，使；（3），，則；（4）若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；（5）．在以上命題中，所有正確命題的序號是________．【答案】（1）（4）【分析】根據(jù)共線向量，向量垂直，向量的基本定理，向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，逐一分析5個命題的真假，即可得解．【詳解】（1）若，則，反向共線，即滿足充分條件，但當(dāng)非零向量，同向共線時，不存在，即滿足不必要條件，故（1）正確；（2）若向量，中有一個零向量，則存在無數(shù)個實數(shù)，使，即（2）錯誤；（3）若，，說明，，不一定存在，即（3）錯誤；（4）令，則，所以，無解，即，，不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，即（4）正確；（5），即（5）錯誤．命題（1）（4）正確．故答案為：（1）（4）．5.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）．A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若，則是鈍角C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對空間中任意一點，有，則四點共面【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量共面的性質(zhì)判斷選項A；利用向量夾角的取值范圍判斷選項B；根據(jù)基底的定義判斷選項C；根據(jù)空間向量共面的充要條件判斷選項D．【詳解】選項A，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，由于空間任意兩個向量一定共面，因此這三個向量一定共面，正確；選項B，若，則是鈍角或者，錯誤；選項C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，正確；選項D，對空間中任意一點，有，，四點不共面，錯誤；故選：AC新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題情境我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么如何用這三個向量表示空間中任意的向量呢？我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量，來表示(平面向量基本定理)．類似地，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量，，來表示呢?師生活動學(xué)生獨立思考、作答，教師展示研究路徑，板書空間向量及其運算，揭曉課題：下面我們類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念和表示開始．［設(shè)計意圖］主要方法是類比，即類比平面向量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，類比平面向量的運算學(xué)習(xí)空間向量的運算，類比用平面向量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡單的立體幾何問題.教，使學(xué)生親歷研究的過程，積累基本活動經(jīng)驗.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論．問題1：空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底？【提示】空間任意三個“不共面”的向量都可以作為空間向量的一個基底．如圖，設(shè)，，是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點．對于任意一個空間向量，設(shè)為在，所確定的平面上的投影向量，則．又向量，共線，因此存在唯一的實數(shù)，使得，從而而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得 ．問題2：基底與基向量的概念有什么不同？【提示】一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.從而問題3：空間的基底唯一嗎？【提示】不唯一，只要是三個向量不共面，這三個向量就可以組成空間的一個基底．一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.因此，如果，，是空間三個兩兩垂直的向量，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得 ．我們稱，，分別為向量在，，上的分向量．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問題5：探究 在空間中，如果用任意三個不共面的向量，，代替兩兩垂直的向量，，，你能得出類似的結(jié)論嗎?類似平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理．定理如果三個向量，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得．請你自己給出空間向量基本定理的證明．問題4：為什么空間向量基本定理中x，y，z是唯一的？你能證明唯一性嗎?【提示】平移向量a，b，c，p使它們共起點，如圖所示，以p為體對角線，在a，b，c方向上作平行六面體，易知這個平行六面體是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．由此可知，如果三個向量，，不共面，那么所有空間向量組成的集合就是．這個集合可看作由向量，，生成的，我們把叫做空間的一個基底(base)，，，都叫做基向量(basevectors)．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個向量，，，使．像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個基向量表示出來．進一步地，所有空間向量間的運算都可以轉(zhuǎn)化為基向量間的運算，這為解決問題帶來了方便．1．已知是空間的一個基底，從，，中選哪一個向量，一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個基底?1．解：向量一定可以與，構(gòu)成另一個基底，因為，與，共面，只有不與，共面．2．已知為空間的四個點，且向量，，不構(gòu)成空間的一個基底，那么點是否共面?解：，，不構(gòu)成空間的一個基底，，，共面，四點共面．3．如圖，已知平行六面體，點是側(cè)面的中心，且，，．（1）是否構(gòu)成空間的一個基底?（2）如果構(gòu)成空間的一個基底，那么用它表示下列向量：，，，．解：（1），，不共面，是空間的一個基底．（2），，，環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，用向量，，表示．分析：，，是三個不共面的向量，它們構(gòu)成空間的一個基底，可以用基底表示出來．解：．例2如圖，在平行六面體中，，，，，，，，分別為，的中點．求證：．分析：要證，只需證明．由已知，可構(gòu)成空間的一個基底．把和分別用基底表示，然后計算即可．證明：設(shè)，，這三個向量不共面，構(gòu)成空間的一個基底，我們用它們表示，，則 ，所以．所以．［設(shè)計意圖］例2是利用空間向量基本定理證明平行六面體中兩條線段互相垂直的例子.學(xué)生已經(jīng)會用向量的數(shù)量積運算判斷兩直線是否具有垂直關(guān)系，教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕?，并把相關(guān)向量用基底表示.例3如圖，正方體的棱長為1，分別為，，的中點．（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）要證明，只需證明與共線．設(shè)，則構(gòu)成空間的一個單位正交基底，把和分別用基向量表示，作相應(yīng)的運算證明它們共線即可．（2）要求與所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．（1）證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以 ， ．所以．所以．（2）解：因為 ， ，所以所以與所成角的余弦值為．［設(shè)計意圖］例3是利用空間向量基本定理證明正方體中兩條線段互相平行和計算兩條線段所成角的余弦值的例子.立體幾何中有關(guān)兩宜線平行的問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量共線的問題，對于問題（D,教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生利用正方體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正交基底，并用基向量表示相關(guān)的向量.對于問題（2）,教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生用基向量表示向量數(shù)量積運算中涉及的向量.練習(xí)（第14頁）1．已知四面體，，．求證：．1．證明：如圖，，，，，．2．如圖，在平行六面體中，，，，．求與所成角的余弦值．2．解：設(shè)，，．又，．．．所以與所成角的余弦值為0．3．如圖，已知正方體，和相交于點，連接，求證：．證明：設(shè)，且，，，，，．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升用基底表示向量的三個步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底、結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第12頁練習(xí)第1，2，3題第14頁練習(xí)第1，2，3題第15頁習(xí)題1.2第1,2,3,4,5,6,7,8題問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。備選練習(xí)：1.在三棱柱中，M，N分別為，的中點，若則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的運算法則得到，得到答案.【詳解】，故.，故選：A2．如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點，，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】如圖，連接.因為，分別是，的中點，，所以，，，則.故選：B.3.以下四個命題中正確的是（

）A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底C．對空間任意一點和不共線的三點、、，若，則、、、四點共面D．向量，，共面，即它們所在的直線共面【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量基底的定義：任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，逐一分析A，B，D可判斷這三個選項的正誤，由共面向量定義來判斷D的正誤．【詳解】對于A，空間的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量表示，A中忽略三個基底不共面的限制，故A錯誤；對于B，若為空間向量的一組基底，則不共面，且均為非零向量，假設(shè)共面，則，，方程無解，即不共面，則構(gòu)成空間向量的另一組基底，B正確；對于C，若，則整理得，則向量共面，即、、、四點共面，C正確；向量，，共面，但是它們所在的直線不一定共面,故D錯誤.故選：BC.4.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點，且，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)向量運算求得，進而求得.【詳解】所以，所以.故答案為：5.已知正方體的棱長為，給出下列四個命題：①；②；③點到面的距離為；④點在正方體的側(cè)面及其邊界上運動，并保持，則的取值范圍是其中正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①②④【分析】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合正