圓的學習知識點(資料整理)

,.第三章圓一．與圓相關的概念1.圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑.【圓心決定圓的位精品文檔放心下載置，半徑?jīng)Q定圓的大小，圓心和半徑確定了，圓就確定了】謝謝閱讀2.①圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧，等精品文檔放心下載于半圓的弧叫半圓.②等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。等弧的長度相等，所含度數(shù)相等（即彎曲程度相謝謝閱讀等）.等弧也可以通過它所對的圓心角、圓周角、弦來進行判斷，具體地說：感謝閱讀a.在同圓或等圓中，所對的圓心角相等的兩段弧是等弧。感謝閱讀b.在同圓或等圓中，所對的圓周角相等的兩段弧是等弧。謝謝閱讀c.在同圓或等圓中，所對的弦相等的兩段弧是等弧?！緶剀疤崾荆喊雸A是弧，半圓形不是?。?弧的度數(shù)等于弧所對的圓心角的度數(shù) .】謝謝閱讀3.弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓中最長的弦是直徑 .謝謝閱讀【溫馨提示：一條弦對著兩條弧，對著兩個圓心角（選擇題），一般讓求“弦所對的圓心角的度數(shù)”，指謝謝閱讀的是“弦所對的小于 180°的那個圓心角”（填空題）；一條弧對著一條弦，對著一個圓心角】謝謝閱讀4.圓心角：頂點在圓心上，角的兩邊與圓周相交的角叫圓心角 .【圓心角∠AOB的取值范圍是0°＜∠AOB＜感謝閱讀360°】5.圓周角：頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角 .謝謝閱讀6.外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；這個三角形叫做圓的精品文檔放心下載內(nèi)接三角形.三角形外接圓的圓心（外心）到三角形三個頂點的距離相等 .感謝閱讀【溫馨提示：三角形三邊垂直平分線的交點叫三角形外接圓的圓心 ;三角形有且只有一個外接圓，但圓有無精品文檔放心下載數(shù)個內(nèi)接三角形】,.以下圖為例O為外接圓的圓心，即外心.溫馨提示：銳角三角形外接圓的圓心（外心）在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心（外心）在它斜邊的中點上感謝閱讀(R=c)；鈍角三角形外接圓的圓心（外心）在它的外部.精品文檔放心下載27.內(nèi)心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為三角形的內(nèi)心；這個三角形叫做感謝閱讀圓的外切三角形.三角形內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）到三角形三邊的距離相等 .精品文檔放心下載【溫馨提示：三角形三條角平分線的交點叫內(nèi)切圓的圓心;三角形有且只有一個內(nèi)切圓，但圓有無數(shù)個外精品文檔放心下載切三角形】附注：①等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓設等邊△ABC的邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，則有r3a3a6，外接圓半徑R=3②直角三角形內(nèi)切圓,.設Rt△ABC兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，內(nèi)切圓半徑為r，則有r1(abc)或rab，其中2abc四邊形IDCB為正方形，邊長ID=r.三角形的外接圓和內(nèi)切圓比較名稱確定方法圖形性質(zhì)1.OA=OB=OC(即圓心到三角形三個外心：三角形外接三角形三邊中垂線頂點的距離相等).圓的圓心的交點.2.外心不一定在三角形的內(nèi)部.1.圓心到三邊的距離相等.內(nèi)心：三角形內(nèi)切三角形三條內(nèi)角平2.OA、OB、OC分圓的圓心分線的交點.別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB.3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部.等邊三角形的外接圓半徑與它的內(nèi)切圓半徑之比為2:1（如圖1）感謝閱讀直角三角形的外接圓半徑與它的內(nèi)切圓半徑之比為c:abc=c:(abc)（如圖2）感謝閱讀2 2,.等腰三角形的內(nèi)心和外心雖然不同，但都在底邊的垂直平分線上.精品文檔放心下載三角形外接圓半徑的求法abR2h【即三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商】精品文檔放心下載三角形內(nèi)切圓半徑r的求法∵S△ABC1(abc)r2∴r2S△ABCabc二．圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。過不在同一條直線上的三點作圓的做法：三．與圓相關的位置關系1.點與圓的位置關系（1）點在圓內(nèi)（2）點在圓上（3）點在圓外

dr點C在圓內(nèi)；dr點B在圓上；dr點A在圓外；,.2.直線與圓的位置關系（1）直線與圓相離（2）直線與圓相切（3）直線與圓相交

dr無交點；dr有一個交點；dr有兩個交點；rdd=rrd三．與圓相關的性質(zhì)和定理1.圓的對稱性：圓是軸對稱圖形,對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線（或直徑所在的直線）,它有無數(shù)條對稱軸.圓也精品文檔放心下載是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心.圓的旋轉不變性：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度,都能與原來的圖形重合.謝謝閱讀★★★2.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；感謝閱讀（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。恢x謝閱讀（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。感謝閱讀3.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。感謝閱讀EFOAC

DB,.D C4.圓周角定理 B OA（1）圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。感謝閱讀（2）圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；精品文檔放心下載推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑.精品文檔放心下載推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。精品文檔放心下載（3）圓心角、弧、弦、弦心距關系定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距謝謝閱讀中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．感謝閱讀（補充）平行弦定理：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.5.圓內(nèi)接四邊形（1）性質(zhì)定理：

C DB性質(zhì)定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補即：在⊙O中，

A E∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴CBAD180 BD180精品文檔放心下載DAEC性質(zhì)定理2：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角（2）判定定理：（很重要）,.如果一個四邊形的對角互補,那么它的四個頂點共圓.推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么它的四個頂點共圓.感謝閱讀附注：圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形； 圓的外切平行四邊形是菱形.感謝閱讀★★★6.切線的判定定理與性質(zhì)（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； O感謝閱讀兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可M A N即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。感謝閱讀7.切線長及切線長定理（1）切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.謝謝閱讀(2)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。感謝閱讀即：∵PA、PB是的兩條切線 ∴PAPB PO平分BPA謝謝閱讀（3）圓外切四邊形兩組對邊的和相等.,.10.圓的內(nèi)正多邊形（1）正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.精品文檔放心下載（2）正多邊形與圓的有關定理把圓分成n(n≥3)等份：①依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；精品文檔放心下載②經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；精品文檔放心下載③任何正多邊形都有一個外接圓與一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.感謝閱讀注意：①依據(jù)正多邊形與圓的有關定理①、②，只要能將一個圓分成n(n≥3)等份，就可以得到這個圓的內(nèi)接正n精品文檔放心下載邊形及外切正n邊形.(3)正多邊形的其它性質(zhì)①正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，邊數(shù)為偶數(shù)的精品文檔放心下載正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.②邊數(shù)相同的正多邊形相似，正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓.感謝閱讀(4)正多邊形的有關計算正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑感謝閱讀叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.感謝閱讀正n邊形的有關計算公式每個內(nèi)角180（n2）180-360；每個外角360nnn正n邊形邊長a2R.sin180，內(nèi)切圓半徑rR.cos180，正n邊形周長Pn.ann,.正n邊形面積Sn.12r.a12PrnR2.sin180n.cos180n精品文檔放心下載注意：①同一個圓的內(nèi)接正n邊形和外切正n邊形是相似形，相似比是圓的內(nèi)接正n邊形邊心距與它的半徑之比感謝閱讀cos180.這樣，同一個正n邊形的內(nèi)切圓和外接圓的相似比cos180nn②常用輔助線：連半徑，作邊心距，由正多邊形的半徑、邊心距和1邊長構成的直角三角形集中反映了正多邊形各謝謝閱讀2元素間的關系，是解計算問題的基本圖形，并且正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.謝謝閱讀附注：（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形（如圖1），有關計算在RtBOD中進行：OD:BD:OB1: 3:2精品文檔放心下載（2）正四邊形同理，四邊形的有關計算在RtOAE中進行（如圖2），OE:AE:OA1:1: 2謝謝閱讀（3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在RtOAB中進行（如圖3），AB:OB:OA1:3:2感謝閱讀11.扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式（1）扇形：①弧長公式：lnR；②扇形面積公式：SnR21lR1803602n：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積（2）圓柱：①圓柱側面展開圖：S S 2S=2rh2r2謝謝閱讀表 側 底,.②圓柱的體積：Vr2h（2）圓錐側面展開圖:①SSS=Rrr②圓錐的體積：V122表側底3rh,.一．選擇題1.與圓心的距離不大于半徑的點所組成的圖形是( )A.圓的外部(包括邊界)；B.圓的內(nèi)部(不包括邊界)；C.圓； D.圓的內(nèi)部(包括邊界)感謝閱讀2.已知⊙O的半徑為6cm,P為線段OA的中點,若點P在⊙O上,則OA的長( )精品文檔放心下載A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm精品文檔放心下載3.⊙O的半徑為5,圓心O的坐標為(0,0),點P的坐標為(4,2),則點P與⊙O的位置關系是( )精品文檔放心下載A.點P在⊙O內(nèi)； B.點P的⊙O上；C.點P在⊙O外； D.點P在⊙O上或⊙O外謝謝閱讀4.下列命題：①直徑所對的角是900；②直角所對的弦是直徑；③相等的圓周角所對的弧相等；④對同一弦的兩個謝謝閱讀圓周角相等.正確的有（ ）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個感謝閱讀5.下列語句中，正確的是（ ）①直徑是弦；②弧是半圓； ③長度相等的弧是等??；?④經(jīng)過圓內(nèi)任一定點可以作無數(shù)條直徑；⑤兩個半圓是等感謝閱讀?。虎迌?yōu)弧比劣弧長；⑦面積相等的圓是等圓；⑧菱形的四個頂點在同一個圓上；⑨能夠互相重合的弧是等弧；⑩謝謝閱讀直徑是圓中最大的弦，也就是過圓心的直線，其中正確的是（ ）A.①⑦ B.③④⑦ C.①②③ D.感謝閱讀①③⑤⑦6.下列語句中，不正確的是（ ）A．圓既是中心對稱圖形，又是旋轉對稱圖形B．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．當圓繞它的圓心旋轉89°57′時，不會與原來的圓重合感謝閱讀D．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個7.如果兩條弦相等，那么（ ）A．這兩條弦所對的弧相等 B．這兩條弦所對的圓心角相等精品文檔放心下載,.C．這兩條弦的弦心距相等 D．以上答案都不對8.下列語句中，正確的是（）A.如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧相等B.如果兩條弦相等，那么它們所對的弧相等C.如果兩條弧相等，那么它們所對的圓周角相等D.如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等9.下列命題中錯誤的命題有（ ）（1）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）垂直于弦的直徑平分弦；（4）圓的對稱軸感謝閱讀是直徑．A．1個B．2個C．3個D．4個10.下列說法正確的是（）A．頂點在圓上的角是圓周角B．兩邊都和圓相交的角是圓周角C．圓心角是圓周角的2倍D．圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半11．下列說法錯誤的是（）A．等弧所對圓周角相等B．同弧所對圓周角相等C．同圓中，相等的圓周角所對弧也相等．D．同圓中，等弦所對的圓周角相等12.下列命題不正確的是()A.三點確定一個圓B.三角形的外接圓有且只有一個C.經(jīng)過一點有無數(shù)個圓D.經(jīng)過兩點有無數(shù)個圓13.三角形的外心是()A.三條中線的交點B.三條邊的中垂線的交點C.三條高的交點D.三條角平分線的交點14.若△ABC的外接圓的圓心在△ABC的外部，則△ABC是（）A.銳角三角形B.直角角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形15.一個三角形的外心在它的內(nèi)部,則這個三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形;C.銳角三角形D.等邊三角形,.16.一個三角形的外心在它一邊的中點上,則這個三角形一定是()A.銳角三角形B.直角角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形17.在三角形內(nèi)部，有一點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P一定是（）A.三角形三條角平分線的交點B.三角形三邊垂直平分線的交點C.三角形中位線與高線的交點D.三角形中位線與中線的交點18.如圖1，在半徑為2cm的圓O內(nèi)有長為23cm的弦AB，則此弦所對的圓心角∠AOB為（?）A．60°B．90°C．120°D．150°19.如圖2,A是半徑為5的⊙O內(nèi)一點,且OA=3,過點A且長小于8的弦有()A.0條B.1條C.2條D.4條20.如圖3,D是弧AC的中點,則圖中與∠ABD相等的角的個數(shù)是()A.4個B.3個C.2個D.1個21.如圖4，∠AOB=100°,則∠A+∠B等于()A.100°B.80°C.50°D.40°22.如圖5,A、B、C三點都在⊙O上,點D是AB延長線上一點,∠AOC=140°,∠CBD的度數(shù)是( ) A.40° B.50°感謝閱讀C.70°D.110°23.如圖6,MN所在的直線垂直平分線段AB,利用這樣的工具,最少使用（）次就可以找到圓形工件的圓心.A.1B.2C.3D.424.平面上不共線的四點,可以確定圓的個數(shù)為()A.1個或3個B.3個或4個C.1個或3個或4個D.1個或2個或3個或4個25.給出下列命題:①任意三角形一定有一個外接圓,并且只有一個外接圓;②任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形,并精品文檔放心下載且只有一個內(nèi)接三角形;③任意一個三角形一定有一個內(nèi)切圓,并且只有一個內(nèi)切圓;④任意一個圓一定有一個外切三精品文檔放心下載角形,并且只有一個外切三角形,其中真命題共有()A.1個B.2個C.3個D.4個26.設⊙O的直徑為m,直線L與⊙O相離,點O到直線L的距離為d,則d與m的關系是()謝謝閱讀,.A.d=m

B.d>m

C.d>m

D.d<m2

227.在平面直角坐標系中,以點(-1,2)為圓心,1為半徑的圓必與( )謝謝閱讀A.x軸相交 B.y軸相交 C.x軸相切 D.y軸相切感謝閱讀28.如圖7,AB、AC為⊙O的切線,B、C是切點,延長OB到D,使BD=OB,連接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于謝謝閱讀( )A.70° B.64° C.62° D.51°精品文檔放心下載29.邊長分別為3、4、5的三角形的內(nèi)切圓與外接圓半徑之比為（）A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:5感謝閱讀30.如圖8，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點為D、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，連結OE、OF、DE、DF，則∠EDF等于感謝閱讀（）A.450

B.550

C.650

D.70031.如圖9，已知⊙O過邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B，且與CD邊相切，則圓的半徑( )感謝閱讀A．4B．5C．5D．134232.一個扇形的弧長是20cm,面積是240cm2,那么扇形的圓心角是( )謝謝閱讀A.120° B.150° C.210° D.240°精品文檔放心下載33.如圖10,在平面直角坐標系中,已知⊙D經(jīng)過原點O,與x軸、y軸分別交于A、B兩點,B點坐標為(0,2 3),OC與感謝閱讀⊙D相交于點C,∠OCA=30°,則圖中陰影部分的面積為( )精品文檔放心下載A.22 3 B.4 3 C.423; D.2 3感謝閱讀34.如圖11,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC為直徑的圓交AC于點D,則圖中陰影部分的面積為()A.2B.1C.1D.224,.二．填空題35.已知⊙O的周長為8 cm,若PO=2cm,則點P在_______;若PO=4cm,則點P在_____;若PO=6cm,則點P在感謝閱讀_______.36.平面上有兩點A、B,若線段AB的長為3cm,則以A為圓心,經(jīng)過點B的圓的面積為_______.精品文檔放心下載37.點A的坐標為(3,0),點B的坐標為(0,4),則點B在以A為圓心,6為半徑的圓的_______.精品文檔放心下載38.在半徑為5cm的⊙O上有一點P,則OP的長為________.精品文檔放心下載39.圓的一條弦把圓分為5:1兩部分,如果圓的半徑是2cm,則這條弦的長是_____cm.精品文檔放心下載40.如圖12,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P是弦AB上的一個動點,那么OP長的取值范圍是_____.精品文檔放心下載41.如圖13,D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,則弧AC與弧CB弧長的大小關精品文檔放心下載系是_________.42.如圖14,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分別為D、E,若AC=2cm,則⊙O精品文檔放心下載的半徑為_____cm.43.如圖15，點A、B、C、D在⊙O上，點O在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD＋∠OCD=_____．謝謝閱讀44.如圖16,四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上,且AD∥BC,對角線AC與BC相交于點E,那么圖中有_________對精品文檔放心下載全等三角形;________對相似比不等于1的相似三角形.精品文檔放心下載,.45.如圖17，A、B、C為⊙O上三點，若∠OAB=46°,則∠ACB=_______度.感謝閱讀46.如圖18,AB是⊙O的直徑,弧BC=弧BD,∠A=25°,則∠BOD的度數(shù)為________.精品文檔放心下載47.如圖19,AB是半圓O的直徑,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,則點O到CD的距離OE=______.感謝閱讀48.如圖20，PA、PB是⊙O的切線，點A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝200，則∠P的大小是___度.感謝閱讀49.已知⊙O的直徑為2,則⊙O的內(nèi)接正三角形的邊長為_______.精品文檔放心下載50.邊長為6cm的等邊三角形的外接圓半徑是________.謝謝閱讀51.等邊三角形ABC的內(nèi)切圓面積為9π，則△ABC的周長為_________.感謝閱讀52.正三角形的內(nèi)切圓半徑等于外接圓半徑的__________.精品文檔放心下載53.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以點C為圓心,6cm的長為半徑的圓與直線AB的位置關系是精品文檔放心下載________.54.如圖21,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A與BC相切于點D,與AB相交于點E,則∠ADE等于____度.精品文檔放心下載55.已知⊙O的半徑為4cm,直線L與⊙O相交,則圓心O到直線L的距離d的取值范圍是____.精品文檔放心下載如圖22,PA、PB是⊙O的切線,切點分別為A、B,且∠APB=50°,點C是優(yōu)弧AB上的一點,則∠ACB的度數(shù)為________.精品文檔放心下載56.如圖23,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,D、E、F為切點,∠DOB=73°,∠DOE=120°,則∠DOF=_______度,∠C=______度,精品文檔放心下載,.∠A=_______度.57.正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．精品文檔放心下載58.正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．謝謝閱讀59.若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是精品文檔放心下載______．60.正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．謝謝閱讀61.半徑為9cm的圓中,長為12 cm的一條弧所對的圓心角的度數(shù)為____