二階常系數(shù)線性微分方程的解法三課件

一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第四模塊微積分學(xué)的應(yīng)用第十三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第四模塊微積分學(xué)的應(yīng)用第十三節(jié)1一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式y(tǒng)

+p(x)y

+q(x)y=f(x)稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程.

f

(x)稱為自由項，當(dāng)

f(x)0時，稱為二階線性非齊次微分方程，簡稱二階線性非齊次方程.

當(dāng)

f(x)恒為0時，稱為二階線性齊次微分方程，

簡稱二階線性齊次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).這類方程的特點是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊每一項含y

或y

或y，且每項均為y

或y

或y的一次項，例如y

+

xy

+

y=x2就是二階線性非齊次方程.而y

+

x(y)2

+

y=x2就不是二階線性方程.一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式y(tǒng)+2定理1

如果函數(shù)y1

與y2

是線性齊次方程的兩個解，y=C1y1+C2y2仍為該方程的解，

證因為y1與y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的兩個解，與所以有其中

C1，C2

是任意常數(shù).則函數(shù)定理1如果函數(shù)y1與y2是線性齊次方程的兩個3于是有y

+p(x)y

+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解.于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y4

定義設(shè)函數(shù)y1(x)和y2(x)

是定義在某區(qū)間I上的兩個函數(shù)，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0不失一般性，考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)，我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)，事實上，當(dāng)y1(x)與y2(x)線性相關(guān)時，有k1y1+

k2y2=0，其中k1,k2不全為0，如果存在兩個不全為0的常數(shù)k1和k2，使在區(qū)間I上恒成立.則稱函數(shù)y1(x)與y2(x)在區(qū)間上是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān).定義設(shè)函數(shù)y1(x)和y2(x)是定義在某區(qū)間5即y1與y2之比為常數(shù).反之，若y1與y2之比為常數(shù)，則y1=ly2，即y1-

ly2=0.所以y1與y2線性相關(guān).因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相關(guān)；例如函數(shù)y1=ex，y2=e-x，所以，它們是線性無關(guān)的.如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān).即y1與y2之比為常數(shù).反之，若y1與y2之比6定理2如果函數(shù)y1

與y2

是二階線性齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的特解，y=C1y1+C2y2是該方程的通解，

證因為y1與y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是該方程的解.又因為y1與y2線性無關(guān)，即y1與y2之比不為常數(shù)，故C1與C2不能合并為一個任意常數(shù)，因此y=C1y1+C2y2是二階線性齊次方程的通解.則其中C1,C2為任意常數(shù).所以它們中任一個都不能用另一個(形如y1=

ky2或y2=

k1y)來表示.定理2如果函數(shù)y1與y2是二階線性齊次方程7定理3如果函數(shù)y*

是線性非齊次方程的一個特解，y=Y+y*，是線性非齊次方程的通解.

證因為y*與Y分別是線性非齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)和線性齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解，所以有y*

+p(x)y*

+q(x)y*

=f(x)，Y

+p(x)Y

+q(x)Y=

0.Y是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，則定理3如果函數(shù)y*是線性非齊次方程的一個特解，y8又因為y

=

Y

+

y*

，

y=Y

+

y*

，

所以y

+p(x)y

+q(x)y

=(Y

+

y*

)+p(x)(Y

+

y*

)+q(x)(Y+

y*)=(Y

+p(x)

Y

+q(x)Y)+(y*

+p(x)y*

+q(x)y*)=f(x).又因為y=Y+y*，y=Y+y9求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：(1)求線性齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的線性無關(guān)的兩個特解y1與y2，得該方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)求線性非齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)的一個特解y*.那么，線性非齊次方程的通解為y=Y+y*.

又Y是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常數(shù)，故y=Y+y*中含有兩個任意常數(shù).即y=Y+y*是線性非齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)

的通解.這說明函數(shù)y=Y+y*是線性非齊次方程的解，求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：(1)求線性齊次10y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)，和y

+p(x)y

+q(x)y=f2

(x)則是方程①的特解.定理4設(shè)二階線性非齊次方程為①②③的特解，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+11證因為y1*與y2*分別是②與③的特解，y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*

=f1(x)，與y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*

=f2(x).于是有=f1(x)+

f2(x)，所以有=[y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*]+[y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*]即y1*+y2*滿足方程①，證因為y1*與y2*分別是②與③的特解，y112二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法如果二階線性微分方程為y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法如果二階線性微分方程為y13設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為y

+py

+qy=

0.考慮到左邊p，q均為常數(shù)，我們可以猜想該方程具有y=erx形式的解，其中r

為待定常數(shù).將y

=rerx,y

=r2erx

及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.

1.二階常系數(shù)線性齊次方程的解法由于erx

0，因此，只要r

滿足方程r2+pr+q=0，即r

是上述一元二次方程的根時，y=erx就是④式的解.方程⑤稱為方程④的特征方程.特征方程根稱為特征根.④⑤得設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為y+py+qy=0141

特征方程具有兩個不相等的實根r1與r2，2

特征方程具有兩個相等的實根，這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個特解y1=erx.還需再找一個與y1線性無關(guān)的特解y2，為此，設(shè)y2=u(x)y1，其中u(x)為待定函數(shù).將y2及其一階、二階導(dǎo)數(shù)y

2=(uerx)

=erx(u(x)+ru(x))，y

2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x))，代入方程y+py+qy=0中，得因而它的通解為所以y1與y2線性無關(guān)，都是④的解，即r1

r2.那么，這時函數(shù)即1特征方程具有兩個不相等的實根r1與r2，2特15注意到是特征方程的重根，所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要u(x)滿足則y2=uerx就是④式的解，為簡便起見，取方程u(x)=0的一個解u=x，于是得到方程④且與y1=erx線性無關(guān)的解y2=xerx.因此，④式的通解為注意到是特征方程的重根，163

特征方程具有一對共軛復(fù)根r1=a+ib與r2=a–ib.這時有兩個線性無關(guān)的特解y1=e(a+ib)x與y2=e(a-ib)x.這是兩個復(fù)數(shù)解，為了便于在實數(shù)范圍內(nèi)討論問題，我們再找兩個線性無關(guān)的實數(shù)解.由歐拉公式

(這公式我們將在無窮級數(shù)章中補(bǔ)證)，可得3特征方程具有一對共軛復(fù)根r1=a+ib17于是有由定理1知，以上兩個函數(shù)eax

cosbx與eaxsinbx均為④式的解，且它們線性無關(guān).因此，這時方程的通解為于是有由定理1知，以上兩個函數(shù)eaxcosbx與18上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：(1)寫出所給方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的特解，并寫出其通解.上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特19例1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

-2r–3=0,它有兩個不等的實根r1=-1，r2=3,

其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為y1=e-

x與y2=e3x,所以方程的通解為例1求方程y-2y-3y=0的通解.20

例2

求方程y

-4y

+4y=0

的滿足初始條件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

該方程的特征方程為r2

-4r

+4=0，求得將y(0)=1，y

(0)=4代入上兩式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為y1=e2x與y2=xe2x，所以通解為因此，所求特解為它有重根r=2.例2求方程y-4y+4y=0的滿21例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為2r2

+2r

+3=0，它有共軛復(fù)根對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為所以方程的通解為例3求方程2y+2y+3y=0的通解22例4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

+4=0，它有共軛復(fù)根r1,2=2i.即a=0，b=2.對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解為例4求方程y+4y=0的通解.解該方23

2.二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法1

自由項f(x)為多項式Pn(x).設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y

+

py

+

qy=Pn(x),其中Pn(x)為x的n次多項式.當(dāng)原方程⑥

中

y

項的系數(shù)q

0時，k

取0；當(dāng)q

=0，但p

0時，k

取1；當(dāng)p

=0，q

=0時，k取2.⑥因為方程中p、q均為常數(shù)且多項式的導(dǎo)數(shù)仍為多項式，所以可設(shè)⑥式的特解為其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式，2.二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法1自由項f(x)24例5

求方程y

-2y+y

=x2

的一個特解.解

因為自由項f(x)

=x2

是x的二次多項式，則代入原方程后，有且y的系數(shù)q=10，取k=0.所以設(shè)特解為例5求方程y-2y+y=x2的一個特25比較兩端x同次冪的系數(shù)，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解為比較兩端x同次冪的系數(shù)，有解得A=1，B=4，C26例6

求方程y

+

y

=x3–x+

1的一個特解.

解

因為自由項f(x)

=x3–x+

1是一個x的三次多項式，則代入原方程后，有且y的系數(shù)q=0，p=1

0，取k=1.所以設(shè)方程的特解為例6求方程y+y=x3–x+127比較兩端x同次冪的系數(shù)：解得故所求特解為比較兩端x同次冪的系數(shù)：解得故所求特解為282

自由項f(x)為Aeax

型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y

+

py

+

qy=Aeax，其中a，A均為常數(shù).由于p，q為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，其中B為待定常數(shù)，

當(dāng)

a

不是⑦

式所對應(yīng)的線性齊次方程的特征方程r2+pr+q=0的根時，取

k=0；當(dāng)

a

是其特征方程單根時，取

k=1；

當(dāng)

是其特征方程重根時，取

k=2.⑦因此，我們可以設(shè)⑦的特解2自由項f(x)為Aeax型設(shè)二階常系數(shù)線性非29例7

求方程y

+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設(shè)特解為.B72=例7求方程y+y+y=2e2x的通解30例8

求方程y

+2y

-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的單根，取k=1，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設(shè)特解為,41=B例8求方程y+2y-3y=ex的特解313

自由項f(x)為eax

(Acoswx+Bsinwx)型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y

+

py

+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A，B均為常數(shù).由于p，q為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，因此,我們可以設(shè)⑧有特解⑧其中C，D為待定常數(shù).取

k=0，是根時，取

k=1，代入

⑧式，求得C及D.

當(dāng)

a+wi

不是

⑧

式所對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根時，3自由項f(x)為eax(Acoswx+32例9

求方程y

+3y

-

y

=excos2x

的一個特解.

解

自由項f(x)=excos2x為eax(Acoswx+Bsinwx)型的函數(shù)，則且a

+

wi

=

1+2i，它不是對應(yīng)的常系數(shù)線性齊次方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以設(shè)特解為例9求方程y+3y-y=excos33代入原方程，得比較兩端cos2x與sin2x的系數(shù)，得解此方程組，得故所求特解為代入原方程，得比較兩端cos2x與sin2x的系34例10

求方程y

+

y

=sinx

的一個特解.

解

自由項f(x)

=sinx為eax(Acoswx+Bsinwx)型的函數(shù)，且a

=

0，w=1，則代入原方程，得且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，設(shè)特解為例10求方程y+y=sinx的一個特解.35比較兩端sinx與cosx的系數(shù)，得故原方程的特解為而對應(yīng)齊次方程y

+

y=0的通解為Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解為比較兩端sinx與cosx的系數(shù)，得故原方程的特解為36例11

方程y

+4y

=x+1+sinx

的通解.

解

自由項f(x)

=x+1+sinx可以看成f1

(x)

=x+1和f2

(x)

=sinx之和，y

+4y

=x+1，y

+4y

=sinx.和⑨⑩方程⑨

的特解易求得，設(shè)方程

⑩

的特解為的特解.所以分別求方程例11方程y+4y=x+1+sinx37代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解38原方程所對應(yīng)的線性齊次方程為

y

+4y

=0，其通解為Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解為原方程所對應(yīng)的線性齊次方程為y+4y=0，其39三、應(yīng)用舉例例12彈簧振動問題設(shè)有一個彈簧上端固定，下端掛著一個質(zhì)量為m的物體，當(dāng)彈簧處于平衡位置時，物體所受的重力與彈性恢復(fù)力大小相等，方向相反，設(shè)給物體一個初始位移x0初速度v0，則物體便在其平衡位置附近上下振動.已知阻力與其速度成正比，O試求振動過程中位移x的變化規(guī)律.三、應(yīng)用舉例例12彈簧振動問題設(shè)有一個彈簧上端固40物體在振動過程中，受到兩個力的作用：ma=-

kx–

mv,

其中a為加速度，

v

為速度，

解建立坐標(biāo)系，平衡位置為原點,鉛垂方向為x軸的正向，則物體位移x是時間t的函數(shù)x=x(t).根據(jù)牛頓第二定律F=ma，知