幾何中線段的最值問題

..幾何中線段的最值問題一條線段的最值問題一〔1〕借助旋轉(zhuǎn)求最值2013通州一模24．：，，以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點落在直線AB的兩側(cè).〔1〕如圖，當(dāng)∠ADB=60°時，求AB及CD的長；〔2〕當(dāng)∠ADB變化，且其它條件不變時，求CD的最大值，及相應(yīng)∠ADB的大小.AAD BC2011豐臺一模25.:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究以下問題:〔1〕如圖1，當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且∠ACB=60°，那么CD=；〔2〕如圖2，當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且∠ACB=90°，那么CD=；〔3〕如圖3，當(dāng)∠ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相應(yīng)的∠ACB的度數(shù).圖1圖2圖3〔2〕借助直角三角形性質(zhì)求最值勾股定理直角三角形斜邊中線等于斜邊一半直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的高是直角頂點到斜邊上所有點之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是如圖，△ABC是邊長為定值m的正三角形，C點與原點重合，點B在第一象限點，點A在x軸上。求出AC邊上的高線BD的長度；當(dāng)點C在y軸的正半軸滑動時，試求出點O到CA距離的最大值；點P是△ABC切圓的圓心，請求出OP的最大值。2011海淀一模25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.點D在邊AC上〔不與A，C重合〕，連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點.〔1〕假設(shè)過點D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1．設(shè)，那么k=；〔2〕假設(shè)將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；〔3〕假設(shè)BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．2010海淀一模25.：中，，中，,.連接、，點、、分別為、、的中點.圖1圖2(1)如圖1，假設(shè)、、三點在同一直線上，且，那么的形狀是________________，此時________；(2)如圖2，假設(shè)、、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值〔用含的式子表示〕；(3)在圖2中，固定，將繞點旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值.28．正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH.〔1〕如圖1，假設(shè)點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕如圖2，當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，〔1〕中的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立給出證明；假設(shè)不成立，說明理由；〔3〕如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．〔3〕與圓相關(guān)2014燕山24.如圖1，是等腰直角三角形，,點是的中點．作正方形，使點、分別在和上，連接，．〔1〕試猜測線段和的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，①判斷〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；②假設(shè)，當(dāng)取最大值時，求的值．2013昌平一模24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．〔1〕如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1〔2〕如圖2，連接AA1，CC1．假設(shè)△CBC1的面積為3，求△ABA1的面積；〔3〕如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，直接寫出線段EP1長度的最大值與最小值．2015房山一模28．如圖1，線段BC=2，點B關(guān)于直線AC的對稱點是點D，點E為射線CA上一點，且ED=BD，連接DE，BE.依題意補全圖1，并證明：△BDE為等邊三角形；假設(shè)∠ACB=45°，點C關(guān)于直線BD的對稱點為點F，連接FD、FB.將△CDE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α度〔0°＜α＜360°〕得到△，點E的對應(yīng)點為E′，點C的對應(yīng)點為點C′.①如圖2，當(dāng)α=30°時，連接．證明：=；②如圖3，點M為DC中點，點P為線段上的任意一點，試探究：在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PM長度的取值圍？圖1圖1圖2圖圖2圖33.如圖，△是等腰直角三角形，，點是的中點．作正方形，使點分別在和上，連接．〔1〕試猜測線段和的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論．〔2〕將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后〔旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于360°〕，如圖，通過觀察或測量等方法判斷〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．ACBFDEG圖25-1ACACBFDEG圖25-1ACBFDEG圖25-211．以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．〔1〕點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接FM、EM．①如圖1，當(dāng)點D、C分別在AO、BO的延長線上時，=_______；②如圖2，將圖1中的△AOB繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角〔〕，其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進展證明；〔2〕如圖3，假設(shè)BO=，點N在線段OD上，且NO=2.點P是線段AB上的一個動點，在將△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_______，最大值為_______．圖2圖1圖2圖1〔4〕其他2011海淀一模24．平面直角坐標系xOy中,拋物線與直線的一個公共點為.〔1〕求此拋物線和直線的解析式；〔2〕假設(shè)點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交〔1〕中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；〔3〕記〔1〕中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，假設(shè)四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積.25．如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，∠CBO的正切值是2．(1)求此二次函數(shù)的解析式．(2)動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時終止運動，直線l與BC交于點D，P是線段AD的中點．①直接寫出點P所經(jīng)過的路線長．②點D與B、C不重合時，過點D作DE⊥AC于點E、作DF⊥AB于點F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠EPF的大小是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，求∠EPF的度數(shù)；假設(shè)變化，請說明理由．③在②的條件下，連接EF，求EF的最小值．二、多線段的最值問題2013一模海淀25.在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為.求點的坐標〔用含的代數(shù)式表示〕；直線與拋物線交于、兩點，點在拋物線的對稱軸左側(cè).假設(shè)為直線上一動點，求△的面積；②拋物線的對稱軸與直線交于點，作點關(guān)于直線的對稱點.以為圓心，為半徑的圓上存在一點，使得的值最小，那么這個最小值為.2012二模25.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A〔－3,0〕、B〔4,0〕兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；〔3〕該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最小？假設(shè)存在，求出點M的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.2012東城一模25.如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于〔-1,0〕、〔3,0〕兩點,頂點為.(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由；(3)在〔2〕的條件下，假設(shè)、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、、，求和的最小值.2012海淀二模24.如圖,在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸負半軸交于點A,頂點為B,且對稱軸與x軸交于點C.〔1〕求點B的坐標(用含m的代數(shù)式表示)；〔2〕D為BO中點，直線AD交y軸于E，假設(shè)點E的坐標為(0,2),求拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，假設(shè)以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐CAOBCAOBxyCAOBxy備用圖2010海淀二模25.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上，，為△的中線，過、兩點的拋物線與軸相交于、兩點〔在的左側(cè)〕.〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕等邊△的頂點、在線段上，求及的長；〔3〕點為△的一個動點，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.〔備用圖〕2012豐臺一模25．：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P〔2，〕為圓心的圓與y軸相切于

點A，與x軸相交于B、C兩點〔點B在點C的左邊〕．〔1〕求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；〔2〕在〔1〕中的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．如果

存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到〔1〕中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．.25.在平面直角坐標系