人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （勾股定理）課件

第十七章

勾股定理17.1勾股定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。（重點(diǎn)也是難點(diǎn)）

2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。（重點(diǎn)）即四個(gè)詞：了解、認(rèn)識(shí)、證明和計(jì)算。勾股定理的歷史勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國(guó)人看出了這個(gè)關(guān)系（即直角三角形三邊關(guān)系），古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個(gè)關(guān)系。勾股定理也有很多別稱，也叫畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驢橋定理和埃及三角形等。

勾股定理被譽(yù)為“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。在我們今后的幾何計(jì)算題和推理題中都有著廣泛的應(yīng)用。迄今為止，勾股定理大約有500多種證明方法，是證明方法最多的定理之一。探究新知勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證

相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，看到朋友家用磚鋪成的地面圖案，發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的某種關(guān)系（如圖）：ABC問(wèn)題1

試問(wèn)正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題2

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？ABC一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2等腰直角三角形三邊的關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。問(wèn)題3

網(wǎng)格中為一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？探究新知方法1：補(bǔ)形法(把正方形C補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖491316925也就是說(shuō)，由這三個(gè)正方形圍成的直角三角形的三邊也滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這種關(guān)系。一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2由上面的幾個(gè)例子，我們不難得到這樣的猜想：命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.）abc下面動(dòng)圖形象的說(shuō)明命題1的正確性我們的猜想該如何證明呢？abbcabca證法1讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.=abc∵S大正方形＝c2，又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.妙解歸納：兩種方法計(jì)算一個(gè)圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證法2

畢達(dá)哥拉斯證法如圖，圖中的四個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.公式變形：abc歸納總結(jié)勾股定理:如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）.ABC

現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以我們剛剛猜想的命題1在我國(guó)叫做勾股定理.在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關(guān)系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2小貼士

為什么叫勾股定理這個(gè)名稱呢？

國(guó)外又叫畢達(dá)哥拉斯定理

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°(2)在Rt△ABC中，∠C=90°CAB新知應(yīng)用abc注意：1.看好哪個(gè)角是直角,選擇正確的公式來(lái)求邊長(zhǎng)2.規(guī)范書寫格式（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.歸納新知應(yīng)用CABabc【變式2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖

當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.歸納1.下列說(shuō)法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2當(dāng)堂練習(xí)3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是5和7，則第三邊長(zhǎng)的平方為_________.17574或24當(dāng)堂練習(xí)5.圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5當(dāng)堂練習(xí)結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7

變式訓(xùn)練11美麗的勾股樹通過(guò)這種方法，可以把一個(gè)正方形的面積分成若干個(gè)小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．當(dāng)堂小結(jié)1.內(nèi)容及方法本節(jié)課學(xué)習(xí)了著名的勾股定理并會(huì)運(yùn)用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)，還知道從特殊到一般的探索方法.2.數(shù)學(xué)思想

借助于圖形的面積來(lái)探索、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)形結(jié)合思想。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲呢？基礎(chǔ)題：1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；

(2)已知：a=40，c=41，求b；

(3)已知：c=13，b=5，求a；

(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.作業(yè)布置能力題：2.已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，AC＝３,則BC的長(zhǎng)為多少？綜合題：3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長(zhǎng)．17.1勾股定理第十七章勾股定理第1課時(shí)

情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法加以證明.（重點(diǎn)）2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課算一算：地板中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：畢達(dá)哥拉斯ABC穿越畢達(dá)哥拉斯做客現(xiàn)場(chǎng)問(wèn)題1

試問(wèn)A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=ABC

問(wèn)題2你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質(zhì)嗎？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=看似平淡無(wú)奇的現(xiàn)象有時(shí)卻隱藏著深刻的道理圖1-2問(wèn)題3圖中每個(gè)小方格的面積均為1，請(qǐng)分別計(jì)算出圖①、②中A、B、C的面積，看看能得出什么結(jié)論？圖①圖②ABABCCA的面積B的面積C的面積圖①圖②169254913網(wǎng)格中的發(fā)現(xiàn)正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=

問(wèn)題4圖中的這個(gè)直角三角形有三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=講授新課猜一猜一般直角三角形三邊還有這樣的數(shù)量關(guān)系（即a2+b2=c2)嗎？abc勾股定理一趙爽拼一拼請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備四個(gè)完全相同的直角三角形，跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖.勾股定理的驗(yàn)證二abbcabcc2b2a2=+這種用拼圖的驗(yàn)證勾股定理的方法叫做弦圖法aabcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：證一證

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因?yàn)椋@個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.趙爽所用的這種方法是我國(guó)古代常用的“出入相補(bǔ)法”.在西方，人們稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.趙爽弦圖cba

黃實(shí)朱實(shí)2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本，還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際.以至于古往今來(lái)，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).建議同學(xué)們課外認(rèn)真閱讀P30《勾股定理的證明》.歸納總結(jié)在我國(guó)又稱商高定理，在外國(guó)則叫畢達(dá)哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c為正數(shù)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.公式變形：勾股弦即：勾2+股2=弦2勾股定理

例1在Rt△ABC中，∠C=90°典例精析

（1）已知a=b=5,求c;

（2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;（4）已知b=15，∠A=30°,求a,c.

在Rt△ABC中，∠C=90°解：(3)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得(4)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得例2已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,則BC=

.5

或43ACB43CAB溫馨提示當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下，一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖所示，字母B所代表的正方形的面積是（）A.12B.13C.144D.194C2.下列說(shuō)法中正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在R