冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （線段的垂直平分線）課件(第1課時(shí))

第十六章

軸對(duì)稱和中心對(duì)稱線段的垂直平分線第1課時(shí)

知識(shí)回顧1.什么叫做線段的垂直平分線？2.線段是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱中垂線.線段是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是它的垂直平分線或者說(shuō)中垂線.情景導(dǎo)入如圖所示,木條l與AB釘在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的點(diǎn),分別量一量點(diǎn)P1,P2,P3,…到A與B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?獲取新知知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)1ABlP1P2P31.畫出線段AB的中垂線l，垂足為C；在l上任取一點(diǎn)P1，連結(jié)P1A、P1B；量一量P1A、P1B的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？在l上任取一點(diǎn)P2，P2A、P2B的長(zhǎng)呢？在l上任取一點(diǎn)P3，P3A、P3B的長(zhǎng)呢？2.沿直線l對(duì)折線段AB，使端點(diǎn)Ａ與端點(diǎn)Ｂ重合，再次觀察上述線段的關(guān)系.①用對(duì)稱的知識(shí)說(shuō)明.如圖,直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上.求證：PA=PB.ABPCl②用全等的知識(shí)進(jìn)行推理.證明：∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°.又AC=CB,PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.幾何語(yǔ)言：∵直線l垂直平分AB，點(diǎn)P在直線l上，∴PA=PB.BAOPMN溫馨提示：這個(gè)定理向我們提供了一個(gè)證明線段相等的方法.今后我們可以直接利用這個(gè)性質(zhì)得到有關(guān)線段相等,同時(shí)這也可當(dāng)作等腰三角形的一種判定方法.歸納例1如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點(diǎn)E，D，(1)若△BCD的周長(zhǎng)為8，求BC的長(zhǎng)；(2)若BC＝4，求△BCD的周長(zhǎng)．分析：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以BD與CD的長(zhǎng)度和等于AC的長(zhǎng)，所以由△BCD的周長(zhǎng)可求BC的長(zhǎng)，同樣由BC的長(zhǎng)也可求△BCD的周長(zhǎng)．

例題講解解：

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長(zhǎng)為8，∴BC＝△BCD的周長(zhǎng)－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.【名師點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成AD的長(zhǎng)，從而把未知的BD與CD的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長(zhǎng)．本題中AC的長(zhǎng)、BC的長(zhǎng)及△BCD的周長(zhǎng)三者可互相轉(zhuǎn)化，已知兩個(gè)即可求得第三個(gè)．

解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD

是BC

的垂直平分線，

∴AB=AC．∵點(diǎn)C

在AE的垂直平分線上，

∴AB=CE．∴AB=AC=CE．∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.變式練習(xí)1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE變式練習(xí)2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用2例2

已知：如圖，點(diǎn)A，B是直線l外任意兩點(diǎn)，在直線l上，試確定一點(diǎn)P，使得AP+BP最短.lAB解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B,交直線l于點(diǎn)P，則AP+BP最短.A'PlABA'P由作圖可知，l是AA'的中垂線理由如下：在l上另取一點(diǎn)M，連接MA,MB,MA'∴AP=A'P,AM=A'M（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）∴AP+BP=A'P+BP=A'BAM+BM=A'M+BM由“兩點(diǎn)之間線段最短”可得A'B＜A'M+BM即AP+BP最短M變式練習(xí)3

如圖，已知牧馬人營(yíng)地在M處，每天牧馬人好先趕馬群到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營(yíng)地，試著設(shè)計(jì)出最短的的木馬路線？營(yíng)地M草地河M'M''（2）若A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，化同側(cè)為兩側(cè)，化折線段為一條直線段；求線段和最短問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：（3）最后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決.（1）若A、B兩點(diǎn)在直線兩側(cè)，直接連接A、B兩點(diǎn)，直線段最短；隨堂演練1.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(

)

A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC2.如圖，線段AC的垂直平分線交線

段AB于點(diǎn)D，∠A＝50°，則∠BDC＝(

)A．50°B．100°C．120°D．130°B2.如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點(diǎn)M，則線段AM，CM的大小關(guān)系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．無(wú)法確定B3.如圖所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是

.ABCDE10cm4.如圖，在△ABC

中，BC=8，AB的中垂線交BC

于D，AC

的中垂線交BC

與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于_________．ABCDE8cm5.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，點(diǎn)A、B到河邊的距離分別為AC、BD且AC=BD，點(diǎn)A、B到CD的中點(diǎn)的距離均為500m.牧童從A出把牛牽到河邊飲水后再回家，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最短路線.BACDA'M'解：如圖，最短路線是A--M′--B.6.已知：如圖，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：AC=ABACBDE證明：如圖連結(jié)B，C.∵AD=BD，CD⊥AB∴AC=BC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）∵AE=CE，BE⊥AC∴AB=BC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）∴AC=AB課堂小結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)內(nèi)容見垂直平分線，得線段相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等應(yīng)用第十六章

軸對(duì)稱和中心對(duì)稱線段的垂直平分線第2課時(shí)

知識(shí)回顧什么叫做線段的垂直平分線？線段垂直平分線的性質(zhì)定理內(nèi)容是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱中垂線.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.幾何語(yǔ)言：∵直線l垂直平分AB，點(diǎn)P在直線l上，∴PA=PB.ABPCl情景導(dǎo)入動(dòng)手操作：在練習(xí)本上以線段AB為底邊做等腰△PAB.不確定可以作無(wú)數(shù)個(gè)△PAB的形狀和大小是確定的嗎？符合條件的△PAB能作幾個(gè)？觀察：你所畫出的所有點(diǎn)P的位置，有什么特征？在一條直線上推測(cè)：這條直線與線段AB的關(guān)系這條直線是線段AB的中垂線ABP思考：當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P一定在AB的中垂線上嗎？折一折獲取新知知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理1PAB已知：如圖，點(diǎn)P是線段AB外一點(diǎn)，且PA=PB．求證：點(diǎn)P

在線段AB

的垂直平分線上．一起探究1.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么？2.結(jié)合圖形寫出這個(gè)逆命題的已知和求證.3.猜想這個(gè)逆命題的真假，并試著說(shuō)明理由.4.小組合作完成猜想的證明．證明：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為O,連接PO并延長(zhǎng).在△POA和△POB中,∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.PAB0還可以怎么做輔助線？證明：作∠APB的角平分線PO,交PO于點(diǎn)O.在△POA和△POB

中，

PA=PB，∠APO=∠BPO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）．∴∠POA=∠POBPABO∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明：過(guò)點(diǎn)P

作AB

的垂線PO，垂足為點(diǎn)O．則∠POA=∠POB=90°．在Rt△P0A

和Rt△P0B

中，

PA=PB，PO=PO，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）．∴AO=BO．又PO⊥AB，∴點(diǎn)P

在線段AB的垂直平分線上．PABO這個(gè)方法下一章將要學(xué).到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．幾何語(yǔ)言：如圖，∵PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.歸納線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(2)若PA=PB,同時(shí)MA=MB,則直線PM是線段AB的中垂線嗎？PABl不一定是.理由：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條.思考：(1)若PA=PB,過(guò)點(diǎn)P作直線l,則l是線段AB的中垂線嗎？是.理由：兩點(diǎn)確定一條直線.M歸納幾何語(yǔ)言：如圖，∵AB=AC，MB=MC，∴點(diǎn)A、M均在線段BC的中垂線上∴AM垂直平分BCA

B

C

D

M用線段垂直平分性質(zhì)定理的逆定理判定線段垂直平分線的條件：必須有兩個(gè)點(diǎn)到這條線段的兩端距離相等.判定線段垂直平分線的方法1.用線段垂直平分線的定義.2.用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，推出兩個(gè)點(diǎn)都在線段的線段垂直平分線上，則過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線就是這條線段的線段垂直平分線.總結(jié)例1

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分

∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．分析：根據(jù)全等證CD＝DE，所以點(diǎn)D

在CE的垂直平分線上，只要再證點(diǎn)A也在CE的垂直平分線上，就能解決問(wèn)題．證有兩點(diǎn)在線段的垂直平分線上哦！例題講解證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE,∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

在△ADC和△ADE中，

∠DAC=∠DAE,∠AED＝∠ACB，AD＝AD，

∴△ADC≌△ADE，

∴AC＝AE，CD＝ED，

∴點(diǎn)A、點(diǎn)D在CE的垂直平分線上，

∴直線AD是CE的垂直平分線．變式練習(xí)1

如圖，四邊形ABCD是一個(gè)“風(fēng)箏”骨架，其中AB=AD,CB=CD.CBADE(1)小明認(rèn)為四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC⊥BD,垂足為E,并且BE=EB,你同意他的說(shuō)法嗎？解：同意，理由∵AB=AD,CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴AC⊥BD,BE=EB.CBADE(2)設(shè)對(duì)角線AC=a,BD=b,請(qǐng)用含a,b的式子表示四邊形ABCD的面積.知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理的綜合運(yùn)用2例2已知：如圖，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P

求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上（1）由已知條件想到哪個(gè)定理？線段垂直平分線的性質(zhì)定理（2）由結(jié)論想到哪個(gè)定理？線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理ABPCDE證明：連接PA、PB、PC.∵點(diǎn)P在AB、AC的垂直平分線上（已知）∴PA＝PB，PA＝PC

（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等）∴PB＝PC（等量代換）∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上)

你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？三角形的三邊的中垂線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.歸納ABPCDE

變式練習(xí)2

如圖，A,B,C表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場(chǎng)，使它到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則文化廣場(chǎng)應(yīng)建在（

）A.AC,BC兩邊高線的交點(diǎn)處B.AC,BC兩邊中線的交點(diǎn)處C.AC,BC兩邊中垂線的交點(diǎn)處D.∠A,∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處CBAC1.如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(

)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB與