最小二乘法數(shù)據(jù)擬合

《數(shù)值計算方法》課程設(shè)計題目：用最小二乘法實現(xiàn)數(shù)據(jù)擬合專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級：2013級2班姓名：目錄：一、摘要錯誤！未定義書簽。二、應(yīng)用計算方法的基本原理錯誤！未定義書簽。1?最小二乘法線性擬合錯誤！未定義書簽。算法描述錯誤！未定義書簽。1.2誤差估計錯誤！未定義書簽。2.最小二乘法非線性擬合錯誤！未定義書簽。三、例題的計算結(jié)果錯誤！未定義書簽。四、總結(jié)及心得體會錯誤！未定義書簽。五、參考文獻錯誤！未定義書簽。六、附錄程序錯誤！未定義書簽?！⒄疚闹饕罁?jù)最小二乘法對任意一組數(shù)據(jù)進行線性擬合和非線性擬合。因為在實際生活中，常常需要從一組測量數(shù)據(jù)中找出一定規(guī)律的數(shù)學表達式，從而得出一些有利的結(jié)論，所以分析數(shù)據(jù)是必不可少，最小二乘法的曲線擬合是數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化的重要的方式之一。用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)大概分為兩類：線性擬合和非線性擬合。一般先測量數(shù)據(jù)在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點同哪類曲線圖形接近,然后選用相近的線性或非線性的曲線去擬合數(shù)據(jù)，非線性的曲線再通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，進而用matlab編寫程序求出擬合函數(shù)表達式。關(guān)鍵字：線性擬合，最小二乘法，matlab軟件，M文件二、應(yīng)用計算方法的基本原理1.最小二乘法線性擬合1.1.算法描述在科學實驗中，常常需要從一組測量數(shù)據(jù)中找出實驗規(guī)律的數(shù)學表達式，用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)是常用的數(shù)學方法。最小二乘法擬合就是在一類曲線①中求一曲線(PCO,使之被擬合曲線f(x)在節(jié)點□,???,&的誤差平方和<p(%i)]2最小。設(shè)定數(shù)據(jù)組(%u7i)(i=1,2,…，n),(PqM,010),…，(pm(x)為已知的一組[a,可上線性無關(guān)的函數(shù)，選取近視函數(shù)為：<P(x)=aoPoO)+5010)+…+(pm(%)(1)k^On=gbzi-血)]k^On=gbzi-血)]2屮i^l工5少一<pUi)]2=》◎汛2)i=1其中，>0(i=1,2,-,71)為權(quán)系數(shù)；H為0000,01(%)，???,%!(%)的線性組合的全體，特別的可取<p(x)=xk(k=0ll,-,m)o必-工訕上(戀)k=0由于gj)為已知，故可令：必-工訕上(戀)k=01=1①(為,"…，?“)=》5少一<pUi)]2=》◎1=1(3)曰日即可將上述數(shù)據(jù)擬合問題歸結(jié)為求多元函數(shù)的極值問題。要使得①(a。,a.…，偽“)取極小值，則a。,…，偽“必須滿足條件:訂=o(j=0乙…，m)Udj(j=0丄…，m)(j=0丄…，m)n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1m「n工阪》5%(兀)Q(兀)k^OL^l⑷令n@k,⑺)=》3%g<pja)1=1

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@1,00）（甲1，01）…@皿加）?????????Wm40）@加0）????0'■■■^n.O"o)?①0)■由處（x）伙=0丄…，n）線性無關(guān)可導出（5）中的系數(shù)矩陣非奇異，即方程組（4）的解存在唯一，即a。衛(wèi)1,…gm存在且唯一，可求得擬合函數(shù):<pU)=QoOo(x)+ai(pi(x)+???+am(pm(%)1.2.誤差估計在最小二乘法數(shù)據(jù)擬合曲線算法中，一般取2-范數(shù)作為總體誤差，即最小二乘法數(shù)據(jù)擬合曲線算法中誤差—8=l|e||2=2.最小二乘法非線性擬合71=1￡分=工［）勺_8=l|e||2=2.最小二乘法非線性擬合71=1一些實際問題中的數(shù)據(jù)分布需要用非線性的函數(shù)屮（兀）去擬合，一般先測量數(shù)據(jù)在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點同哪類曲線圖形接近，然后選用相近的曲線擬合方程，再通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的嚇擬合8=l|e||2=解出后再還原為原變量所表示的嚇擬合8=l|e||2=可銀作為總體誤差，即:工分=足少-血）］2i=l三、例題計算結(jié)果1.最小二乘法線性擬合1.1.設(shè)從某一實驗中測的兩個變量X和y的一組數(shù)據(jù)如下所示:■112345689X134568910xxy1054211234求該數(shù)據(jù)的擬合多項式及其誤差。解：首先利用matlab畫出數(shù)據(jù)分布趨勢圖（詳細見程序1）,如下圖：宙Figure1由上圖觀察可知，可建立的擬合函數(shù)丫=Qo+5%+^2*利用matlab求得擬合函數(shù):y=13.4597-3.6053%+0.2676%2誤差：5=||e||2=1.0056擬合圖像如下：hSFigure1o2.最小二乘法非線性擬合2.1.求下列數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)：X0.10.20.30.40.50.60.70.80.91y2.744.505.355.655.906.106.266.396.506.59首先利用matlab畫出數(shù)據(jù)分布趨勢圖（詳細見程序1）,如下圖:由上圖觀察可知，可建立的擬合函^y=a+-則等式兩邊同時乘以兀得xy=b+ax利用matlab求得擬合函數(shù)中b=-0.5119a=7.0367故擬合函數(shù)為：y=7.0367-更竺X擬合圖像如下：aaFigure1nx四、總結(jié)及心得體會最小二乘法是指使因變量估計值與實測值間的相對誤差平方和為最小。通過此次課程設(shè)計，能夠運用最小二乘法原理來擬合數(shù)據(jù)間的線性和非線性關(guān)系,并求出數(shù)學表達式。但求解過程中也存在舍入誤差和數(shù)據(jù)在運算中形成的矩陣奇異，從而所得結(jié)果可能不準確。五、參考文獻[1].杜廷松.數(shù)值分析及實驗[M].北京：科學出版社，2012.[2].熊慶如.MATLAB基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：機械工業(yè)出版社，2014.六、附錄程序M文件：%將轉(zhuǎn)置后的矩陣%將轉(zhuǎn)置后的矩陣b內(nèi)元素的(k-l)fundion[a,w]=ff(x,y,m)n=length(x);d=0;t二zeros(1,m+1);

b二zeros(n,m+1);fork=l：m+lb(:,k)=x?「(k-1);%計算出x的長度%將上賦為1行m+1列的零矩陣%將1)賦為n行m+1列的零矩陣%計算出x%計算出x在所求擬合函數(shù)的值%計算出衣=||e||^%計算出誤差6=11e||2end幕賦為矩陣的第k列的元素S二b'*b:%利用矩陣b計算出s=^=Qxl+kt二b'*y';%利用矩陣b,計算出t=Xi=oy^a二(inv(s)*t)'利用sXXk=oak=上計算出系數(shù)af二zeros(1,n);%將f賦為1行n列的零矩陣fori=0:1:me=a(i+l)*(x.'i);f二e+f;endfori=l:ng=(f(i)-y(i))*2;d=g+d:endw二sqrt(d);命令行：程序1：?x=[l345678910];?y=[1054211234];>>plot(x,y/o')?m二2;>>[a,w]=ff(x,y,m)a二13.4597-3.60530.2676w二1.0056程序2：?x=0.1:0.1: