2022學(xué)年人教A版必修一 單調(diào)性與最大值教案

§1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲祪?nèi)容與解析內(nèi)容：?jiǎn)握{(diào)性與最大（?。┲怠＝馕觯汉瘮?shù)的單調(diào)性與最大（?。┲凳呛瘮?shù)的重要性質(zhì)，是每年高考的必考內(nèi)容，例如判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍、利用單調(diào)性解不等式.這類(lèi)問(wèn)題一般難度中等偏上，題型一般為解答題也可為填空、選擇題.目標(biāo)及其解析：教學(xué)目標(biāo)理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念，掌握增（減）函數(shù)的證明和判別,學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；解析（1）函數(shù)單調(diào)性的含義正確理解單調(diào)性定義要特別注意定義中“定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間”“屬于”“任意”“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語(yǔ).概括來(lái)說(shuō)，所謂“增”即是隨著的增大而增大，所謂“減”即是隨著的增大而減小.（2）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”概念函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.函數(shù)可以在整個(gè)定義域上單調(diào)，如：在上單調(diào)遞增.函數(shù)也可以在定義域的某個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增，在某個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，如：在單增，在上單調(diào)遞減.（3）單調(diào)性的證明與判斷證明的依據(jù)的定義，有著嚴(yán)格的要求與步驟。問(wèn)題診斷分析函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，并且在學(xué)習(xí)的過(guò)程中能深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)推理的重要性與意義，作為初學(xué)者，最關(guān)鍵的是要根據(jù)定義嚴(yán)格的按步驟來(lái)，學(xué)生最容易出現(xiàn)的問(wèn)題的無(wú)意中運(yùn)用了函數(shù)單調(diào)性定義本身去證明。教學(xué)支持條件分析在本節(jié)課一次遞推的教學(xué)中，準(zhǔn)備使用PowerPoint2022。因?yàn)槭褂肞owerPoint2022，有利于提供準(zhǔn)確、最核心的文字信息，有利于幫助學(xué)生順利抓住老師上課思路，節(jié)省老師板書(shū)時(shí)間，讓學(xué)生盡快地進(jìn)入對(duì)問(wèn)題的分析當(dāng)中。教學(xué)過(guò)程（一）研探新知：（1）增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等概念：①根據(jù)f(x)＝3x＋2、f(x)＝x(x>0)的圖象進(jìn)行討論：隨x的增大，函數(shù)值怎樣變化？當(dāng)x>x時(shí)，f(x)與f(x)的大小關(guān)系怎樣？②.一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，在什么區(qū)間函數(shù)有怎樣的增大或減小的性質(zhì)？③定義增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）④探討：仿照增函數(shù)的定義說(shuō)出減函數(shù)的定義；→區(qū)間局部性、取值任意性⑤定義：如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說(shuō)f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間。⑥討論：圖像如何表示單調(diào)增、單調(diào)減？所有函數(shù)是不是都具有單調(diào)性？單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系？y＝x的單調(diào)區(qū)間怎樣？③練習(xí)（口答）：如圖，定義在[-4,4]上的f(x)，根據(jù)圖像說(shuō)出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。(2)增函數(shù)、減函數(shù)的證明：①出示例1：指出函數(shù)f(x)＝－3x＋2、f(x)＝的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，并給出證明。（由圖像指出單調(diào)性→示例f(x)＝－3x＋2的證明格式→練習(xí)完成。）②出示例2：物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)），告訴我們對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V增大時(shí)，壓強(qiáng)p如何變化？試用單調(diào)性定義證明.（學(xué)生口答→演練證明）③小結(jié)：比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，運(yùn)用比較法而變成判別代數(shù)式的符號(hào)。判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x∈給定區(qū)間，且x<x；→計(jì)算f(x)－f(x)至最簡(jiǎn)→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論。(3)函數(shù)最大（小）值：①指出下列函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，→能體現(xiàn)函數(shù)值有什么特征？， ；， ②定義最大值：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值（MaximumValue）③探討：仿照最大值定義，給出最小值（MinimumValue）的定義．→一些什么方法可以求最大（?。┲?？（配方法、圖象法、單調(diào)法）→試舉例說(shuō)明方法.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上問(wèn)題的探討，使學(xué)生逐漸體會(huì)證明的一般方法。（二）類(lèi)型題探究題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間去絕對(duì)值符號(hào)由定義法或圖象法結(jié)論例1去絕對(duì)值符號(hào)由定義法或圖象法結(jié)論【思維導(dǎo)圖】【解答關(guān)鍵】去掉絕對(duì)值號(hào)，化為分段函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象，借助圖象可以直觀地判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【規(guī)范解答】，其圖象如右圖所示：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是，.【技巧感悟】本題中所給出的函數(shù)式中含有絕對(duì)值，可以采用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再畫(huà)出函數(shù)的圖象，通過(guò)函數(shù)的圖象觀察函數(shù)的單調(diào)性.【誤區(qū)警示】該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由兩個(gè)區(qū)間組成，注意不能寫(xiě)成下列形式：，或【思想方法】數(shù)形結(jié)合始終是研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的重要思想，可以利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體做法是：先化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后畫(huà)出圖象，最后根據(jù)函數(shù)的定義域與圖象的位置、狀態(tài)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.另外，研究函數(shù)的單調(diào)性的方法還有定義法以及利用已知函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【活學(xué)活用】1.（1）(廣東執(zhí)信中學(xué)09-10高一上學(xué)期期末)函數(shù)和的遞增區(qū)間依次是（） A．， B．，C．，D．，(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1．（1）C解析如圖(2)解析：先作出函數(shù)的圖象，由于絕對(duì)值的作用，把軸下方的圖象沿軸對(duì)折到軸的上方，所得函數(shù)的圖像如右圖所示：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在、上是減函數(shù)，在、上是增函數(shù)．題型二判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性例2證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.作差任取得出結(jié)論作差任取得出結(jié)論代入化簡(jiǎn)判斷【解答關(guān)鍵】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，主要是四個(gè)步驟，證明的關(guān)鍵是進(jìn)行變形，盡量變成幾個(gè)最簡(jiǎn)單因式的乘積的形式.證明：.由于，，則，，故，即，故，由減函數(shù)定義，得在區(qū)間單調(diào)遞減.同理可證：在區(qū)間上單調(diào)遞增.【知識(shí)歸納】函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).這一結(jié)論在求此類(lèi)函數(shù)的值域或最值時(shí)非常方便，但解答題需要先證明結(jié)論后才能用.【技巧感悟】在“作差變形”的過(guò)程中，為了確定符號(hào)，一般是分解出含有的因式，再將剩下的因式通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等方法，化為幾個(gè)因式的積、商，或化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的和的形式，然后判斷符號(hào).【誤區(qū)警示】用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意詳細(xì)寫(xiě)出解題步驟，如果省略必要的步驟，將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.另外，有的同學(xué)沒(méi)有化簡(jiǎn)徹底，就開(kāi)始判斷符號(hào)，這也是容易出錯(cuò)的.“題要一步一步地解”，在數(shù)學(xué)證明題中顯得尤為重要.【活學(xué)活用】2.（2022湖北黃岡中學(xué)高一測(cè)試）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（） A. B. C. D.2．D解析：注意到函數(shù)是一個(gè)以為頂點(diǎn)的開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，是一個(gè)以為頂點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，它們?cè)谏隙疾皇菃握{(diào)減函數(shù)，而的圖象是出現(xiàn)在第二和第四象限的兩支曲線(xiàn)，在上單調(diào)遞增，所以正確選項(xiàng)是D．題型三單調(diào)性的應(yīng)用例3已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【思維導(dǎo)圖】判斷判斷函數(shù)解析式配方圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的關(guān)系【解答關(guān)鍵】先將函數(shù)解析式配方，然后找出圖象的對(duì)稱(chēng)軸，再考慮對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合求解.【規(guī)范解答】，故此二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)軸必須在直線(xiàn)的右側(cè)或與其重合.故，解得.【技巧感悟】函數(shù)在是為單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間為有著本質(zhì)差異.可理解如下：(1)函數(shù)在是為單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)，說(shuō)明除此區(qū)間之外，在其它區(qū)間上也可能單調(diào)遞增(遞減)函數(shù).(2)函數(shù)的單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間為，說(shuō)明函數(shù)除此區(qū)間外，在其它區(qū)間上不再有單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間.【活學(xué)活用】3.(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.3.解析：（1）由二次函數(shù)的圖象可知，該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，即，即．（2）由題意可知，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，若在上是增函數(shù)，則需滿(mǎn)足，即． (三）小結(jié)：目標(biāo)檢測(cè)目標(biāo)檢測(cè)一一、選擇題1．若函數(shù)是上的減函數(shù)，那么()A．B．C．D．無(wú)法確定1．B解析：因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以對(duì)任意，應(yīng)有，即，又，所以．2．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A．B．C．D．2．D解析：畫(huà)出圖象可得，在區(qū)間上，，，都是遞減函數(shù)．3．.(河南寶豐一高2022-2022月考)定義在上的函數(shù)，總有成立，則必有（）A．函數(shù)是先增加后減少B．函數(shù)是先減少后增加C．在上是增函數(shù)D．在上是減函數(shù)3．C解析：由于，所以，得當(dāng)時(shí)，；同理當(dāng)時(shí)，.故在上是增函數(shù)．4．(河南新鄉(xiāng)2022-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末)已知二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） A．或 B． C．或 D．4．A解析：的對(duì)稱(chēng)軸，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則；若在區(qū)間上是減函數(shù)，則．5．.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是()A．B．C．D．5．A解析：數(shù)形結(jié)合與的對(duì)稱(chēng)軸，則，得，．二、填空題6.定義在上的函數(shù)為減函數(shù)，求滿(mǎn)足不等式的的集合.6.解析：通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的可逆轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系即7．的單調(diào)區(qū)間是此時(shí)單調(diào)性為.7.，增．解析：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出后，再判斷其增減性，是求解單調(diào)性問(wèn)題的常用方法．函數(shù)的定義域?yàn)?，易判斷在定義域?yàn)楹阍觯C明如下：取，,容易判斷符號(hào)，得到，故為增函數(shù)．三、解答題8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意的正數(shù)，都有，求滿(mǎn)足的的取值范圍．8．解析：∵時(shí)，，∴函數(shù)是減函數(shù)，∴由得：，解得，∴的取值范圍是．9．判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．9．證明：函數(shù)是增函數(shù).證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，則，即，故函數(shù)是增函數(shù)．高考能力演練10．（2022福建理）下列函數(shù)中，滿(mǎn)足“對(duì)任意，（0，），當(dāng)<時(shí)，都有>的是()A．=B．=C．D．10．A解析：依題意可得函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，故由選項(xiàng)可得A正確.目標(biāo)檢測(cè)二一、選擇題1.關(guān)于函數(shù)y=的單調(diào)性的表述正確的是()A.在（－∞，0）上增加，在（0，+∞）上減少B.在（－∞，0）∪（0，+∞）上減少C.在［0，+∞）上減少D.在（－∞，0）和（0，+∞）上都減少1.D解析：對(duì)于反比例函數(shù)y=（k≠0），當(dāng)k＞0時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)遞減函數(shù)，這種函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能分開(kāi)寫(xiě)；當(dāng)k＜0時(shí),在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)遞增函數(shù).2.已知函數(shù)定義在上，且有，則下列判斷正確的是()A.必為上的單調(diào)增函數(shù)B.不是上的單調(diào)增函數(shù)C.必為上的單調(diào)減函數(shù)D.不是上的單調(diào)減函數(shù)2.B解析：根據(jù)增函數(shù)的定義知選B.3.函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，2]上是減函數(shù)，則A． B． C． D． 3.A解析：由二次函數(shù)圖象的特性及單調(diào)性可知.4.函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，且，那么在上為減函數(shù)是()A．B．C．D．4.C解析：取很容易可以判斷在定義域內(nèi)為減函數(shù).二、填空題5.函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的減函數(shù)，則y＝f(|x＋2|)的單調(diào)減區(qū)間是______．5.［－2，＋∞)解析：∵y＝f(u)在R上遞減；u＝|x＋2|在［－2，＋∞)上遞增，在(－∞，－2］上遞減∴y＝f(|x＋2|)在［－2，＋∞)上遞減6.函數(shù)，在[-2，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-2]上是減函數(shù)，則————————6.2解析：由拋物線(xiàn)呈軸對(duì)稱(chēng)可知，.7.若函數(shù)在區(qū)間（-2，3）上是增函數(shù)，則函數(shù)的遞減區(qū)間為_(kāi)________7.（-2，3）解析：設(shè)t=x+5其在R上增函數(shù)，則在區(qū)間（-2，3）上是增函數(shù),即x+5（-2，3）三、解答題8.討論函數(shù)的單調(diào)性．8.設(shè)，則：，，．∴當(dāng)時(shí)，，在(-1，1)上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，在(-1，1)上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，沒(méi)有單調(diào)性．9.函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．9.∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴對(duì)任意的有，即，得，即，∵，∴，∵，∴要使恒成立，只要；又∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，即，綜上的取值范圍為．高考能力演練10.作出函數(shù)f（x）=+的圖象，