包頭九中高二下學(xué)期月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年內(nèi)蒙古包頭九中高二（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題(每小題5分，共60分）：1．在用反證法證明“自然數(shù)a，b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)"時(shí)的正確反設(shè)應(yīng)為（）A．a(chǎn)，b,c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)2．有這樣一段演繹推理“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤3．設(shè)(i是虛數(shù)單位）,則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=(）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．5．已知函數(shù)f(x)=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞)上既有極大值，也有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（)A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)＜且a≠0 D．a(chǎn)≤且a≠06．如果圓柱的軸截面周長為定值4，則圓柱體積的最大值為（）A．π B．π C．π D．π7．已知x，y滿足不等式，設(shè)z=，則z的最大值與最小值的差為（）A．1 B．2 C．3 D．48．函數(shù)f(x）=xcosx的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間上的圖象大致是（）A． B． C． D．9．直線l過點(diǎn)（2，0）且與曲線相切，設(shè)其傾斜角為，則α=（)A．30° B．45° C．60° D．135°10．設(shè)n∈N＊,f（n）=1+++…+，計(jì)算知f(2）=，f（4)＞2,f（8）＞，f（16)＞3,f(32）＞,由此猜測（）A．f(2n）＞ B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．以上都不對11．過原點(diǎn)的直線l與拋物線y=x2﹣2ax（a＞0）所圍成的圖形的面積為y=a3,則直線l的方程為（）A．y=ax B．y=ax或y=﹣6ax C．y=﹣ax D．y=ax或y=﹣5ax12．設(shè)奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），且在(0，+∞)上f′(x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共30分）：13．已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i)=﹣1﹣i,則｜z+1|=．14．復(fù)數(shù)f（x)=,則dx=．15．f（x）=mx2+lnx﹣2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m取值范圍為．16．已知函數(shù)f（x）=3x2+1，g（x）=x3﹣9x,．若函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間上的最大值為28，則k的取值范圍為．17．在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）"時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k（k+1）=由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3)…n（n+1）=相加,得1×2+2×3+…+n（n+1）=n(n+1)(n+2）類比上述方法,請你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其結(jié)果為．18．已知函數(shù)f（x）=xsinx，x∈R，f（﹣4），f（），f（﹣)的大小關(guān)系為．三、解答題（每小題12分，共60分）：19．當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=lg（m2﹣4m﹣11）+（m2﹣2m﹣8）i為:（1）實(shí)數(shù)；(2）純虛數(shù)．20．已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1處取得極值0．（1）試確定a、b之值；（2）若方程f(x）=k有三個(gè)解,試確定k的取值范圍．21．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n+1)（n+2）（n+3）…(n+n）=2n?1?3…(2n﹣1）（n∈N＊）．22．f(x)=ex﹣ax（a＞1）,試討論f(x）在上的最大值．23．已知函數(shù)，a∈R(1)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）已知點(diǎn)P（0，1）和函數(shù)f（x）圖象上動(dòng)點(diǎn)M(m,f（m))，對任意x∈上的圖象大致是(）A． B． C． D．【考點(diǎn)】35:函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】判斷一個(gè)函數(shù)在定區(qū)間上的圖象形狀，我們可以根據(jù)函數(shù)的解析式分析函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)f（x）=xcosx的解析式，我們求出導(dǎo)函數(shù)f′(x）的解析式，將x=0代入，判斷是否經(jīng)過原點(diǎn)，可以排除到兩個(gè)答案，再利用導(dǎo)函數(shù)的最值,對剩余的兩個(gè)答案進(jìn)行判斷，即可得到答案．【解答】解:∵f（x）=xcosx，∴f‘（x）=xcosx=cosx﹣xsinx，∵f‘（0）=1，可排除C、D；又∵f‘（x）在x=0處取最大值；故排除B故選A9．直線l過點(diǎn)（2，0）且與曲線相切,設(shè)其傾斜角為，則α=（)A．30° B．45° C．60° D．135°【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式求出切線方程，代入點(diǎn)（2,0）,解方程即可得到結(jié)論．【解答】解:∵,∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，﹣）,∴切線方程為y+=(x﹣x0），∵切線l過點(diǎn)(2，0），∴解得x0=0,∴=1=tanα，∴α=45°．故選B．10．設(shè)n∈N*，f（n)=1+++…+，計(jì)算知f(2）=，f（4)＞2，f(8）＞，f（16)＞3，f（32)＞，由此猜測（)A．f（2n）＞ B．f（n2）≥ C．f(2n）≥ D．以上都不對【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，我們可以根據(jù)已知條件中的不等式f（2）=，f（4)＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32)＞，分析不等式左邊的自變量,及右邊數(shù)的與項(xiàng)的關(guān)系，我們易得左邊的自變量值為2n，右邊的分母都為2，分子為n+2，由此歸納推理后，不難等到第n個(gè)不等式．【解答】解：由已知f（2）=f(21）=,f（4）=f（22)＞,f（8）=f（23）＞,f（16）=f(24）＞,f（32）=f（25)＞，…故猜測f（2n）≥．故選C11．過原點(diǎn)的直線l與拋物線y=x2﹣2ax(a＞0）所圍成的圖形的面積為y=a3，則直線l的方程為（）A．y=ax B．y=ax或y=﹣6ax C．y=﹣ax D．y=ax或y=﹣5ax【考點(diǎn)】K8:拋物線的簡單性質(zhì);69：定積分的簡單應(yīng)用．【分析】設(shè)l的方程為：y=kx，將直線與拋物線方程聯(lián)解，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0與2a+k．由此分2a+k≥0與2a+k＜0兩種情況討論，根據(jù)定積分計(jì)算公式與微積分的幾何意義建立關(guān)于a、k的方程，解出k值即可得到所求直線l的方程．【解答】解:設(shè)l的方程為：y=kx，由，解得x=0或x=2a+k,（1)若2a+k≥0，則所圍成圖形的面積S=(kx﹣x2+2ax）dx=（kx2﹣x3+ax2）==a3，解得：k=a．∴所求直線l方程為:y=ax．(2）若2a+k＜0，則所圍成圖形的面積S=（kx﹣x2+2ax）dx=(kx2﹣x3+ax2）=﹣=a3，解之得k=﹣5a∴所求直線l方程為：y=﹣5ax．綜上所述，直線l的方程為y=ax或y=﹣5ax，故選：D．12．設(shè)奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2,若f（1﹣m）﹣f（m）≥，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造輔助函數(shù)，由f（x）是奇函數(shù)，g（﹣x)+g（x)=0,可知g（x）是奇函數(shù)，求導(dǎo)判斷g（x）的單調(diào)性，,即g（1﹣m)≥g（m），解得m的取值范圍．【解答】解：令，∵，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′(x）﹣x2＜0，函數(shù)g(x)在x∈（0，+∞）為減函數(shù),又由題可知，f（0)=0，g（0）=0，所以函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)，，即g（1﹣m）≥g（m)，∴1﹣m≤m，∴．故選B．二、填空題（每小題5分，共30分）:13．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1﹣i）=﹣1﹣i，則|z+1｜=．【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】設(shè)出z=a+bi，求出a,b的值,從而求出｜z+1|的值即可．【解答】解：設(shè)z=a+bi，∵z（1﹣i)=﹣1﹣i，∴(a+bi）(1﹣i）=a+b+（b﹣a)i=﹣1﹣i，∴，解得：,∴z=﹣i，則|z+1|=|1﹣i|=，故答案為：．14．復(fù)數(shù)f（x)=，則dx=+ln2．【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】利用定積分的可加性將所求寫成兩個(gè)定積分相加的形式，然后計(jì)算定積分．【解答】解:由已知==+ln2；故答案為:．15．f（x）=mx2+lnx﹣2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m取值范圍為上的最大值為28,則k的取值范圍為（﹣∞，3）．【考點(diǎn)】3H:函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，f（﹣3)=f（3）=28,f（1）=﹣4，f(2）=3,即可求解．【解答】解：令F（x）=f（x）+g(x）=x3﹣9x+3x2+1，F(xiàn)′（x）=3x2+6x﹣9=0，x=1，x=﹣3，F(xiàn)′(x)=3x2+6x﹣9＞0，x＞1或x＜﹣3，F(xiàn)′（x)=3x2+6x﹣9＜0，﹣3＜x＜1，x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1(1,+∞）F′（x）+0﹣0+F（x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增F(﹣3）=28，F(xiàn)（1）=﹣4，F(xiàn)(2）=3，f(3）=28∵在區(qū)間上的最大值為28,∴k＜3．故答案為：(﹣∞,3）．17．在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k（k+1）=由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3）…n(n+1)=相加，得1×2+2×3+…+n（n+1)=n（n+1）(n+2)類比上述方法，請你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其結(jié)果為n（n+1）（n+2)（n+3）．【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，是要根據(jù)已知中給出的在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時(shí)化簡思路，對1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行化簡，處理的方法就是類比，將n（n+1）（n+2)進(jìn)行合理的分解．【解答】解：∵n(n+1）（n+2）=∴1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）2×3×4=(2×3×4×5﹣1×2×3×4）…n（n+1）（n+2)=∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1）（n+2）=上的最大值．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)lna，再由函數(shù)M（a）=a﹣lna的單調(diào)性可得lna＜a，說明當(dāng)x∈(0，lna）時(shí)，f′（x）＜0,f（x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（lna,a）時(shí)，f′（x)＞0，f（x)在（lna，a）上單調(diào)遞增，可得f（x)在上的最大值為max｛f(0），f（a)｝，由h(a)=f（a）﹣f(0)=ea﹣a2﹣1（a＞1），利用導(dǎo)數(shù)得到f(a）＞f（0)，從而得到f（x）在上的最大值為f(a）．【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a,令f′(x)=0，得x=lna＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)M（a）=a﹣lna，∵M(jìn)′（a)=1﹣=＞0，∴M（a)在（1，+∞）上單調(diào)遞增,且M(1）=1，∴M（a）=a﹣lna＞0在(1，+∞)上恒成立,即a＞lna，∴當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在(0,lna）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(lna，a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（lna,a）上單調(diào)遞增，∴f（x)在上的最大值為max｛f（0)，f（a）}，∵f(0）=1，f（a）=ea﹣a2，不妨設(shè)h(a）=f（a）﹣f（0)=ea﹣a2﹣1(a＞1),∴h′(a)=ea﹣2a，令φ(a)=h′（a)=ea﹣2a，則φ′(a)=ea﹣2＞0（a＞1），∴φ(a）=h′(a）＞φ（1)=e﹣2＞0，∴h（a）=f（a）﹣f（0）=ea﹣a2﹣1（a＞1）單調(diào)遞增，則h(a)＞h（1）=e﹣2＞0，即f（a）＞f（0）,∴f（x）在上的最大值為f（a）=ea﹣a2．23．已知函數(shù)，a∈R（1）求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間；(2）已知點(diǎn)P（0，1）和函數(shù)f（x）圖象上動(dòng)點(diǎn)M（m，f（m)），對任意x∈,直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導(dǎo)函數(shù)小于0在區(qū)間上恒成立，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′（x)＜0恒成立，通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f（m）＜1在區(qū)間上恒成立，再通過研究f（x）在上的單調(diào)性求最值，結(jié)合（Ⅰ)的結(jié)果即可解決問題．注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定．【解答】解：函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x）=ax﹣=，(1)當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣＜0，故函數(shù)f（x）在(0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0,結(jié)合x＞0,解得x=，當(dāng)x∈(0,）時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0,）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（,+∞）時(shí)，f′（x）＞0,所以函數(shù)f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x）在(0，)上單調(diào)遞減,在（,+∞）上單調(diào)遞增．（2)因?yàn)閷θ我鈓∈，直線PM的傾斜角都是鈍角，所以對任意m∈，直線PM的斜率小于0，即＜0,所以f(m）＜1，即f(x）在區(qū)間上的最大值小于1．又因?yàn)閒′（x)=ax﹣=，令g（x)=ax2﹣2，x∈，①當(dāng)a