高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修 第一冊(cè)2 3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 練習(xí)

2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式一、單選題1．已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（

）A．無(wú)論，，如何，方程組總有解B．無(wú)論，，如何，方程組總有唯一解C．存在，，，方程組無(wú)解D．存在，，，方程組無(wú)窮多解2．已知圓和圓的公共弦所在的直線恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A．6 B．3 C．4 D．75．點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(，)的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值為A． B． C． D．8．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，9．設(shè)直線，為直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．11．l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程為（

）A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝012．直線y＝4x﹣5關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱(chēng)的直線方程是（

）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9二、填空題13．已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點(diǎn)為，則直線l的一般式方程為_(kāi)_____．14．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為_(kāi)_____．15．“”是“直線與直線相互垂直”的______條件．16．若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___________.三、解答題17．（1）已知實(shí)數(shù)對(duì)滿(mǎn)足，求的最小值；（2）求的最小值．（提示：聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式）18．已知的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.求（1）AC所在的直線的方程；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)．19．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱(chēng)為歐拉線．在中，已知，，若其歐拉線的方程為．求：(1)外心的坐標(biāo)；(2)重心的坐標(biāo)；(3)垂心的坐標(biāo)．20．已知點(diǎn)，直線，直線.(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程.21．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為_(kāi)_____，求直線AC的方程．參考答案：1．B通過(guò)與是直線上，推出的關(guān)系，然后解方程組即可.【詳解】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程組有唯一解.故選：B2．C先根據(jù)兩圓方程得公共弦方程，再求得點(diǎn)，再根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和的公共弦所在的直線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，即，又由原點(diǎn)到直線的距離為，即的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓的公共弦問(wèn)題，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.3．A根據(jù)直線方程得到定點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．4．B把直線方程整理為關(guān)于的方程，由恒等式知識(shí)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到直線距離公式求解．【詳解】由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離是，故選：B.5．B直接代入點(diǎn)到直線距離公式，即可得解.【詳解】根據(jù)距離公式可得：點(diǎn)到直線的距離，故選：B.6．C首先求得直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).利用到直線的距離以及的長(zhǎng)，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式，考查角平分線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7．B利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離列出方程，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】雙曲線(，)的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為可得：可得，即所以雙曲線的離心率為：.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，還運(yùn)用雙曲線中焦點(diǎn)到漸近線的距離為以及點(diǎn)到直線的距離公式：.8．B點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點(diǎn)在直線上，列式求解.【詳解】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B9．A利用的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，該距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，則的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到線的距離公式，利用兩點(diǎn)之間距離的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．D先求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則有，可得，可得，依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時(shí)，故選：D.11．A根據(jù)題意，當(dāng)兩條平行直線與AB垂直時(shí)，兩條平行直線的距離最大，求得直線l1的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】當(dāng)兩條平行直線與AB垂直時(shí)，兩條平行直線的距離最大，因?yàn)椋运詌1的方程為，即.故選：A.12．C設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出，，再代入直線中即可得到對(duì)稱(chēng)直線的方程.【詳解】設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以，，將其代入直線中，得到，化簡(jiǎn)得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.13．通過(guò)解方程組求出直線l與兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，因?yàn)橹本€l過(guò)，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得的線段的中點(diǎn)，所以，即，故答案為：14．先根據(jù)直線與平行求出參數(shù)，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】∵直線與平行，∴，解得，∴直線：，直線：，∴直線與之間的距離．故答案為：15．充分不必要根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】若，直線的斜率，直線的斜率，則兩條直線垂直，即充分性成立，當(dāng)，兩條直線方程為，和，則兩條直線垂直；當(dāng)，直線的斜率，直線的斜率，滿(mǎn)足兩直線垂直，故必要性不成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件故答案為：充分不必要16．求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入的坐標(biāo)，求得的值，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，可得；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，可得，要使得直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17．（1）；（2）.（1）由的幾何意義求得點(diǎn)到已知直線的距離即得；（2）表示到和的距離之和，由平面幾何知識(shí)變形后，由兩點(diǎn)距離公式可得．【詳解】（1）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在直線上，所以其最小值為；（2）表示到和的距離之和，與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，當(dāng)且僅當(dāng)是與軸交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)．所以的最小值是．18．（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．(1)根據(jù)題意設(shè)直線AC的方程為2x＋y＋t＝0，接著代點(diǎn)求解即可；（2）利用點(diǎn)B在直線BH，用點(diǎn)B坐標(biāo)表示點(diǎn)M坐標(biāo)，又點(diǎn)M在直線CM，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線方程，列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)锳C⊥BH，所以設(shè)AC所在的直線的方程為2x＋y＋t＝0.把A(5，1)代入直線方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直線的方程為2x＋y－11＝0.（2）設(shè)B(x0，y0)，則AB的中點(diǎn)為.聯(lián)立得方程組，化簡(jiǎn)得解得，故B(－1，－3)．【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．19．(1)(2)(3)（1）將直線垂直平分線方程與歐拉線方程聯(lián)立即可解得外心坐標(biāo)；（2）設(shè)，由此可得重心坐標(biāo)，將其代入歐拉線可得關(guān)于方程；由可得關(guān)于的另一方程，由此聯(lián)立可得的值，進(jìn)而得到重心坐標(biāo)；（3）將邊上的高所在直線方程與歐拉線方程聯(lián)立即可解得垂心坐標(biāo).(1)中點(diǎn)為且，垂直平分線方程為：，即，由得：，即外心.(2)設(shè)，則重心，將代入歐拉線得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（與重合，不合題意），，重心.(3)由（2）知：；由（1）知：，邊的高所在直線方程為：，即；由得：，垂心.20．(1)(2)（1）設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，解方程組求出，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，（2）先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線上任取一點(diǎn)，求出其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而可求出直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程（1）設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，（2）由，得，所以?xún)芍本€交于點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，所以，所以直線為，即，所以直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程為21．(1)；(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.（1）由兩直線垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系求得直線AB的斜率為，再由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案；（2）若選①：由，求得點(diǎn)，再求得點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程；若選②：由，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由BC的中點(diǎn)在直線上，和點(diǎn)C在直線上，求得點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程.（1）解：因?yàn)锳B邊上的高所在的