專題01 五組秒殺公式模型(原卷版)

專題01五組秒殺公式模型第Ⅰ組秒殺公式(1)e橢圓＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；(2)e雙曲線＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(1＋tan2α)(其中α與k為漸近線的傾斜角與斜率)[例1](1)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(3)或eq\f(2\r(3),3)D．eq\f(2\r(3),3)或2答案D解析秒殺∵兩條漸近線的夾角為60°，∴一條漸近線的傾斜角為30°，斜率為eq\f(\r(3),3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝eq\f(2\r(3),3)．或一條漸近線的傾斜角為60°，斜率為eq\r(3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2．故選D．通法∵兩條漸近線的夾角為60°，且兩條漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，∴eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)或eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)．由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(2\r(3),3)(舍負(fù))；由eq\f(b,a)＝eq\r(3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍負(fù))．故選D．(2)雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\r(7)x，則E的離心率為()A．2B．eq\f(2\r(14),7)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案C解析秒殺∵漸近線的斜率為±eq\r(7)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2eq\r(2)．通法由題意，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\r(7)x，即eq\f(b,a)＝eq\r(7)，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2eq\r(2)，故選．(3)(2019·全國Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40°B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°)D.eq\f(1,cos50°)答案D解析秒殺由題意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°)．故選D．(4)(2017·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)答案A解析秒殺由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為a．又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3)．故選A．(5)(2019·全國Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，則C的離心率為________．答案2解析秒殺由eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，得A為F1B的中點．又∵O為F1F2的中點，∴OA∥BF2．又eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2為等邊三角形．∴一條漸近線的傾斜角為60°，斜率為eq\r(3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2．通法一：由eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，得A為F1B的中點．又∵O為F1F2的中點，∴OA∥BF2．又eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2為等邊三角形．如圖所示，不妨設(shè)B為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c))．∵點B在直線y＝－eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝2．通法二：∵eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點，∴|OF2|＝|OB|＝c．如圖，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得eq\f(|BH|,|OH|)＝eq\f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F(xiàn)2(c，0)．又∵eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，∴A為F1B的中點．∴OA∥F2B，∴eq\f(b,a)＝eq\f(b,c－a)，∴c＝2a，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝2．【對點訓(xùn)練】1．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過點F1，F(xiàn)2分別作x軸的垂線，交漸近線于點M，N，且點M，N在x軸的同側(cè)，若四邊形MNF2F1為正方形，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋3y＋1＝0垂直，則雙曲線的離心率等于()A．eq\r(6)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(10)D．eq\r(3)3．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)4．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，且交y軸于B，若A為BF的中點，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\f(\r(6),2)5．(2019·天津)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l．若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)6．已知F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點，過點F作垂直于x軸的直線交該雙曲線的一條漸近線于點M，若|FM|＝2a，記該雙曲線的離心率為e，則e2＝()A．eq\f(1＋\r(17),2)B．eq\f(1＋\r(17),4)C．eq\f(2＋\r(5),2)D．eq\f(2＋\r(5),4)7．(2017·全國Ⅱ)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為()A．2B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．eq\f(2\r(3),3)8．過雙曲線QUOTEx2a2－QUOTEy2b2=1(a>0，b>0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為()A．QUOTE3B)QUOTE5C．QUOTE10D．QUOTE139．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，O是坐標(biāo)原點，點P在雙曲線C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面積為a2，則雙曲線的離心率是()A．eq\r(5)B．eq\r(2)C．4D．210．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點E(0，t)(0<t<b)．已知動點P在橢圓上，且點P，E，F(xiàn)2不共線，若△PEF2的周長的最小值為4b，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),3)11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，且eq\o(AF,\s\up7(→))與eq\o(FB,\s\up7(→))反向，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\f(5,2)12．已知F為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，過原點的直線l與雙曲線交于M，N兩點，且eq\o(MF,\s\up7(→))·eq\o(NF,\s\up7(→))＝0，△MNF的面積為ab，則該雙曲線的離心率為________．第Ⅱ組秒殺公式(1)e橢圓＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P)．(2)e雙曲線＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(sin∠F1PF2,|sin∠F1F2P－sin∠F2F1P|)．[例2](6)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),3)答案D解析秒殺在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq\r(3)．∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3),3)．通法如圖，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3)c,3)．∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\f(4\r(3)c,3)＋eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq\r(3)c＝a．∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．(7)(2018·全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\r(3)－1答案D解析秒殺e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1)＝eq\f(sin90°,sin30°＋sin60°)eq\r(3)－1．故選D．通法由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c．由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．故選D．(8)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2答案A解析秒殺作出示意圖，如圖，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq\f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq\f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq\r(2)．故選A．通法因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a)．又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|．由雙曲線的定義，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)．故選A．(9)點P是橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2的最大值是60°，則橢圓的離心率e＝________．答案eq\f(1,2)解析秒殺e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq\f(1,2)通法如圖所示，當(dāng)點P與點B重合時，∠F1PF2取得最大值60°，此時|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c．由橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)．(10)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，若F關(guān)于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為________．答案eq\r(3)－1解析秒殺設(shè)F′為橢圓的右焦點，則AF⊥AF′，∠AF′F＝eq\f(π,3)，∴|AF|＝eq\r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此橢圓C的離心率為eq\f(2c,2a)＝eq\f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．(11)(2018·北京)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．答案eq\r(3)－12解析秒殺雙曲線N的離心率e1＝eq\r(1＋tan260°)＝2．橢圓M的離心率e2＝eq\f(sin∠FDC,sin∠DFC＋sin∠DCF)＝eq\f(sin90°,sin30°＋sin60°)＝eq\r(3)－1．通法一：如圖，∵雙曲線N的漸近線方程為y＝±eq\f(n,m)x，∴eq\f(n,m)＝tan60°＝eq\r(3)，∴雙曲線N的離心率e1滿足eeq\o\al(2,1)＝1＋eq\f(n2,m2)＝4，∴e1＝2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq\f(a2b2,3a2＋b2)．設(shè)D點的橫坐標(biāo)為x，由正六邊形的性質(zhì)得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2．∴eq\f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－eq\f(6b2,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a2)))2＝0，解得eq\f(b2,a2)＝2eq\r(3)－3．∴橢圓M的離心率eeq\o\al(2,2)＝1－eq\f(b2,a2)＝4－2eq\r(3)．∴e2＝eq\r(3)－1．通法二：∵雙曲線N的漸近線方程為y＝±eq\f(n,m)x，則eq\f(n,m)＝tan60°＝eq\r(3)．又c1＝eq\r(m2＋n2)＝2m，∴雙曲線N的離心率為eq\f(c1,m)＝2．如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點，設(shè)正六邊形邊長為1，則|FC|＝2c2＝2，即c2＝1．又E為橢圓M上一點，則|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq\r(3)＝2a，a＝eq\f(1＋\r(3),2)．∴橢圓M的離心率為eq\f(c2,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1．(12)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的交點，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，則C1與C2的離心率之和為()A．2eq\r(3)B．4C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)答案A解析秒殺連接AF2，橢圓C1的離心率e1＝eq\f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2＋sin∠AF2F1)＝eq\f(sin90°,sin60°＋sin30°)＝eq\r(3)－1．雙曲線C2的離心率e2＝eq\f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2－sin∠AF2F1)＝eq\f(sin90°,sin60°－sin30°)＝eq\r(3)＋1．∴e＋e1＝2eq\r(3)．通法設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由雙曲線和橢圓的對稱性可知，A，B關(guān)于原點對稱，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，結(jié)合b2＝a2－c2及e＝eq\f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0<e<1，∴e2＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴e＝eq\r(3)－1．同理可求得雙曲線的離心率e1＝eq\r(3)＋1，∴e＋e1＝2eq\r(3)．【對點訓(xùn)練】13．設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于________．14．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，P為雙曲線C的右支上一點，且△OPF為正三角形，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(3)B．eq\f(2\r(3),3)C．1＋eq\r(3)D．2＋eq\r(3)15．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，雙曲線以A，B為焦點，且經(jīng)過C，D兩點，則該雙曲線的離心率等于()A．QUOTE2B．QUOTE3C．QUOTE5D．QUOTE3+116．已知F是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點，經(jīng)過原點O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，則橢圓E的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),2)17．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上第二象限內(nèi)一點，若直線y＝eq\f(b,a)x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(6)18．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，若F關(guān)于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\r(3)－1第Ⅲ組秒殺公式(1)若直線y＝kx與橢圓E交于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的點，若直線PA，PB的斜率存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1．(2)若直線y＝kx與雙曲線E交于A，B兩點，P為雙曲線上異于A，B的點，若直線PA，PB的斜率存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝eq\f(b2,a2)＝e2－1．注：當(dāng)焦點在y軸上時a，b對調(diào)．【例題選講】[例3](13)(2015·全國Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A．eq\r(5)B．2C．eq\r(3)D．eq\r(2)答案D解析秒殺∵k1·k2＝e2－1．∴1＝e2－1．∴e＝eq\r(2)．故選D．通法不妨取點M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a，\r(3)a))．∵M(jìn)點在雙曲線上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)．故選D．(14)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點為A，過原點O的直線l與C交于點P，Q，且直線AP與直線AQ的斜率之積為－eq\f(1,2)，則C的離心率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(2),4)答案C解析秒殺∵k1·k2＝e2－1．∴－eq\f(1,2)＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(2),2)．故選C．通法設(shè)P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(a，0)．所以kAP·kAQ＝eq\f(y1,x1－a)·eq\f(－y1,－x1－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－a2)，又因為eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1?yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2)，所以kAP·kAQ＝－eq\f(b2,a2)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，故選C．(15)設(shè)A1，A2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，若在橢圓上存在點P，使得kPA1·kPA2＞－eq\f(1,2)，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案C解析秒殺∵k1·k2＝e2－1．∴e2－1＞－eq\f(1,2)．∴e＞eq\f(\r(2),2)，故選C．通法橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1(－a，0)，A2(a，0)，設(shè)P(x0，y0)，根據(jù)題意，kPA1·kPA2＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＞－eq\f(1,2)，而eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，所以eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，于是eq\f(b2,a2)＜eq\f(1,2)，即eq\f(a2－c2,a2)＜eq\f(1,2)，1－e2＜eq\f(1,2)，所以e＞eq\f(\r(2),2)，又e＜1，故eq\f(\r(2),2)＜e＜1．故選C．(16)已知O為坐標(biāo)原點，點A，B在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，且關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱．若雙曲線C上與點A，B橫坐標(biāo)不相同的任意一點P滿足kPA·kPB＝3，則雙曲線C的離心率為()A．2B．4C．eq\r(10)D．10答案A解析秒殺∵k1·k2＝e2－1．∴3＝e2－1．∴e＝2．故選A．通法設(shè)A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|(zhì)x1|)，則B(－x1，－y1)，則kPA·kPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))．因為點P，A在雙曲線C上，所以b2xeq\o\al(2,0)－a2yeq\o\al(2,0)＝a2b2，b2xeq\o\al(2,1)－a2yeq\o\al(2,1)＝a2b2，兩式相減可得eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)，故eq\f(b2,a2)＝3，于是b2＝3a2．又因為c2＝a2＋b2，所以雙曲線C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2．故選A．(17)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，M、N為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P為雙曲線上的點，且直線PM、PN的斜率分別為k1、k2，若k1·k2＝eq\f(5,4)，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．2D．eq\f(5,2)答案B解析秒殺∵k1·k2＝e2－1．∴eq\f(5,4)＝e2－1．∴e＝eq\f(3,2)．故選B．通法設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(－x1，－y1)，∴k1·k2＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))，由點M、N在雙曲線上得eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減可得eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)，∵k1·k2＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴b＝eq\f(\r(5),2)a，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(3,2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)．故選B．【對點訓(xùn)練】19．設(shè)A1，A2分別為雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下頂點，若雙曲線上存在點M使得兩直線斜率kMA1·kMA2＜eq\f(1,2)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))20．已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，若橢圓C上存在點P，使得直線PA，PB斜率的絕對值之和為1，則橢圓C的離心率的取值范圍是________．第Ⅳ組秒殺公式(1)若直線y＝kx＋m(k≠0且m≠0)與橢圓E交于A，B兩點，P為弦AB的中點，設(shè)直線PO的斜率為k0，則k0·k＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1．(2)若直線y＝kx＋m(k≠0且m≠0)與雙曲線E交于A，B兩點，P為弦AB的中點，設(shè)直線PO的斜率為k0，則k0·k＝eq\f(b2,a2)＝e2－1．注：當(dāng)焦點在y軸上時a，b對調(diào)．【例題選講】[例4](18)過點M(1，1)作斜率為－eq\f(1,3)的直線l與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．答案eq\f(\r(6),3)解析秒殺由題意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(6),3)．通法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2，,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq\f(b2,a2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,3)，∴a2＝3b2．∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3)．(19)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點F為左焦點，點P為下頂點，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點，且AB的中點為M(1，eq\f(1,2))，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析秒殺由題意得，k0·k＝e2－1．即，∴e＝eq\f(\r(2),2)．故選B．通法因為FP的斜率為－eq\f(b,c)，F(xiàn)P∥l，所以直線l的斜率為－eq\f(b,c)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝－(eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)－eq\f(xeq\o\al(2,2),a2))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))．因為AB的中點為M(1，eq\f(1,2))，所以－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，所以a2＝2bc，所以b2＋c2＝2bc，所以b＝c，所以a＝eq\r(2)c，所以橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，故選B．(20)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(5),5)答案C解析秒殺由題意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(3),2)．故選C．通法一設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因為kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，故選C．通法二將直線方程x－y＋5＝0代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(10a2,a2＋b2)，又由中點坐標(biāo)公式知x1＋x2＝－8，所以eq\f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)．故選C．(21)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過點P(3，6)的直線l與C相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則雙曲線C的離心率為()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(\r(5),2)答案B解析秒殺由題意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(3,2)．故選B．通法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中點為N(12,15)，則x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得，eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)，則eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f(4b2,5a2)，由直線AB的斜率k＝eq\f(15－6,12－3)＝1，所以eq\f(4b2,5a2)＝1，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(3,2)，所以雙曲線C的離心率為eq\f(3,2)．故選B．第Ⅴ組秒殺公式過橢圓或雙曲線的焦點F作傾斜角為θ直線與橢圓或雙曲線相交A、B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，則有．(其中θ為直線的傾斜角，F(xiàn)在線段AB上)[例5](22)傾斜角為eq\f(π,4)的直線經(jīng)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F，與橢圓交于A、B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),3)答案B解析秒殺由題可知，，所以e＝eq\f(\r(2),3)，故選B．通法由題可知，直線的方程為y＝x－c，與橢圓方程聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1,y＝x－c))，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直線過橢圓的右焦點，故必與橢圓有兩個交點，則Δ>0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)))，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2yeq\o\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以eq\f(1,2)＝eq\f(4c2,a2＋b2)，所以e＝eq\f(\r(2),3)，故選B．(23)已知F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點，A是橢圓短軸的一個端點，若F為過AF的橢圓的弦的三等分點，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析秒殺由題可知，，即，所以e＝eq\f(\r(3),3)，故選B．通法延長AF交橢圓于點B，設(shè)橢圓左焦點為F′，連接AF′，BF′．根據(jù)題意|AF|＝eq\r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq\f(a,2)．根據(jù)橢圓定義|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq\f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cos∠F′AF＝eq\f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq\f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cos∠F′AB＝eq\f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2a2－4c2,2a2)＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\r(3)c，所以橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故選B．(24)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線l與雙曲線的右支交于不同兩點A，B，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(2\r(3),3)D．eq\r(3)答案A解析秒殺由題可知，，即，即所以e＝＝eq\f(\r(5),2)，故選B．通法由題意得直線l的方程為x＝eq\f(b,a)y＋c，不妨取a＝1，則x＝by＋c，且b2＝c2－1．將x＝by＋c代入x2－eq\f(y2,b2)＝1，(b＞0)，得(b4－1)y2＋2b3cy＋b4＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－eq\f(2b3c,b4－1)，y1y2＝eq\f(b4,b4－1)．由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，得y1＝－