微積分發(fā)展歷程

..微積分開展歷程〔一〕一、數(shù)學(xué)無窮開展的萌芽無窮作為一個(gè)極富迷人魅力的詞匯，長(zhǎng)期以來就深深沖動(dòng)著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實(shí)質(zhì)成為維護(hù)人類智力尊嚴(yán)的一種需要。而數(shù)學(xué)是"研究無限的學(xué)科〞，因此數(shù)學(xué)就責(zé)無旁貸地?fù)?dān)當(dāng)起征服無窮的重任。我們?cè)诒疚闹袑⒑?jiǎn)要介紹一下數(shù)學(xué)中無窮思想開展的歷程早在遠(yuǎn)古時(shí)代，無限的概念就比其它任何概念都沖動(dòng)著人們的感情，而且遠(yuǎn)在兩千年以前，人們就已經(jīng)產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)無窮的萌芽認(rèn)識(shí)。

在我國(guó)，著名的"莊子"一書中有言："一尺之棰，日取其半，而萬世不竭。〞從中就可表達(dá)出我國(guó)早期對(duì)數(shù)學(xué)無窮的認(rèn)識(shí)水平。而我國(guó)第一個(gè)創(chuàng)造性地將無窮思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，且運(yùn)用相當(dāng)自如的是晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家徽。他提出用增加圓接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的"割圓術(shù)〞，并闡述道："割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，那么與圓周合體而無所失矣。〞可見徽對(duì)數(shù)學(xué)無窮的認(rèn)識(shí)已相當(dāng)深刻，正是以"割圓術(shù)〞為理論根底，徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間的領(lǐng)先國(guó)外上千年的驚人成果。

在國(guó)外，早在畢達(dá)哥拉斯關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn)及關(guān)于數(shù)與無限這兩個(gè)概念的定義中已孕育了微積分學(xué)的關(guān)于無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學(xué)派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數(shù)學(xué)之神阿基米德所運(yùn)用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對(duì)窮竭法應(yīng)用之熟練，使后人感到他在當(dāng)時(shí)就已接近了微積分的邊緣。

由此，我們可以看到在數(shù)學(xué)無窮思想開展之初，古人就已在這個(gè)領(lǐng)域開創(chuàng)了一個(gè)光芒的起點(diǎn)。雖說，古人對(duì)無窮已有了較深刻認(rèn)識(shí)，然而人們對(duì)無限的認(rèn)識(shí)是缺乏嚴(yán)密的邏輯根底的?？梢哉f，對(duì)于只熟知有限概念的人們來說"無限〞這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地說明了這一點(diǎn)。

芝諾，公元前五世紀(jì)中葉古希臘哲學(xué)家。他提出的四個(gè)悖論雖是哲學(xué)命題。但卻對(duì)數(shù)學(xué)無窮思想的開展產(chǎn)生了直接且深遠(yuǎn)影響。這里僅舉其悖論之一。

阿基里斯悖論：跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠(yuǎn)大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過乙開場(chǎng)的A點(diǎn)，但甲到了A點(diǎn)，那么乙已進(jìn)到A1點(diǎn)，而當(dāng)甲再到A1點(diǎn)，那么乙又進(jìn)到A2點(diǎn)，依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠(yuǎn)在乙后面而追不上乙。

這顯然違背人們常識(shí)的芝諾悖論，因與無限問題密切相連，就使得古希臘人對(duì)無窮有些望之卻步靜而遠(yuǎn)之了。同時(shí)也導(dǎo)致古希臘數(shù)學(xué)家不得不把無限排斥在自己的推理之外了。

芝諾悖論就這樣一直困惑著人們，問題的癥結(jié)何在呢？這里我們不得不提到一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家〔物理學(xué)家〕——阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)，阿基米德確定了拋物線弓形、螺線、圓形的面積以及橢球體、拋物面體等各種復(fù)雜幾何體的外表積和體積的計(jì)算方法。在推演這些公式的過程中，他創(chuàng)立了"窮竭法〞，即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認(rèn)為微積分計(jì)算的鼻祖。他用圓接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法，比擬準(zhǔn)確的求出了圓周率。面對(duì)古希臘繁冗的數(shù)字表示方式，阿基米德還首創(chuàng)了記大數(shù)的方法，突破了當(dāng)時(shí)用希臘字母計(jì)數(shù)不能超過一萬的局限，并用它解決了許多數(shù)學(xué)難題。微積分開展歷程〔二〕微積分學(xué)的誕生隨著時(shí)代的開展，實(shí)踐中提出了越來越多的數(shù)學(xué)問題，待數(shù)學(xué)家們加以解決，如曲線切線問題、最值問題、力學(xué)中速度問題、變力做功問題……初等數(shù)學(xué)方法對(duì)此越來越無能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)工具。不少數(shù)學(xué)家為此做了不懈努力，如笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅……并取得了一定成績(jī)，正是站在這些巨人的肩膀上，牛頓、萊布尼茲以無窮思想為據(jù)，成功運(yùn)用無限過程的運(yùn)算，創(chuàng)立了微積分學(xué)。這新發(fā)現(xiàn)、新方法的重要性使當(dāng)時(shí)的知識(shí)界深感震驚，因而出現(xiàn)了一門嶄新的數(shù)學(xué)分支：數(shù)學(xué)分析。這一學(xué)科的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)開展史上翻開了嶄新一頁，譜寫了光芒動(dòng)人的樂章。1〕微積分的開展無限小算法的推廣，在英國(guó)和歐洲大陸國(guó)家是循著不同的路線進(jìn)展的。不列顛的數(shù)學(xué)家們?cè)趧?、牛津、倫敦和愛丁堡等著名的大學(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，他們中的優(yōu)秀代表有泰勒〔B.Taylor〕、麥克勞林〔C.Maclaurin〕、棣莫弗〔A.deMoivre〕、斯特林〔J.Stirling〕等。泰勒〔1685_1731〕做過英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書。他在1715年出版的"正的和反的增量方法"一書中，述了他早在1712年就已獲得的著名定理其中v為獨(dú)立變量z的增量，和為流數(shù)。泰勒假定z隨時(shí)間均勻變化，故為常數(shù)，從而上述公式相當(dāng)于現(xiàn)代形式的"泰勒公式〞：。泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)成為可能，是微積分進(jìn)一步開展的有力武器。但泰勒對(duì)該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性。泰勒公式在x=0時(shí)的特殊情形后來被愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書中一直把x=0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)稱為"麥克勞林級(jí)數(shù)〞。麥克勞林〔1698_1746〕是牛頓微積分學(xué)說的竭力維護(hù)者，他在這方面的代表性著作"流數(shù)論"，以純熟卻難讀的幾何語言論證流數(shù)方法，試圖從"假設(shè)干無例外的原那么〞出發(fā)嚴(yán)密推演牛頓的流數(shù)論，這是使微各分形式化的努力，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功。"流數(shù)論"中還包括有麥克勞林關(guān)于旋轉(zhuǎn)可恥橢球體的引力定理，證明了兩個(gè)共焦點(diǎn)的橢球體對(duì)其軸或赤道上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力與它們的體積成正比。麥克勞林之后，英國(guó)數(shù)學(xué)陷入了長(zhǎng)期停滯的狀態(tài)。微積分創(chuàng)造權(quán)的爭(zhēng)論滋長(zhǎng)了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說中弱點(diǎn)的束縛。與此相對(duì)照，在英吉利海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動(dòng)下蓬勃開展起來。2〕積分技術(shù)與橢圓積分18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅開展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠(yuǎn)的新發(fā)現(xiàn)。在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯。當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家考慮無理函數(shù)的積分時(shí)，他們就在自己面前翻開了一片新天地，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用的初等函數(shù)來表示。例如雅各布?伯努利在求雙紐線〔在極坐標(biāo)下方程為〕弧長(zhǎng)時(shí)，得到弧長(zhǎng)積分。在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算那么引導(dǎo)到積分。歐拉在1774年處理彈性問題時(shí)也得到積分。所有這些積分都屬于后來所說的"橢圓積分〞的疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)〔如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等〕表示出來。橢圓積分的一般形式是。勒讓德后來將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種根本形式。在18世紀(jì)，法尼亞諾、歐拉、拉格朗日和勒讓德等還就特殊類型的橢圓積分積累了大量結(jié)果。對(duì)橢圓積分的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比分別獨(dú)立地從反演的角度開展為深刻的橢圓函數(shù)理論。微積分開展歷程〔三〕3〕牛頓的"流數(shù)術(shù)〞牛頓〔IsaacNewton,1642——1727〕于伽利略去世那年——1642年〔儒略歷〕的圣誕出生于英格蘭肯郡伍爾索普村一個(gè)農(nóng)民家庭，是遺腹子，且早產(chǎn)，生后勉強(qiáng)存活。少年牛頓不是神童成績(jī)并不突出，但熱愛讀書與制作玩具。17歲時(shí)，牛頓被母親從他就讀的格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)，但在牛頓的舅父W.埃斯庫(kù)和格蘭瑟姆中學(xué)校長(zhǎng)史托克思的竭力勸說下，牛頓的母親在九個(gè)月后又允許牛頓返校學(xué)習(xí)。史托克思校長(zhǎng)的勸說辭中，有一句話可以說是科學(xué)史上最幸運(yùn)的預(yù)言，他對(duì)牛頓的母親說："在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒這樣一位天才，對(duì)世界來說將是多么巨大的損失！〞牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時(shí)鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的"幾何學(xué)"和沃利斯的"無窮算術(shù)"對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。流數(shù)術(shù)的初建牛頓對(duì)微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒"幾何學(xué)"，對(duì)笛卡兒求切線的"圓法〞發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。說在此時(shí)，牛頓首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月創(chuàng)造"正流數(shù)術(shù)〞〔微分法〕，次年5月又建立了"反流數(shù)術(shù)〞〔積分法〕。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以"流數(shù)簡(jiǎn)論"〔TractonFluxions〕著稱，當(dāng)時(shí)雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱。"流數(shù)簡(jiǎn)論"〔以下簡(jiǎn)稱"簡(jiǎn)論"〕是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。"流數(shù)簡(jiǎn)論"反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景。該文事實(shí)上以速度形式引進(jìn)了"流數(shù)〞〔即微商〕概念，雖然沒有使用"流數(shù)〞這一術(shù)語。牛頓在"簡(jiǎn)論"中提出微積分的根本問題如下：〔a〕設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體A，B，C，…在同一時(shí)刻描畫線段x，y，z，…。表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度p，q，r，…的關(guān)系?！瞓〕表示線段x和運(yùn)動(dòng)速度p、q之比的關(guān)系方程式，求另一線段y。牛頓對(duì)多項(xiàng)式情形給出〔a〕的解法。以下舉例說明牛頓的解法。方程，牛頓分別以和代換方程中的x和y，然后利用二項(xiàng)式定理，展開得消去和為零的項(xiàng)，得，以o除之，得這時(shí)牛頓指出"其中含o的那些項(xiàng)為無限小〞，略去這些無限小，得即所求的速度p與q的關(guān)系。牛頓對(duì)所有的多項(xiàng)式給出了標(biāo)準(zhǔn)的算法，即對(duì)多項(xiàng)式，問題〔a〕的解為對(duì)于問題〔b〕，牛頓的解法實(shí)際上是問題〔a〕的解的逆運(yùn)算，并且也是逐步列出了標(biāo)準(zhǔn)算法。特別重要的是，"簡(jiǎn)論"中討論了如何借助于這種逆運(yùn)算來求面積，從而建立了所謂"微積分根本定理〞。牛頓在"簡(jiǎn)論"中是這樣推導(dǎo)微積分根本定理的：eedacqbyxp=Ifg如上圖，設(shè)ab=x,△abc=y為曲線q=f〔x〕下的面積，作de∥ab⊥ad∥be=p=1。當(dāng)線cbe以單位速度向右移動(dòng)時(shí)，eb掃出面積abed=x，變化率；cb掃出面積△abc=y，變化率，。由此得，這就是說，面積y在點(diǎn)x處的變化率是曲線在該處的q值。這就是微積分根本定理。利用問題〔b〕的解法可求出面積y。作為例子，牛頓算出縱坐標(biāo)為曲線下的面積是；反之，縱坐標(biāo)為的曲線真切線斜率為。當(dāng)然，"簡(jiǎn)論"中對(duì)微積分根本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下的嚴(yán)格證明。牛頓在后來的著作中對(duì)微積分根本定理又給出了不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)的較為清楚的證明。在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓那么從確定面積的變化率入手通過反微分計(jì)算面積。前面講過，面積計(jì)算與求切線問題的互逆關(guān)系，以往雖然也曾被少數(shù)人在特殊場(chǎng)合模糊地指出，但牛頓卻能以足夠的敏銳與能力將這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)律提醒出來，并將其作為建立微積分普遍算法的根底。正如牛頓本人在"流數(shù)簡(jiǎn)論"中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說牛頓創(chuàng)造了微積分。在"流數(shù)簡(jiǎn)論"的其余局部，牛頓將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長(zhǎng)、求積、求引力與引力中心等16類問題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性。流數(shù)術(shù)的開展"流數(shù)簡(jiǎn)論"標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。他在這一年10月中選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的奉獻(xiàn)。但從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改良、完善自己的微積分學(xué)說，先后定成了三篇微積分論文，它們分別是：〔1〕"運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析"〔DeAnalysiperAequationesNumeroTerminorumInfinitas，簡(jiǎn)稱"分析學(xué)"，完成于1669年〕；〔2〕"流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)"〔MethodusFluxionumetSerierumInfinitarum，簡(jiǎn)稱"流數(shù)法"，完成于1671年〕；〔3〕"曲線求積術(shù)"〔TractatusdeQuadraturaCurvarum，簡(jiǎn)稱"求積術(shù)"，完成于1691年〕。這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說的開展過程，并且可以看到，牛頓對(duì)于微積分的根底先后給出了不同的解釋。第一篇"分析學(xué)"是牛頓為了維護(hù)自己在無窮級(jí)數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作。1668年格蘭學(xué)者麥卡托〔N.Mercator〕發(fā)表了對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)的結(jié)果，這促使牛頓公布自己關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的成果。"分析學(xué)"利用這些無窮級(jí)數(shù)來計(jì)算流數(shù)、積分以及解方程等，因此"分析學(xué)"表達(dá)了牛頓的微保健與無窮級(jí)數(shù)嚴(yán)密結(jié)合的特點(diǎn)。關(guān)于微積分本身，"分析學(xué)"有簡(jiǎn)短的說明。論文一開場(chǎng)就表達(dá)了計(jì)算曲線下面積的法那么。設(shè)有表示的曲線，牛頓論證所求面積為。牛頓在論證中取x而不是時(shí)間t的無限小增量"瞬〞為o，以代x，代z，那么用二項(xiàng)式定理展示后以o除兩邊，略去o的項(xiàng)，即得。反過來就知曲線下的面積是。牛頓接著給出了另一條法那么：假設(shè)y值是假設(shè)干項(xiàng)之和，那么所求面積就是由其中每一項(xiàng)得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項(xiàng)積分定理。由上述可知，牛頓"分析學(xué)"以無限小增量"瞬〞為根本概念，但卻回避了"流數(shù)簡(jiǎn)論"中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將"瞬〞看成是靜止的無限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。第二篇論文"流數(shù)法"可以看作是1666年"流數(shù)簡(jiǎn)論"的直接開展。牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原形的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為"流數(shù)〞〔fluxion〕。牛頓后來對(duì)"流數(shù)法"中的流數(shù)概念作了如下解釋："我把時(shí)間看作是連續(xù)的流動(dòng)或增長(zhǎng)，而其他量那么隨著時(shí)間而連續(xù)增長(zhǎng)，我從時(shí)間的流動(dòng)性出發(fā)，把所有其他量的增長(zhǎng)速度稱之為流數(shù)，又從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間產(chǎn)生的局部稱之為瞬〞。"流數(shù)法"以清楚明白的流數(shù)語言表述微積分的根本問題為："表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系〞。流數(shù)語言的使用，使牛頓的微積分算法在應(yīng)用方面獲得了更大的成功。無論是"分析學(xué)"還是"流數(shù)法"都是以無限小量作為微積分算法的誰根底，所不同的是：在"流數(shù)法"中變量x，y的瞬，隨時(shí)間瞬o而連續(xù)變化；而在"分析學(xué)"中變量x，y的瞬那么是某種不依賴于時(shí)間的固定的無限小微元。大約到17世紀(jì)80年代中，牛頓關(guān)于微積分的根底在觀念上發(fā)生了新的變革，這就是"首末比方法〞的提出。首末比法最先以幾何形式在"自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理"一書中發(fā)布，其詳盡的分析表述那么是在其第三篇微積分論文"曲線求積術(shù)"中給出的。"曲線求積術(shù)"是牛頓最成熟的微積分著述。牛頓在其中改變了對(duì)無限小量的依賴并批評(píng)自己過去那種隨意忽略無限小瞬o的做法："在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略。……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的局部組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述〞。在此根底上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫道："流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔生成的流量的增量比。確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比〞。牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比。他舉例說明自己的新方法如下：為了求的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)椋敲醋優(yōu)?，?gòu)成兩變化的"最初比〞：，然后"設(shè)增量o消逝，它們的最終比就是〞，這也是x的流數(shù)與的流數(shù)之比。這就是所謂"首末比方法〞，它相當(dāng)于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)。牛頓在"曲線求積術(shù)"中還第一次引進(jìn)了后來被普遍采用的流數(shù)記號(hào)：，，表示變量x，y，z的一次流數(shù)〔導(dǎo)數(shù)〕，，，表示二次流數(shù)，，，表示三次流數(shù)，等等。牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度慎重。除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)菱都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來發(fā)表。上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇"曲線求積術(shù)"，1704年載于"光學(xué)"附錄；"分析學(xué)"發(fā)表于1711年；而"流數(shù)法"那么遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世。牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著"自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理"〔Philosophiaenaturalisprincipiamathematica，以下簡(jiǎn)稱"原理"〕之中，因此"原理"也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。微積分開展歷程〔四〕"〈原理"與微積分"原理"中并沒有明顯的分析形式的微積分，整部著作是以綜合幾何的語言寫成的。但牛頓在第一卷第1章開頭局部通過一組引理〔共11條〕建立了"首末比法〞，這正是他后來在"曲線求積術(shù)"中作為流數(shù)運(yùn)算根底而重新提出的方法，不過在"原理"中，首末比方法本身也強(qiáng)烈地訴諸幾何直觀。第一卷引理1："量以及量之比，假設(shè)在一有限時(shí)間連續(xù)趨于相等，并在該時(shí)間完畢前相互接近且其差可小于任意給定量，那么它們最終也變?yōu)橄嗟权?，可以看作是初步的極限定義。在隨后的引理中牛頓便借極限過程來定義曲邊形的面積：如圖6.6，在曲線acE與直線Aa，AE所圍成的圖形AacE中接任意個(gè)數(shù)的矩形Ab，Bc，Cd，…，同時(shí)作矯形akbl，bLcm，cMdn，…。牛頓首先設(shè)所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，證明了"當(dāng)這些矩形的寬無限縮小而它們的個(gè)數(shù)無限增加時(shí)，……接形AkbLcMdD，外接形AalbmdoE與曲線abcdE相互的最終比是等量比〞。然后指出當(dāng)矩形之寬互不相等〔如圖設(shè)最大寬度為AF〕但都無限縮小時(shí)，上述最終比仍是等量比。牛頓還證明書了：給定曲線弧以及相應(yīng)的弦和切線段，當(dāng)點(diǎn)A與B"相接近而最終相合時(shí)〞，"弦、弧及切線間相互的最終比為等量比〞，等等。MdoMdoABFCDEaKLcnlf牛頓預(yù)見到首末比方法可能遭受的批評(píng)，并意識(shí)到爭(zhēng)論的焦點(diǎn)將在于"最終比〞概念，于是在前述引理的評(píng)注中對(duì)什么是"最終比〞作了進(jìn)一步說明："消逝量的最終比實(shí)際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限。它們無限接近這個(gè)極限，其差可小于任意給定的數(shù)，但卻永遠(yuǎn)不會(huì)超過它，并且在這些量無限減小之間也不會(huì)到達(dá)它。〞盡管"原理"表現(xiàn)出以極限方法作為微積分根底的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無限小觀點(diǎn)。在第二卷第2章中，人們可以看到無限小瞬方法的述："任何生成量〔genitum〕的瞬，等于生成經(jīng)的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項(xiàng)相加。〞此處所謂"生成量〞，即函數(shù)概念的雛形。牛頓說明這類量的例子有"積、商、根、……〞等，并把它們看成是"變化的和不定的〞；生成量的瞬那么是指函數(shù)的微分。因此上述述實(shí)際上相當(dāng)于一些微分運(yùn)算法那么。例如牛頓分別以a，b，c，…表示任意量A，B，C，…的瞬，他證明了AB的瞬等于，的瞬等于，的瞬等于，一般冪的瞬等于，…等等。"原理"在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保存了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議。實(shí)際上，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分根底給出不同解釋，說明了他對(duì)微積分根底所存在的困難的深邃洞察和慎重態(tài)度。"原理"被愛因斯坦盛贊為"無比輝煌的演繹成就〞。全書從三條根本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬有引力定律等在有一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。"原理"中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來表達(dá)、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多數(shù)命題是依靠使用了"新分析法〞，然后再"綜合地證明〞。事實(shí)上，我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到，牛頓創(chuàng)造微積分主要是依靠了高度的歸納算法的能力。并沒有多少綜合幾何的背景。他1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時(shí)，因歐氏幾何成績(jī)不佳差一點(diǎn)未能通過。而幾乎是在同時(shí)，他開場(chǎng)研究微積分并在不到一年的時(shí)間里就做了郵根本發(fā)現(xiàn)。牛頓后來才重新鉆研了巴羅譯注的幾何"原本"，彌補(bǔ)了這方面的缺乏，其結(jié)果是"原理"中的力學(xué)綜合體系。然而就數(shù)學(xué)而言，牛頓在"原理"中給微積分披上的幾何外衣，使他的流數(shù)術(shù)顯得僵硬呆板。固守牛頓的幾何形式，在18世紀(jì)阻礙了英國(guó)數(shù)學(xué)的開展。牛頓的科學(xué)奉獻(xiàn)是多方面的。在數(shù)學(xué)上，除了微積分，他的代數(shù)名著"普遍算術(shù)"，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對(duì)出現(xiàn)、笛卡兒符號(hào)法那么的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；他的幾何杰作"三次曲線枚舉"，首創(chuàng)對(duì)三次曲線的整體分類研究，是解析幾何開展新的一頁；在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓迭代法〔牛頓——拉弗森公式〕、牛頓——格列高里公式、牛頓——斯特林公式、……；牛頓還是幾何概率的最早研究者。牛頓是一位科學(xué)巨人，但他有一次在談到自己的光學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)卻說："如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏熄?。還有一次，當(dāng)別人問他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的答復(fù)是："心里總是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明！〞據(jù)他的助手回憶，牛頓往往一天伏案18小時(shí)左右，仆人常常發(fā)現(xiàn)送到書房的午飯和晚飯一口未動(dòng)。偶爾去食堂用餐，出門便陷入思考，兜個(gè)圈子又回到住所.惠威爾〔W.Whewell〕在"歸納科學(xué)史"中寫道："除了頑強(qiáng)的毅力和失眠的習(xí)慣，牛頓不成認(rèn)自己與常人有什么區(qū)別〞?？赡苁怯捎谠缒杲?jīng)歷所致，牛頓性格沉郁向，不善在公眾場(chǎng)合表述思想，但這卻并沒有影響他后來出任倫敦造幣局局長(zhǎng)和皇家學(xué)會(huì)連選連任，領(lǐng)導(dǎo)這個(gè)最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)長(zhǎng)達(dá)四分之一世紀(jì)。牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家。牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來的。家喻戶曉的蘋果落地與萬有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰并被后者寫進(jìn)"牛頓哲學(xué)原理"一書中。牛頓1727年因患肺炎與痛風(fēng)而逝世，葬于威斯特敏斯特大教堂。當(dāng)時(shí)參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國(guó)的大人物爭(zhēng)抬牛頓的靈柩而無限感慨。劍橋三一學(xué)院教堂大廳立有牛頓全身雕像。牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價(jià)保存了牛頓的手稿?，F(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)局部就達(dá)5000多頁。微積分開展歷程〔五〕6〕牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們時(shí)代的巨人。就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績(jī)是相當(dāng)?shù)?。他們都使微積分成為能普遍