數(shù)學(xué)建模馬氏鏈模型省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第十二章馬氏鏈模型12.1健康與疾病12.2鋼琴銷售存貯策略12.3基因遺傳12.4等級結(jié)構(gòu)12.5

資金流通第1頁馬氏鏈模型

系統(tǒng)在每個時期所處狀態(tài)是隨機.

從一時期到下時期狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移.

下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率.已知現(xiàn)在，未來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類主要隨機動態(tài)系統(tǒng)(過程)模型.馬氏鏈(MarkovChain)——時間、狀態(tài)均為離散隨機轉(zhuǎn)移過程第2頁經(jīng)過有實際背景例子介紹馬氏鏈基本概念和性質(zhì).例1.

人健康情況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特定年紀段人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)概率為0.8,而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)概率為0.7.12.1健康與疾病

人健康狀態(tài)伴隨時間推移會隨機地發(fā)生轉(zhuǎn)變.保險企業(yè)要對投保人未來健康狀態(tài)作出預(yù)計,以制訂保險金和理賠金數(shù)額

.若某人投保時健康,問10年后他仍處于健康狀態(tài)概率.第3頁Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,

…無關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移含有無后效性

0.80.20.30.712第4頁n0a2(n)0a1(n)1設(shè)投保時健康給定a(0),預(yù)測a(n),n=1,2,…設(shè)投保時疾病a2(n)1a1(n)0n

時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值,穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān).3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.230.223…

7/9

2/9

狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移10.80.220.780.220.80.20.30.712第5頁1230.10.0210.80.250.180.65例2.

健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1第6頁n0123

a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285

設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測a(n),n=1,2,…

不論初始狀態(tài)怎樣，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對于n>k,a1(n)=0，

a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài).狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移001∞50

0.1293

0.0326

0.8381

第7頁馬氏鏈基本方程基本方程第8頁馬氏鏈兩個主要類型1.正則鏈

~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率抵達另外任一狀態(tài)(如例1).w~穩(wěn)態(tài)概率第9頁馬氏鏈兩個主要類型2.吸收鏈

~存在吸收狀態(tài)（一旦抵達就不會離開狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率抵達吸收狀態(tài)(如例2).有r個吸收狀態(tài)吸收鏈轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前平均轉(zhuǎn)移次數(shù).第10頁12.2鋼琴銷售存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店庫存量不大以免積壓資金.

一家商店依據(jù)經(jīng)驗預(yù)計，平均每七天鋼琴需求為1架.存貯策略：每七天末檢驗庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；不然，不訂購.

預(yù)計在這種策略下失去銷售機會可能性有多大?

以及每七天平均銷售量是多少?背景與問題第11頁問題分析

用戶到來相互獨立，需求量近似服從泊松分布，其參數(shù)由需求均值為每七天1架確定，由此計算需求概率.存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架

周末庫存量可能是0,1,2,3，周初庫存量可能是1,2,3.用馬氏鏈描述不一樣需求造成周初庫存狀態(tài)改變.動態(tài)過程中每七天銷售量不一樣，失去銷售機會（需求超出庫存）概率不一樣.

可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會概率和每七天平均銷售量.

第12頁模型假設(shè)鋼琴每七天需求量服從泊松分布，平均每七天1架.存貯策略：當(dāng)周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；不然，不訂購.以每七天初庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移含有沒有后效性.在穩(wěn)態(tài)情況下計算失去銷售機會概率和每七天平均銷售量,作為該存貯策略評價指標(biāo).第13頁模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1泊松分布

Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

……第14頁模型建立

狀態(tài)概率

馬氏鏈基本方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第n周初庫存量Sn=i概率n

,狀態(tài)概率

第15頁第n周失去銷售機會概率

n充分大時

模型求解

從長久看，失去銷售機會可能性大約10%.1.預(yù)計失去銷售機會可能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019存貯策略評價指標(biāo)0.105第16頁模型求解

第n周平均售量從長久看，每七天平均銷售量為

0.857(架)

n充分大時

需求不超出存量,需求被售需求超出存量,存量被售2.預(yù)計每七天平均銷售量存貯策略評價指標(biāo)每七天平均需求量1架0.857第17頁敏感性分析

當(dāng)平均需求在每七天1(架)附近波動時，最終止果有多大改變。

設(shè)Dn服從均值

泊松分布

狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機會概率

當(dāng)平均需求(=1.0)增加(或降低)10%時，失去銷售機會概率P將增加(或降低)約15%.第18頁12.3基因遺傳背景

生物外部表征由內(nèi)部對應(yīng)基因決定.

基因分優(yōu)勢基因d

和劣勢基因r

兩種.

每種外部表征由兩個基因決定,每個基因能夠是d,r中任一個.形成3種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R.

基因類型為優(yōu)種和混種,外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種,外部表征呈劣勢.

生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母各一個基因，形成它兩個基因.

父母基因類型決定后代基因類型概率.完全優(yōu)勢基因遺傳第19頁父母基因類型決定后代各種基因類型概率父母基因類型組合后代各種基因類型概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳P(D

DH)=P(dd

dd,dr)=P(d

dd)P(d

dr)P(R

HH)=P(rr

dr,dr)=P(r

dr)P(r

dr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4第20頁隨機繁殖

設(shè)群體中雄性、雌性百分比相等，基因類型分布相同(記作D:H:R).

每一雄性個體以D:H:R概率與一雌性個體交配，其后代隨機地繼承它們各一個基因.

設(shè)初始一代基因類型百分比D:H:R=a:2b:c

（a+2b+c=1),記p=a+b,q=b+c,

則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因百分比d:r=p:q(p+q=1).假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3~第n代一個體屬于D,H,R狀態(tài)概率ai(n)~第n代一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)概率.討論基因類型演變情況第21頁基因百分比d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機繁殖第22頁馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H,優(yōu)勢表征——綠色，基因類型為R,劣勢表征——黃色.解釋“豆科植物莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機繁殖第23頁近親繁殖在一對父母大量后代中,雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代基因類型演變過程。狀態(tài)定義為配正確基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6~配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型第24頁I0RQ狀態(tài)1(DD),2(RR)是吸收態(tài)，馬氏鏈?zhǔn)俏真湣徽摮跏荚鯓?，?jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收.純種(優(yōu)種和劣種)一些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約5~6代就需重新選種.近親繁殖第25頁12.4等級結(jié)構(gòu)社會系統(tǒng)中需要適當(dāng)且穩(wěn)定等級結(jié)構(gòu).

描述等級結(jié)構(gòu)演變過程，預(yù)測未來結(jié)構(gòu).

確定為到達某個理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取策略.引發(fā)等級結(jié)構(gòu)改變原因：

系統(tǒng)內(nèi)部等級間轉(zhuǎn)移：提升和降級.

系統(tǒng)內(nèi)外交流：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問題(將轉(zhuǎn)移百分比視為概率).第26頁基本模型a(t)~等級結(jié)構(gòu)等級i=1,2,,k（如助教、講師、教授）數(shù)量分布n(t)=(n1(t),n2(t),,nk(t))ni(t)~t年屬于等級i人數(shù)，t=0,1,

百分比分布

a(t)=(a1(t),a2(t),,ak(t))轉(zhuǎn)移矩陣Q={pij}kk,pij是每年從i轉(zhuǎn)至j百分比第27頁基本模型ri~每年調(diào)入i百分比(在總調(diào)入人數(shù)中)pij~每年從i轉(zhuǎn)至j百分比第28頁基本模型~基本模型

第29頁基本模型等級結(jié)構(gòu)a(t)~狀態(tài)概率P~轉(zhuǎn)移概率矩陣第30頁用調(diào)入百分比進行穩(wěn)定控制問題：給定Q,哪些等級結(jié)構(gòu)能夠用適當(dāng)調(diào)入百分比保持不變a為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)第31頁用調(diào)入百分比進行穩(wěn)定控制求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*B(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A例大學(xué)教師(助教、講師、教授)等級i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移百分比可行域A穩(wěn)定域B第32頁用調(diào)入百分比進行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域B結(jié)構(gòu)尋求a

aQ另一個形式第33頁用調(diào)入百分比進行穩(wěn)定控制穩(wěn)定域B是k維空間中以si

為頂點凸多面體研究穩(wěn)定域B結(jié)構(gòu)第34頁用調(diào)入百分比進行穩(wěn)定控制例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S1S2S3B穩(wěn)定域B是以si為頂點三角形第35頁用調(diào)入百分比進行動態(tài)調(diào)整問題：給定Q和初始結(jié)構(gòu)a(0),求一系列調(diào)入百分比r,使盡快到達或靠近理想結(jié)構(gòu)逐步法：對于Q和a(0),求r使a(1)盡可能靠近a*,再將a(1)作為新a(0),繼續(xù)下去.模型第36頁例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)a(0)0.2860.286a*a(1)用調(diào)入百分比進行動態(tài)調(diào)整求r使a(1)盡可能靠近a*)428.0,286.0,286.0(),1,0,0()0(*==aa設(shè)第37頁7423560.6390.36100.1650.1650.6700.7470.25300.2070.2070.5860.8270.17300.2350.2350.5310.8830.11700.2530.2530.4950.9220.07800.2640.2640.4720.9490.0510r(t),a(t)計算結(jié)果a(7)已靠近a*觀察r(t)特點0.2720.2720.457用調(diào)入百分比進行動態(tài)調(diào)整10.50.500.10.10.8r(t)a(t)t)428.0,286.0,286.0(),1,0,0()0(*==aa設(shè)第38頁等級結(jié)構(gòu)

等級結(jié)構(gòu)演變、預(yù)測和控制在社會系統(tǒng)中有廣泛應(yīng)用.

討論總?cè)藬?shù)和內(nèi)部轉(zhuǎn)移百分比不變情況下,用調(diào)入百分比控制級結(jié)構(gòu)改變.

建立等級結(jié)構(gòu)演變過程基本方程,預(yù)測未來結(jié)構(gòu).

討論各種推廣情況：總?cè)藬?shù)按照一定百分比增加；調(diào)入百分比有界；調(diào)入百分比固定而用內(nèi)部轉(zhuǎn)移百分比控制級結(jié)構(gòu)改變.第39頁12.5

資金流通背景

各地域之間資金每年按一定百分比相互流通.

各地域每年有資金流出并不再回來.

銀行計劃每年向各地域投放或收回一定資金,使各地域資金分布趨向穩(wěn)定.

建立模型描述各地域資金分布改變規(guī)律.

討論什么情況下分布趨向穩(wěn)定.

確定銀行應(yīng)投放或收回多少資金.問題第40頁問題分析資金流通與“等級結(jié)構(gòu)”進行類比等級結(jié)構(gòu)

地域間資金流通

等級間組員轉(zhuǎn)移

資金流出地域

組員退出系統(tǒng)

銀行向地域投放資金

從外部向系統(tǒng)調(diào)入組員銀行投放資金可為負值（收回資金）調(diào)入組員數(shù)量不能為負值各地域資金總和每年改變系統(tǒng)總?cè)藬?shù)每年不變相同點不一樣點第41頁基本模型資金分布c(t)=(c1(t),c2(t),,ck(t))，ci(t)~第t年地域i資金，t=0,1,2,

，i=1,2,,k資金投放