十一講優(yōu)化與數(shù)值積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第十一講優(yōu)化、數(shù)值積分

與常微分方程數(shù)值解9/12/2023第1頁(yè)9/12/20231第十一講優(yōu)化、數(shù)值積分

與常微分方程數(shù)值解11.1無(wú)約束優(yōu)化11.2約束線性優(yōu)化11.3二次規(guī)劃11.4非線性方程求解11.5數(shù)值積分理論和方法11.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)11.7常微分方程數(shù)值解第2頁(yè)9/12/2023211.1無(wú)約束優(yōu)化形如：minf(x),x=(x1,……,xn)T

優(yōu)化問題常稱為無(wú)約束線性規(guī)劃，實(shí)際上是多元函數(shù)無(wú)條件極值問題，極值點(diǎn)是局部最優(yōu)解，全局最優(yōu)解只能從局部最優(yōu)解中比較得到，以下所謂最優(yōu)解均指局部最優(yōu)解第3頁(yè)9/12/2023311.1無(wú)約束優(yōu)化1.fminbnd功效：計(jì)算非線性一元函數(shù)最小值。格式：[X,FVAL]=fminbnd(‘fun’,x1,x2)例：計(jì)算函數(shù)f(x)=(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))最小值和最小值點(diǎn)，-5<=x<=5第4頁(yè)9/12/2023411.1無(wú)約束優(yōu)化>>fun='(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))';

>>ezplot(fun)

>>[x,fval,exitflag]=fminbnd(fun,-5,5)

x=

-3.3112

fval=

-0.9594

exitflag=

1第5頁(yè)9/12/2023511.1無(wú)約束優(yōu)化2.fminsearch功效：計(jì)算多元函數(shù)最小值。格式：X=fminsearch(‘fun’,X0);

[X,fval,exitflag]=fminsearch(...)例：求點(diǎn)(x1,x2)使目標(biāo)函數(shù)f(x)取得最小值：f(x)=sin(x1)+cos(x2)第6頁(yè)9/12/2023611.1無(wú)約束優(yōu)化x0=[0,0];

>>fun='sin(x(1))+cos(x(2))';

>>[x,fval,exitflag]=fminsearch(fun,x0)

x=

-1.57083.1416

fval=

-2.0000

exitflag=

1第7頁(yè)9/12/2023711.2約束線性優(yōu)化約束優(yōu)化即為含有一定條件優(yōu)化問題，其普通形式為若f,gi是線性函數(shù)，則稱此模型為線性規(guī)劃，不然稱為非線性規(guī)劃。第8頁(yè)9/12/2023811.2約束線性優(yōu)化linprog功效：約束線性優(yōu)化。格式：X=linprog(f,A,b,Aeq,beq)X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)這里，由Aeq與beq確定了等式約束，LB，UB確定了x范圍，x0為初值。第9頁(yè)9/12/2023911.2約束線性優(yōu)化例：Min–5x1+4x2+2x3S.t6x1-x2+3x3<=8x1+2x2+4x3<=10-1<=x1<=30<=x2<=2x3>=0

第10頁(yè)9/12/20231011.2約束線性優(yōu)化>clear

>>f=[-542];

>>A=[6-11;124];

>>b=[8;10];

>lb=[-100];

>>ub=[3,2];第11頁(yè)9/12/20231111.2約束線性優(yōu)化>>[x,f]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)

Optimizationterminated.

x=

1.3333

0.0000

0.000

f=

-6.6667

第12頁(yè)9/12/20231211.3二次規(guī)劃對(duì)于非線性規(guī)劃，常見是二次規(guī)劃，其普通模型為：minf(x)=0.5xTHx+cxs.t.AX≤b尤其，當(dāng)H為正定矩陣時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，線性約束下可行域?yàn)橥辜?，此時(shí)稱凸二次規(guī)劃。第13頁(yè)9/12/20231311.3二次規(guī)劃1.quadprog功效：求解二次規(guī)劃問題格式：X=quadprog(H,f,A,b)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)第14頁(yè)9/12/20231411.3二次規(guī)劃例：第15頁(yè)9/12/20231511.3二次規(guī)劃h=[1-1;-12];>>c=[-2;-6];>>a=[11;-12;21];>>b=[2;2;3];>>lb=[00];>>[x,f]=quadprog(h,c,a,b,[],[],lb)x=0.66671.3333f=-8.2222第16頁(yè)9/12/20231611.4非線性方程求解1.fzero功效：求非線性方程近似解

格式：x=fzero(‘f’,x0)[X,FVAL]=fzero(‘f’,...)例：>>[x,f]=fzero('sin',2)x=3.1416f=1.2246e-016第17頁(yè)9/12/20231711.4非線性方程求解2.fsolve功效：求非線性方程近似解

格式：x=fsolve(‘f’,x0)[X,FVAL]=fsolve(‘f’,X0,...)例：>>[x,f]=fsolve('cos(x)+x',1)x=-0.7391f=-2.8460e-010第18頁(yè)9/12/20231811.5數(shù)值積分理論和方法第19頁(yè)9/12/20231911.5數(shù)值積分理論和方法第20頁(yè)9/12/20232011.5數(shù)值積分理論和方法第21頁(yè)9/12/20232111.5數(shù)值積分理論和方法第22頁(yè)9/12/20232211.5數(shù)值積分理論和方法第23頁(yè)9/12/20232311.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)1.一元函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)1quad、quadl功效數(shù)值定積分，自適應(yīng)Simpleson積分法。格式

q=quad(fun,a,b)%近似地從a到b計(jì)算函數(shù)fun數(shù)值積分，誤差為10-6。若給fun輸入向量x，應(yīng)返回向量y，即fun是一單值函數(shù)。第24頁(yè)9/12/20232411.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)q=quad(fun,a,b,tol)%用指定絕對(duì)誤差tol代替缺省誤差。tol越大，函數(shù)計(jì)算次數(shù)越少，速度越快，但結(jié)果精度變小。q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)%將可選參數(shù)p1,p2,…等傳遞給函數(shù)fun(x,p1,p2,…)，再作數(shù)值積分。若tol=[]或trace=[]，則用缺省值進(jìn)行計(jì)算。第25頁(yè)9/12/20232511.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)[q,n]=quad(fun,a,b,…)%同時(shí)返回函數(shù)計(jì)算次數(shù)n…=quadl(fun,a,b,…)%用高精度進(jìn)行計(jì)算，效率可能比quad更加好。例2-40>>fun=inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);>>Q1=quad(fun,0,2)%Q1=3.7224>>Q2=quadl(fun,0,2)%Q2=3.7224第26頁(yè)9/12/20232611.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)2trapz功效梯形法數(shù)值積分格式T=trapz(Y)%用等距梯形法近似計(jì)算Y積分。若Y是一向量，則trapz(Y)為Y積分；若Y是一矩陣，則trapz(Y)為Y每一列積分。第27頁(yè)9/12/20232711.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)T=trapz(X,Y)%用梯形法計(jì)算Y在X點(diǎn)上積分。若X為一列向量，Y為矩陣，且size(Y,1)=length(X)，則對(duì)Y每一列積分。第28頁(yè)9/12/20232811.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)2二元函數(shù)重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算函數(shù)dblquad功效矩形區(qū)域上二重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算格式q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

%調(diào)用函數(shù)quad在區(qū)域[xmin,xmax,ymin,ymax]上計(jì)算二元函數(shù)z=f(x,y)二重積分。第29頁(yè)9/12/20232911.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)

用指定精度tol代替缺省精度10-6，再進(jìn)行計(jì)算。q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)%用指定算法method代替缺省算法quad。method取值有@quadl。第30頁(yè)9/12/20233011.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,…)%將可選參數(shù)p1,p2,..等傳遞給函數(shù)fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，則使用缺省精度和算法quad。如：>>fun=inline(’y./sin(x)+x.*exp(y)’);>>Q=dblquad(fun,1,3,5,7)計(jì)算結(jié)果為：Q=3.8319e+003第31頁(yè)9/12/20233111.6數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)%用指定算法method代替缺省算法。method取值有缺省算法或用戶指定、與缺省命令有相同調(diào)用次序函數(shù)句柄。q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,…)%將可選參數(shù)p1,p2,..等傳遞給函數(shù)fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，則使用缺省精度和算法。第32頁(yè)9/12/20233211.7常微分方程數(shù)值解函數(shù)ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb功效常微分方程（ODE）組初值問題數(shù)值解參數(shù)說(shuō)明：solver為命令ode45、de23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。Odefun為顯式常微分方程y’=f(t,y)。第33頁(yè)9/12/20233311.7常微分方程數(shù)值解Tspan積分區(qū)間（即求解區(qū)間）向量tspan=[t0,tf]。要取得問題在其它指定時(shí)間點(diǎn)t0,t1,t2,…上解，則令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是單調(diào)）。Y0包含初始條件向量。Options用命令odeset設(shè)置可選積分參數(shù)。P1,p2,…傳遞給函數(shù)odefun可選參數(shù)。第34頁(yè)9/12/20233411.7常微分方程數(shù)值解格式[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)%在區(qū)間tspan=[t0,tf]上，從t0到tf，用初始條件y0求解顯式微分方程y’=f(t,y)。對(duì)于標(biāo)量t與列向量y，函數(shù)f=odefun(t,y)必須返回一f(t,y)列向量f。解矩陣Y中每一行對(duì)應(yīng)于返回時(shí)間列向量T中一個(gè)時(shí)間點(diǎn)。要取得問題在其它指定時(shí)間點(diǎn)t0,t1,t2,…上解，則令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是單調(diào)）。第35頁(yè)9/12/20233511.7常微分方程數(shù)值解[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)%用參數(shù)options（用命令odeset生成）設(shè)置屬性（代替了缺省積分參數(shù)），再進(jìn)行操作。慣用屬性包含相對(duì)誤差值RelTol（缺省值為1e-3）與絕對(duì)誤差向量AbsTol（缺省值為每一元素為1e-6）。[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2…)

將參數(shù)p1,p2,p3,..等傳遞給函數(shù)odefun，再進(jìn)行計(jì)算。若沒有參數(shù)設(shè)置，則令options=[]。第36頁(yè)9/12/20233611.7常微分方程數(shù)值解1．求解詳細(xì)ODE基本過程：（1）依據(jù)問題所屬學(xué)科中規(guī)律、定律、公式，用微分方程與初始條件進(jìn)行描述。F(y,y’,y’’,…,y(n),t)=0y(0)=y0,y’(0)=y1,…,y(n-1)(0)=yn-1而y=[y;y(1);y(2);…,y(m-1)]，n與m能夠不等第37頁(yè)9/12/20233711.7常微分方程數(shù)值解（2）利用數(shù)學(xué)中變量替換：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),…,y2=y’,y1=y，把高階（大于2階）方程（組）寫成一階微分方程組：，

第38頁(yè)9/12/20233811.7常微分方程數(shù)值解（3）依據(jù)（1）與（2）結(jié)果，編寫能計(jì)算導(dǎo)數(shù)M-函數(shù)文件odefile。（4）將文件odefile與初始條件傳遞給求解器Solver中一個(gè)，運(yùn)行后就可得到ODE、在指定時(shí)間區(qū)間上解列向量y（其中包含y及不一樣階導(dǎo)數(shù)）。2．求解器Solver與方程組關(guān)系表見下表

第39頁(yè)9/12/202339函數(shù)指令含義函數(shù)含義求解器Solverode23普通2-3階法解ODEodefile包含ODE文件ode23s低階法解剛性O(shè)DE選項(xiàng)odeset創(chuàng)建、更改Solve