北京京工中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

北京京工中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等比數(shù)列中＞0,且()

A．

B．

C．

D．1004×1005參考答案：B2.過(guò)點(diǎn)P（－3，3）作圓的切線，則切線方程是

（

）

A．4x+3y+3=0

B．3x+4y－3=0

C．4x－3y+21=0

D．3x－4y+21=0參考答案：答案:C3.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，則(

)A.5

B.6

C.7

D.8參考答案：C5.函數(shù)定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則（

）

A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.

D.是奇函數(shù)參考答案：D略6.如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是（）A．1﹣ B． C． D．1﹣參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由題意，直接看頂部形狀，及正方形內(nèi)切一個(gè)圓，正方形面積為4，圓為π，即可求出“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率．【解答】解：由題意，正方形的面積為22=4．圓的面積為π．所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．7.如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B．8π C．9π D．參考答案：D【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據(jù)三視圖的特點(diǎn)找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半徑，即可求出該幾何體外接球的表面積．【解答】解：該幾何體為三棱錐A﹣BCD，設(shè)球心為O，O1，O2分別為△BCD和△ABD的外心，依題意，∴球的半徑，∴該幾何體外接球的表面積為．故選：D．8.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（

）第一象限

第二象限第三象限

第四象限

參考答案：A9.（2015?雅安模擬）設(shè)α為銳角，若cos=，則sin的值為（） A． B． C． ﹣ D． ﹣參考答案：B考點(diǎn)： 二倍角的正弦；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式即可得出．解答： 解：∵α為銳角，cos=，∴∈，∴==．則sin===．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10.四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則PA的長(zhǎng)為（）A.3 B.2 C.1 D.參考答案：C【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE,可得O為球心，由該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，可得PA的值.【詳解】解：連接AC、BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O為球心，設(shè)球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體外接球的相關(guān)知識(shí)及球的體積公式，得出球心的位置是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”圖案，如圖所示，設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為x，y，剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象是______(填序號(hào))．

參考答案：①

12.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝

．參考答案：．13.若函數(shù)f（x）=|2x﹣2|﹣b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是．參考答案：0＜b＜2【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】由函數(shù)f（x）=|2x﹣2|﹣b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得|2x﹣2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可得函數(shù)y=|2x﹣2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍【解答】解：由函數(shù)f（x）=|2x﹣2|﹣b有兩個(gè)零點(diǎn)，可得|2x﹣2|=b有兩個(gè)零點(diǎn)，從而可得函數(shù)y=|2x﹣2|函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，0＜b＜2時(shí)符合條件，故答案為：0＜b＜214.已知.則的夾角為_(kāi)______________.參考答案：120°15.已知函數(shù)滿足，且時(shí)，,則函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

.參考答案：416.某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表（每名同學(xué)只參加一個(gè)小組）（單位：人）

籃球組書畫組樂(lè)器組高一4530高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則的值為

.參考答案：30由題意知，，解得。17.已知直線過(guò)點(diǎn),且有一方向向量與向量垂直,則的方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在一次水下考古活動(dòng)中，某一潛水員需潛水50米到水底進(jìn)行考古作業(yè)．其用氧量包含一下三個(gè)方面：①下潛平均速度為x米/分鐘，每分鐘用氧量為x2升；②水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少10分鐘最多20分鐘，每分鐘用氧量為0.3升；③返回水面時(shí)，平均速度為x米/分鐘，每分鐘用氧量為0.32升．潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為y升．（1）如果水底作業(yè)時(shí)間是10分鐘，將y表示為x的函數(shù)；（2）若x∈[6，10]，水底作業(yè)時(shí)間為20分鐘，求總用氧量y的取值范圍；（3）若潛水員攜帶氧氣13.5升，請(qǐng)問(wèn)潛水員最多在水下多少分鐘（結(jié)果取整數(shù)）？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）依題意下潛時(shí)間分鐘，返回時(shí)間分鐘，進(jìn)而列式可得結(jié)論；（2）通過(guò)基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=++6在[6，8]上單調(diào)遞減、在[8，10]上單調(diào)遞增，比較當(dāng)x=6、10時(shí)的取值情況即得結(jié)論；（3）潛水員在潛水與返回最少要用8升氧氣，則在水下時(shí)間最長(zhǎng)為≈18.3分鐘．【解答】解：（1）依題意下潛時(shí)間分鐘，返回時(shí)間分鐘，∴y=，整理得y=++3（x＞0）…（2）由（1）同理得y=++6≥14（x∈[6，10]）函數(shù)在x∈[6，8]是減函數(shù)，x∈[8，10]是增函數(shù)，∴x=8時(shí)，ymin=14，x=6時(shí)，y=，x=10，y=＜，∴總用氧量y的取值范圍是[14，]；（3）潛水員在潛水與返回最少要用8升氧氣，則在水下時(shí)間最長(zhǎng)為≈18.3分鐘，所以潛水員最多在水下18分鐘．…19.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點(diǎn)分別為，（從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等），動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線與曲線的另一交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線的方程.參考答案：----------------------8分因?yàn)?所以

略20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到到右頂點(diǎn)的距離為1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出e=，a﹣c=1．由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）存在直線l，使得||=||成立．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），半焦距為c．依題意e=，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）解：存在直線l，使得||=||成立．理由如下：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化簡(jiǎn)得3+4k2＞m2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．若||=||成立，即||2=||2，等價(jià)于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）?，化簡(jiǎn)得7m2=12+12k2．將代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，從而，解得或．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地加以運(yùn)用．21.(本小題滿分13分)（Ⅰ）寫出兩角差的余弦公式cos(α-β)=

，并加以證明；（Ⅱ）并由此推導(dǎo)兩角差的正弦公式sin(α-β)=

。參考答案：解：（Ⅰ）兩角差的余弦公式

……1分在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，以O(shè)x為始邊，作角α,β，設(shè)其終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A,B，則向量，向量,記兩向量的夾角為，則

…4分(1)如果,那么，∴∴

……6分(2)如果,如圖，不妨設(shè)α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以有同樣有

…………8分（Ⅱ），

…………9分證明如下：把公式中的換成，得

………………13分22.（13分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=，且關(guān)于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求證：an≤2n﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）設(shè)，求出函數(shù)的最大值，比較g（1），g（4），即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅲ）證明an+1+1≤2（an+1），可得當(dāng)n≥2時(shí)，，，…，，相乘得，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，，當(dāng)時(shí)，f（x）取最大值…（Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有兩個(gè)