2017年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-4學(xué)案第二講一曲線的參數(shù)方程Word版含解析

庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即（＊）.并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組（＊）所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程組（＊）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程來說，以前所學(xué)習(xí)過的關(guān)于x、y的直角坐標(biāo)方程，叫做曲線的普通方程.在求曲線的方程時(shí)，一般需要建立曲線上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x,y之間滿足的等量關(guān)系F（x，y）＝0，這樣得到的方程F（x，y）＝0就是曲線的普通方程；而有時(shí)要想得到聯(lián)系x,y的方程F（x，y）＝0是比較困難的，于是可以通過引入某個(gè)中間變量t，使之與曲線上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y間接地聯(lián)系起來，此時(shí)可得到方程組即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)通過變量t的變化進(jìn)行描述.若對(duì)t的每一個(gè)值，由方程組確定的點(diǎn)（x，y）都在曲線C上；反之，對(duì)于曲線C上的每一個(gè)點(diǎn)（x，y），其中x,y都是t的函數(shù)，則把方程組叫做曲線C的參數(shù)方程，其中的t稱為參數(shù).在具體問題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.疑點(diǎn)突破參數(shù)的選取應(yīng)根據(jù)具體條件來考慮.但有時(shí)出于題目需要，也可以選兩個(gè)或兩個(gè)以上的參數(shù)，然后再設(shè)法消去其中的參數(shù)得到普通方程，或剩下一個(gè)參數(shù)得到參數(shù)方程.但這樣做往往增加了變形與計(jì)算的麻煩，因此參數(shù)的選取一般應(yīng)盡量少.一般說來，選擇參數(shù)時(shí)應(yīng)注意考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都不可能由參數(shù)取某一值唯一地確定出來；二是參數(shù)與x、y的相互關(guān)系比較明顯，容易列出方程.深化升華參數(shù)法在求曲線的軌跡方程時(shí)是一種常用的甚至是簡(jiǎn)捷的解題方法.參數(shù)的思想方法就是在運(yùn)動(dòng)變化的哲學(xué)思想指導(dǎo)下的函數(shù)的思想方法，因此也可認(rèn)為引入?yún)?shù)就是引入函數(shù)的自變量.二、圓的參數(shù)方程1.圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程：(θ為參數(shù)).2.圓心為O1(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程：(θ為參數(shù)).參數(shù)θ的幾何意義是：以x軸正半軸為始邊，以O(shè)P為終邊的角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)）.圓的參數(shù)方程還可以表示為x=(θ為參數(shù)).方法歸納有時(shí)從參數(shù)方程看不出它是否表示圓，可通過消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程判斷其是否表示圓.三、參數(shù)方程和普通方程的互化1.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法.2.化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一關(guān)系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率,某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）.誤區(qū)警示在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍,即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.四、參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系最明顯的區(qū)別是其方程形式上的區(qū)別；更大的區(qū)別是普通方程反映了曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)x,y的直接關(guān)系，而參數(shù)方程則反映了x,y的間接關(guān)系.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個(gè)參數(shù)的允許的取值就可得到曲線上的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，反過來對(duì)于曲線上任意一個(gè)點(diǎn)也必然對(duì)應(yīng)著其中的參數(shù)的相應(yīng)的允許取值.盡管參數(shù)方程與普通方程有很大的區(qū)別，但它們之間又有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)在兩方面：（1）這兩種方程都是同一曲線的不同的代數(shù)表現(xiàn)形式，是同一事物的兩個(gè)方面；（2）這兩種方程之間可以進(jìn)行互化，通過消參可以把參數(shù)方程化為普通方程，而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程.需要注意的是，在將兩種方程互化的過程中，要注意兩種方程（在表示同一曲線時(shí)）的等價(jià)性，即注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x,y的取值范圍的影響.聯(lián)想發(fā)散需注意的是，不是所有的參數(shù)方程都可以化為普通方程，有些雖然可以化為普通方程，但是普通方程非常復(fù)雜，不便于對(duì)其性質(zhì)的研究，如圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程，一般都是研究其參數(shù)方程.問題·探究問題1曲線的參數(shù)方程和普通方程既有各自的優(yōu)點(diǎn)也有各自的缺點(diǎn).為了利用各自的優(yōu)點(diǎn)，有時(shí)候需要把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，有時(shí)候需要把普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程.那么，如何把一個(gè)參數(shù)方程化為普通方程，把一個(gè)普通方程化為參數(shù)方程呢？在普通方程與參數(shù)方程互化的過程中，又需要注意哪些問題呢?探究：把參數(shù)方程化為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消參法；把普通方程化為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，是消參的逆過程，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一關(guān)系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率,某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）.在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，如(t為參數(shù)),通過消參數(shù)得到方程y2=-(x-1)，而事實(shí)上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=-(x-1)可知其中x≤1，顯然兩個(gè)范圍不同，即兩個(gè)方程所表示的曲線就不是同一條曲線，可以說y2=-(x-1)就不是的普通方程.故在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性，即它們二者要表示同一曲線.問題2圓是我們最常見的曲線，利用圓的參數(shù)方程可以解決許多與圓有關(guān)的問題.那么，你能推導(dǎo)出圓的參數(shù)方程嗎？其形式是否唯一呢？參數(shù)的意思是什么？探究：利用換元即可得到相應(yīng)圓的參數(shù)方程.例如:圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以先將該方程化為(=1，然后令(其中θ為參數(shù)).于是就得到該圓的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù)).由此可見，對(duì)于圓的參數(shù)方程來說，也有多種不同的表現(xiàn)形式，有些參數(shù)方程有時(shí)也許一下子看不出是否表示圓，這時(shí)可考慮通過消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程從而達(dá)到目的(對(duì)于其他曲線必要時(shí)也可類似考慮).這里參數(shù)θ的幾何意義是：以x軸正半軸為始邊，以O(shè)P為終邊的角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)）.典題·熱題例1已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù),a∈R)，點(diǎn)M(5,4)在該曲線上.(1)求常數(shù)a；(2)求曲線C的普通方程.思路分析：根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系,可知點(diǎn)M(5,4)在該曲線上.由點(diǎn)M的坐標(biāo)適合曲線C的方程，從而可求得其中的待定系數(shù)，進(jìn)而消去參數(shù)得到其普通方程.解：(1)由題意可知有∴a=1.(2)由已知及(1),可得曲線C的方程為.由第一個(gè)方程,得t=.代入第二個(gè)方程,得y=()2,∴(x-1)2=4y為所求.深化升華把參數(shù)方程化為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消參法等，在消參過程中一定要注意其等價(jià)性.例2已知圓x2+y2=1，點(diǎn)A(1，0)，△ABC內(nèi)接于該圓，且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求BC的中點(diǎn)的軌跡方程.思路分析：本題是比較典型的使用曲線的參數(shù)方程來解決相關(guān)問題的題目，涉及到多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).解：如圖2-1-1所示，M為BC的中點(diǎn)，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍).在△BOC中，OB=OC=1,所以O(shè)M=.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=.圖2-1-1圖2-1-2又因?yàn)閤≥時(shí)，如圖2-1-2.雖然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°-120°)=120°≠60°,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=(x<),如圖2-1-2.誤區(qū)警示本題主要容易忽視隱含的范圍x<，忽視了這個(gè)范圍則本題的解答就不嚴(yán)謹(jǐn)，并且很多資料上的答案也都沒有這個(gè)范圍，像這樣的求軌跡的問題一定要注意這一點(diǎn).例3已知實(shí)數(shù)x、y滿足(x-1)2+(y-2)2=25，求x2+y2的最大值與最小值.思路分析：這樣的題目可考慮數(shù)形結(jié)合，把滿足(x-1)2+(y-2)2=25的x、y視為圓(x-1)2+(y-2)2=25上的動(dòng)點(diǎn)，待求的x2+y2可視為該圓的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，結(jié)合圖形易知結(jié)果或考慮利用圓的參數(shù)方程來求解.解：實(shí)數(shù)x、y滿足(x-1)2+(y-2)2=25視為圓(x-1)2+(y-2)2=25上的點(diǎn)，于是可利用圓的參數(shù)方程來求解，設(shè)代入x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α),從而可知所求代數(shù)式的最大值與最小值分別為30+105,30-105.深化升華本題中出現(xiàn)了圓的方程，像這樣的問題,題目本身是以代數(shù)題的形式出現(xiàn)，而實(shí)際上在考慮相關(guān)問題時(shí)常常應(yīng)該和圖形聯(lián)系起來，這樣對(duì)于問題的解決常能事半功倍.例4圓M的方程為x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0).(1)求該圓圓心M的坐標(biāo)以及圓M的半徑；(2)當(dāng)R固定，α變化時(shí)，求圓心M的軌跡，并證明此時(shí)不論α取什么值，所有的圓M都外切于一個(gè)定圓.思路分析：本題中所給的圓方程中的變數(shù)有多個(gè)，此時(shí)要結(jié)合題意分清究竟哪個(gè)是真正在變，而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不