專題7 拋物線的綜合問(wèn)題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專題7拋物線綜合問(wèn)題專題7宗遠(yuǎn)功長(zhǎng)——拋物線綜合問(wèn)題無(wú)結(jié)論，不圓錐，可以看出二級(jí)結(jié)論在圓錐中是多么重要，而拋物線正是這一觀點(diǎn)集中體現(xiàn)，接下來(lái)我們將從垂直和定值定點(diǎn)兩方面來(lái)說(shuō)明二級(jí)結(jié)論的重要性．第一講 拋物線中的垂直問(wèn)題拋物線中與垂直有關(guān)的有以下結(jié)論1．如果拋物線弦過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，那么以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，設(shè)切點(diǎn)為則：(1)(2) 且有以下更進(jìn)一步的結(jié)論：設(shè)兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為和，則以線段為直徑的圓與相切，切點(diǎn)為(3)△的面積的最小值為．此時(shí)垂直于軸(4)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)，則，且在拋物線的準(zhǔn)線上，反之過(guò)準(zhǔn)線上任一點(diǎn)做拋物線的兩條切線，則兩切點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)(這種情況下開(kāi)口朝上的拋物線考試出現(xiàn)得更多)2．若，則弦必過(guò)定點(diǎn)【例1】（鼓樓模擬）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，于，若△的面積等于，則（）A． B． C． D．【例2】（山西期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其準(zhǔn)線為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，作，，垂足分別為，．若，且的面積為，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【例3】（黃岡期中）已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【例4】（貴陽(yáng)二模）拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A． B． C． D．第二講定值定點(diǎn)問(wèn)題過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)圖1-3-1圖1-3-2重要結(jié)論1．． 2．．3．． 4．設(shè)，則．5．設(shè)交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則；．拋物線中其他定值定點(diǎn)結(jié)論:1．對(duì)于拋物線上兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則，，，推廣到更一般的形式，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)則，．2．若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且，則直線必過(guò)定點(diǎn)．特別地，當(dāng)點(diǎn)位于拋物線頂點(diǎn)時(shí)，直線必過(guò)定點(diǎn)．3．過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，，則．【例1】（長(zhǎng)沙模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交軸的正半軸于點(diǎn)，且，同在一個(gè)以為圓心的圓上，另有直線，且與拋物線相切于點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【例2】（湖北月考）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，而且為坐標(biāo)原點(diǎn)），若與的面積分別為和．則最小值是（）A． B． C． D．【例3】（遂寧期末）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，、、為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則（）A． B． C． D．【例4】（湖南長(zhǎng)沙高三模擬題）已知點(diǎn)、，．是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足．⑴求點(diǎn)的軌跡的方程；⑵已知點(diǎn)在曲線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦、，且、的斜率、滿足．試推斷：動(dòng)直線是否過(guò)定點(diǎn)，證明你的結(jié)論．【例5】（渝中區(qū)月考）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，若這樣的直線恰有2條，則的取值范圍是（）A． B． C． D．本題用到了結(jié)論：是拋物線的一條弦，弦中點(diǎn)為，則【例6】如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且．⑴求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；⑵過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，，求的值．推廣到更一般的結(jié)論，就是本節(jié)最開(kāi)始的結(jié)論三：過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，，則．【例7】（香坊區(qū)期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線，兩點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于，點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A． B． C． D．【例8】過(guò)點(diǎn)作直線，與拋物線相交，其中與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)，若，的斜率，滿足，求證：第三講拋物線的最值問(wèn)題拋物線里的最值多與焦點(diǎn)準(zhǔn)線相關(guān)，還經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的值域求法，一般都要代數(shù)和幾何相結(jié)合，用的方法較綜合而全面．【例1】（漢中二模）直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段，的長(zhǎng)分別為，則的最小值是（）A． B． C． D．【例2】（重慶期末）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)．是線段上的點(diǎn)，．則直線的斜率的最大值為（）A． B． C． D．【例3】（三明期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．則面積的最小值為（）A． B． C． D．第四講與拋物線中點(diǎn)弦有關(guān)的性質(zhì)

【例1】（蘇錫常鎮(zhèn)二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn),過(guò)線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線于點(diǎn).判斷線段與長(zhǎng)度的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.此模型的結(jié)論還有很多:（1）過(guò)點(diǎn)作平行的直線,與拋物線交于兩點(diǎn),則此時(shí)有過(guò)點(diǎn)作平行的直線,則此直線為拋物線在點(diǎn)處的切線;均為拋物線的切線,過(guò)直線上(拋物線外部)任意一點(diǎn)作拋物線的切線,

切點(diǎn)弦的中點(diǎn)均在上,且互相平行.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過(guò)分別作拋物線的切線,兩切線的交點(diǎn)在直線上.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).事實(shí)上作軸，由切點(diǎn)弦的性質(zhì)知平分，我們先來(lái)證明這一結(jié)論：關(guān)于拋物線中點(diǎn)弦的軌跡也是高考?？碱}（2016全國(guó)三卷考過(guò)大題，見(jiàn)本書習(xí)題部分）現(xiàn)在也和大家介紹一下：設(shè)拋物線有一條過(guò)點(diǎn)的弦與拋物線交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè),則①且,化簡(jiǎn)整理有并且當(dāng)時(shí),也滿足上述方程，故