微分方程數(shù)值解(學(xué)生復(fù)習(xí)題)

一．填空1.Euler法的一般遞推公式為，整體誤差為，局部截?cái)嗾`差為：.，改進(jìn)Euler的一般遞推公式整體誤差為，局部截?cái)嗾`差為：。2.線性多步法絕對(duì)穩(wěn)定的充要條件是。3.當(dāng)，則單步法穩(wěn)定。4.一個(gè)相容，穩(wěn)定的多步法若絕對(duì)穩(wěn)定，則絕對(duì)穩(wěn)定域在。5.若，則多步法是相容的。6．所有內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)的差分方程組成一個(gè)封閉的線性代數(shù)方程組，其系數(shù)矩陣是。7.剛性方程是：8．Runge-Kutta法的特征值為，相容的充要條件為：8.二階常微分方程邊值問題：的中心差分格式為：9.若內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰點(diǎn)均屬于，則稱為。10.逼近泊松方程的五點(diǎn)差分格式的截?cái)嗾`差的階為。逼近泊松方程的九點(diǎn)差分格式的截?cái)嗾`差的階為。11.線性多步法A穩(wěn)定的充要條件是。12.SOR收斂當(dāng)且僅當(dāng)松弛因子，且Jacobi迭代收斂。最佳松弛因子是。二．判斷1.當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)無限縮小時(shí)，差分格式的解是否逼近到微分方程問題的解，這就是差分格式的收斂性問題。2.單參數(shù)的PR迭代格式的收斂速度與SOR最佳超松弛法的收斂速度同階。3、對(duì)稱矩陣的普條件數(shù)與條件數(shù)相同。4、一級(jí)Runge-Kutta法的絕對(duì)穩(wěn)定域（-2，0）5、若差分方程滿足相容條件，且按右端穩(wěn)定，則差分解收斂至波動(dòng)方程的解。6、Euler法非A穩(wěn)定。7．對(duì)任意網(wǎng)比，六點(diǎn)對(duì)稱格式的解有收斂階8.對(duì)任意網(wǎng)比，向前差分格式的解有收斂階。9、相容，穩(wěn)定的多步法一定絕對(duì)穩(wěn)定。三．選擇1.拋物型方程的加權(quán)隱式差分格式的穩(wěn)定性為（）A絕對(duì)穩(wěn)定B無條件穩(wěn)定C條件穩(wěn)定D非條件穩(wěn)定2.vonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的（）A充分條件B必要條件C充要條件D既非充分也非必要條件3．實(shí)系數(shù)二次方程的根按模小于或者等于1的充要條件是（）ABCD4.若線性多步法A穩(wěn)定，則有（），其中為的根。ABCD5.一個(gè)相容，穩(wěn)定的多步法若絕對(duì)穩(wěn)定，則絕對(duì)穩(wěn)定域在（）A下半平面B上半平面C左半平面D右半平面6．線性多步法穩(wěn)定的充要條件是（）A第一特征式滿足根條件B第一特征式嚴(yán)格滿足根條件C滿足根條件D嚴(yán)格滿足根條件7.P階K步法的局部截?cái)嗾`差的階為（）ABCD8.線性多步法絕對(duì)穩(wěn)定的充要條件是（）A第一特征式滿足根條件B第一特征式嚴(yán)格滿足根條件C滿足根條件D嚴(yán)格滿足根條件9.Euler法的整體誤差為()ABCD四．計(jì)算1.試求差分方程初值問題：的解。2.已知顯式方法取為參數(shù)，確定，使方法至少是二階的；當(dāng)取何值時(shí)，方法滿足根條件；3.k步線性法：，證明其A穩(wěn)定。4.證明對(duì)所有的都絕對(duì)穩(wěn)定。5.由待定系數(shù)法構(gòu)造邊值問題：的中心差分格式。6.求正三角網(wǎng)上的差分格式。7.用有限體積法推導(dǎo)五點(diǎn)格式。8.寫出擴(kuò)散方程的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n層計(jì)算第n+1層），并把有限差分方程改寫成便于計(jì)算的迭代格式（矩陣形式），為網(wǎng)比。9.計(jì)算差分格式，（其中）的增長(zhǎng)因子，并根據(jù)vonNeumann條件給出差分格式穩(wěn)定性條件。10.已知線性多步法：試求它的階及誤差常數(shù)。11.計(jì)算向前，向后等差分格式的增長(zhǎng)因子，并給出穩(wěn)定性條件。12.Adams二步外插法：，試求其絕對(duì)穩(wěn)定域。五．證明題1.將三層差分格式改寫為改寫成等價(jià)的二層差分格式，寫出其增長(zhǎng)矩陣，并由vonNeumann條件證明該格式是否穩(wěn)定。其他